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解答

建議所有讀者完成此練習。

問題 1

判斷這些矩陣是否矩陣等價。

1. ${\begin{pmatrix}1&3&0\\2&3&0\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}2&2&1\\0&5&-1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&3\\1&1\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}4&0\\0&5\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&3\\2&6\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1&3\\2&-6\end{pmatrix}}$

答案

1. 是，每個矩陣的秩都是 2。
2. 是，它們具有相同的秩。
3. 否，它們具有不同的秩。

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問題 2

找到每個矩陣的矩陣等價類對應的規範代表。

1. ${\begin{pmatrix}2&1&0\\4&2&0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&1&0&2\\1&1&0&4\\3&3&3&-1\end{pmatrix}}$

答案

我們只需要確定每個矩陣的秩。

1. ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}$

問題 3

假設，關於

$B={\mathcal {E}}_{2}\qquad D=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\rangle$

變換 $t:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 由此矩陣表示。

${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$

使用基變換矩陣表示 $t$ 相對於每一對。

1. ${\hat {B}}=\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\rangle$, ${\hat {D}}=\langle {\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\rangle$
2. ${\hat {B}}=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rangle$, ${\hat {D}}=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\rangle$

答案

回顧圖表和公式。

${\hat {T}}={\rm {Rep}}_{D,{\hat {D}}}({\mbox{id}})\cdot T\cdot {\rm {Rep}}_{{\hat {B}},B}({\mbox{id}})$

1. 這兩個

   ${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}=(-3)\cdot {\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}+(-1)\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$

   證明

   ${\rm {Rep}}_{D,{\hat {D}}}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}1&-3\\1&-1\end{pmatrix}}$

   類似地，這兩個

   ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=0\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

   給出另一個非奇異矩陣。

   ${\rm {Rep}}_{{\hat {B}},B}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}$

   那麼答案是這個。

   ${\hat {T}}={\begin{pmatrix}1&-3\\1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-10&-18\\-2&-4\end{pmatrix}}$

   雖然不嚴格需要，但檢查令人放心。任意固定

   ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$

   我們有

   ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}_{B}\qquad {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}_{B,D}{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}7\\17\end{pmatrix}}_{D}$

   所以 $t({\vec {v}})$ 是這個。

   $7\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+17\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}24\\-10\end{pmatrix}}$

   相對於${\hat {B}},{\hat {D}}$進行計算，從以下開始：

   ${\rm {Rep}}_{\hat {B}}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}_{\hat {B}}\qquad {\begin{pmatrix}-10&-18\\-2&-4\end{pmatrix}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}_{\hat {B}}={\begin{pmatrix}-44\\-10\end{pmatrix}}_{\hat {D}}$

   然後驗證這個結果是否相同。

   $-44\cdot {\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}-10\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}24\\-10\end{pmatrix}}$

2. 這兩個

   ${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{3}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}=-1\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$

   證明

   ${\rm {Rep}}_{D,{\hat {D}}}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}1/3&-1\\1/3&1\end{pmatrix}}$

   這兩個

   ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+2\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=-1\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+0\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

   展示了這一點。

   ${\rm {Rep}}_{{\hat {B}},B}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix}}$

   有了這些，轉換將按照以下方式進行。

   ${\hat {T}}={\begin{pmatrix}1/3&-1\\1/3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-28/3&-8/3\\38/3&10/3\end{pmatrix}}$

   與前一項類似，檢查可以幫助我們確信此計算沒有錯誤。例如，我們可以固定向量

   ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}$

   (這個向量是隨機選擇的)。現在我們有

   ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}_{B,D}{\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}_{D}$

   因此 $t({\vec {v}})$ 是這個向量。

   $3\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+5\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\\-2\end{pmatrix}}$

   關於 ${\hat {B}},{\hat {D}}$，我們首先計算

   ${\rm {Rep}}_{\hat {B}}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-28/3&-8/3\\38/3&10/3\end{pmatrix}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}{\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}_{\hat {B}}={\begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix}}_{\hat {D}}$

   並且，可以肯定的是，對於 $t({\vec {v}})$ 也是相同的結果。

   $-4\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+6\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\\-2\end{pmatrix}}$

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問題 4

在等式 ${\hat {H}}=PHQ$ 中，$P$ 和 $Q$ 的尺寸是多少？

答案

其中 $H$ 和 ${\hat {H}}$ 是 $m\!\times \!n$，矩陣 $P$ 是 $m\!\times \!m$，而 $Q$ 是 $n\!\times \!n$。

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問題 5

使用 定理 2.6 來證明一個方陣是可逆的當且僅當它與單位矩陣等價。

答案

任何 $n\!\times \!n$ 矩陣是可逆的當且僅當它的秩為 $n$，也就是說，根據 定理 2.6，當且僅當它與 $n\!\times \!n$ 對角線全為 1 的矩陣等價。

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問題 6

證明，其中 $A$ 是一個可逆的方陣，如果 $P$ 和 $Q$ 是可逆的方陣，使得 $PAQ=I$，那麼 $QP=A^{-1}$。

答案

如果 $PAQ=I$，那麼 $QPAQ=Q$，所以 $QPA=I$，因此 $QP=A^{-1}$。

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問題 7

為什麼 定理 2.6 沒有表明每個矩陣都是可對角化的（見 示例 2.2）？

答案

根據 示例 2.2 後的定義，矩陣 $M$ 是可對角化的，如果它代表 $M={\rm {Rep}}_{B,D}(t)$ 一個變換，該變換具有以下性質：存在某個基 ${\hat {B}}$ 使得 ${\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {B}}}(t)$ 是對角矩陣——起始和結束基必須相等。但 定理 2.6 只說明存在 ${\hat {B}}$ 和 ${\hat {D}}$，使得我們可以更改為 ${\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}(t)$ 的表示並得到對角矩陣。我們沒有理由懷疑我們可以選擇兩個 ${\hat {B}}$ 和 ${\hat {D}}$ 使得它們相等。

問題 8

矩陣等價矩陣必須有矩陣等價的轉置嗎？

答案

是的。行秩等於列秩，因此轉置的秩等於矩陣的秩。大小相同的矩陣，如果秩相等，則是矩陣等價的。

問題 9

如果 $k=0$，定理 2.6 會發生什麼？

答案

只有零矩陣的秩為零。

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問題 10

證明矩陣等價是一個等價關係。

答案

對於自反性，要證明任何矩陣都與其本身矩陣等價，取$P$ 和 $Q$ 為單位矩陣。對於對稱性，如果 $H_{1}=PH_{2}Q$，則 $H_{2}=P^{-1}H_{1}Q^{-1}$（逆矩陣存在，因為 $P$ 和 $Q$ 是非奇異的）。最後，對於傳遞性，假設 $H_{1}=P_{2}H_{2}Q_{2}$ 並且 $H_{2}=P_{3}H_{3}Q_{3}$。然後代入得到 $H_{1}=P_{2}(P_{3}H_{3}Q_{3})Q_{2}=(P_{2}P_{3})H_{3}(Q_{3}Q_{2})$。非奇異矩陣的乘積是非奇異的（我們已經證明了可逆矩陣的乘積是可逆的；事實上，我們已經展示瞭如何計算逆矩陣），因此 $H_{1}$ 因此與 $H_{3}$ 矩陣等價。

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問題 11

證明零矩陣在其矩陣等價類中是唯一的。還有其他這樣的矩陣嗎？

答案

根據 定理 2.6，零矩陣在其類中是唯一的，因為它是在秩為零的 $m\!\times \!n$ 中唯一的矩陣。沒有其他矩陣在其類中是唯一的；矩陣的任何非零標量積與該矩陣具有相同的秩。

問題 12

在 $\mathbb {R} ^{1}$ 上變換的矩陣的矩陣等價類是什麼？$\mathbb {R} ^{3}$ 呢？

答案

有兩種 $1\!\times \!1$ 矩陣的矩陣等價類——秩為零的類和秩為一的類。 $3\!\times \!3$ 矩陣分為四個矩陣等價類。

問題 13

有多少個矩陣等價類？

答案

對於 $m\!\times \!n$ 矩陣，存在對應於每個秩的類：其中 $k$ 是 $m$ 和 $n$ 的最小值，存在秩為 $0$，$1$，...，$k$ 的矩陣的類。總共有 $k+1$ 類。（當然，如果將所有尺寸的矩陣都加起來，我們會得到無限多個類。）

問題 14

矩陣等價類在標量乘法下封閉嗎？在加法下封閉嗎？

答案

它們在非零標量乘法下封閉，因為矩陣的非零標量倍數與該矩陣具有相同的秩。它們在加法下不封閉，例如，$H+(-H)$ 的秩為零。

問題 15

令 $t:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ 由 $T$ 相對於 ${\mathcal {E}}_{n},{\mathcal {E}}_{n}$ 表示。

1. 找到 ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ 的具體情況。

   $T={\begin{pmatrix}1&1\\3&-1\end{pmatrix}}\qquad B=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}\rangle$

2. 描述 ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ 的一般情況，其中 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$。

答案

1. 我們有

   ${\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}1&-1\\2&-1\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},B}({\mbox{id}})={\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})^{-1}={\begin{pmatrix}1&-1\\2&-1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}-1&1\\-2&1\end{pmatrix}}$

   因此，答案是。

   ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)={\begin{pmatrix}1&-1\\2&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\3&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&1\\-2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&0\\-5&2\end{pmatrix}}$

   作為快速檢查，我們可以隨機取一個向量

   ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}$

   得到

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&1\\3&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9\\7\end{pmatrix}}=t({\vec {v}})$

   而關於 $B,B$ 的計算

   ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-2&0\\-5&2\end{pmatrix}}_{B,B}{\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}-2\\-11\end{pmatrix}}_{B}$

   產生的結果相同。

   $-2\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}-11\cdot {\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9\\7\end{pmatrix}}$

2. 我們有

   ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},B}({\mbox{id}})\cdot T\cdot {\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})$

   並且，正如這個問題的第一條一樣

   ${\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})=\left({\begin{array}{c|c|c}{\vec {\beta }}_{1}&\;\cdots \;&{\vec {\beta }}_{n}\end{array}}\right)\qquad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},B}({\mbox{id}})={\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})^{-1}$

   因此，將$Q$表示為以基向量為列的矩陣，我們有${\rm {Rep}}_{B,B}(t)=Q^{-1}TQ$。

問題16

1. 令$V$具有基$B_{1}$和$B_{2}$，並假設$W$具有基$D$。其中$h:V\to W$，求計算${\rm {Rep}}_{B_{2},D}(h)$的公式，從${\rm {Rep}}_{B_{1},D}(h)$中得到。
2. 重複前一個問題，使用$V$的一個基和$W$的兩個基。

答案

1. 箭頭圖的改編形式如下。

   

   由於不需要在$W$中更改基（或者我們可以說基變換矩陣$P$是單位矩陣），我們有${\rm {Rep}}_{B_{2},D}(h)={\rm {Rep}}_{B_{1},D}(h)\cdot Q$，其中$Q={\rm {Rep}}_{B_{2},B_{1}}({\mbox{id}})$。
2. 箭頭圖如下。

   

   我們有 ${\rm {Rep}}_{B,D_{2}}(h)=P\cdot {\rm {Rep}}_{B,D_{1}}(h)$ 其中 $P={\rm {Rep}}_{D_{1},D_{2}}({\mbox{id}})$.

問題 17

1. 如果兩個矩陣矩陣等價且可逆，那麼它們的逆矩陣是否一定矩陣等價？
2. 如果兩個矩陣的逆矩陣矩陣等價，那麼這兩個矩陣是否一定矩陣等價？
3. 如果兩個矩陣是方陣且矩陣等價，那麼它們的平方是否一定矩陣等價？
4. 如果兩個矩陣是方陣且它們的平方矩陣等價，那麼它們是否一定矩陣等價？

答案

1. 這是箭頭圖，以及該圖用於逆函式的版本。

   是的，矩陣的逆矩陣表示對映的逆函式。也就是說，我們可以透過向上、向左、向下移動來從右下角移動到左下角。換句話說，當 ${\hat {H}}=PHQ$（以及 $P,Q$ 可逆）並且 $H,{\hat {H}}$ 可逆時，那麼 ${\hat {H}}^{-1}=Q^{-1}H^{-1}P^{-1}$.

2. 是的；這與之前部分相同，只是用不同的術語表達。
3. 不，我們需要另一個假設：如果 $H$ 表示 $h$ 相對於相同的起始和結束基 $B,B$，對於某些 $B$ 那麼 $H^{2}$ 表示 $h\circ h$。舉個具體的例子，這兩個矩陣都是秩為一的，因此它們矩陣等價

   ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

   但它們的平方矩陣不等價 - 第一個矩陣的平方秩為一，而第二個矩陣的平方秩為零。
4. 不。這兩個矩陣不等價，但它們的平方矩陣矩陣等價。

   ${\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

建議所有讀者完成此練習。

問題 18

如果方陣表示同一個變換，但每個方陣相對於相同的結束基和起始基，那麼它們是相似的。也就是說，${\rm {Rep}}_{B_{1},B_{1}}(t)$ 與 ${\rm {Rep}}_{B_{2},B_{2}}(t)$ 相似。

1. 給出矩陣相似性的定義，類似於定義 2.3。
2. 證明相似矩陣是矩陣等價的。
3. 證明相似性是一種等價關係。
4. 證明如果$T$ 與 ${\hat {T}}$ 相似，那麼 $T^{2}$ 與 ${\hat {T}}^{2}$ 相似，立方也是，等等。與前面的練習對比。
5. 證明存在矩陣等價但並不相似的矩陣。

答案

1. 這個定義由相應的箭頭圖給出。

   

   如果存在一個非奇異矩陣 $P$ 使得 ${\hat {T}}=P^{-1}TP$，則稱矩陣 $T,{\hat {T}}$ **相似**。
2. 取 $P^{-1}$ 為 $P$，取 $P$ 為 $Q$。
3. 這與問題 10 中的情況相同。 反身性是顯而易見的：$T=I^{-1}TI$。對稱性也很容易：${\hat {T}}=P^{-1}TP$ 意味著 $T=P{\hat {T}}P^{-1}$（將第一個方程從右邊乘以 $P^{-1}$，從左邊乘以 $P$）。對於傳遞性，假設 $T_{1}={P_{2}}^{-1}T_{2}P_{2}$ 並且 $T_{2}={P_{3}}^{-1}T_{3}P_{3}$。那麼 $T_{1}={P_{2}}^{-1}({P_{3}}^{-1}T_{3}P_{3})P_{2}=({P_{2}}^{-1}{P_{3}}^{-1})T_{3}(P_{3}P_{2})$，我們注意到 $P_{3}P_{2}$ 是一個可逆矩陣，其逆矩陣為 ${P_{2}}^{-1}{P_{3}}^{-1}$，我們完成了證明。
4. 假設 ${\hat {T}}=P^{-1}TP$。對於平方：${\hat {T}}^{2}=(P^{-1}TP)(P^{-1}TP)=P^{-1}T(PP^{-1})TP=P^{-1}T^{2}P$。更高的冪可以透過歸納法得出。
5. 這兩個矩陣是等價的，但它們的平方不是等價的。

   ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

   根據前一項，矩陣相似性和矩陣等價性是不同的。