線性代數/列空間和行空間

列空間 是研究 m x n 矩陣時一個重要的向量空間。如果我們將矩陣乘法視為向量經歷的一種變換，那麼零空間和列空間是理解這種變換運作方式的兩個自然向量集合。雖然零空間專注於在矩陣作用下消失的向量（即 Ax = 0 的解），但列空間對應於變換後的向量本身（即所有 Ax）。它是變換後所有向量的集合。那些研究過抽象代數的讀者可以將零空間與同態的核聯絡起來，將列空間與範圍聯絡起來。

另一個與矩陣相關的重要的空間是行空間。顧名思義，它完全由矩陣的行構成。我們將在後面看到，行空間在某種意義上可以與列空間等同起來。在可逆矩陣的特殊情況下，行空間和列空間完全相等。

列空間

給定一個 m x n 矩陣 A，A 的列空間，記為 C(A)，是所有由 A 的列的線性組合形成的向量的集合。

更準確地說，如果 A 的列是 $c_{1},c_{2}\cdots c_{n}$，其中每個 $c_{i}$ 是一個 m 維向量，那麼，

${\hbox{C}}(A)=\{\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{m}:\mathbf {v} =\mathbf {\alpha _{1}c_{1}+\alpha _{2}c_{2}+\cdots \alpha _{n}c_{n}} ,\ \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}$

因此，列空間本質上是由矩陣的列構成的。它是列的線性跨度，因此也是一個具有標準運算的向量空間。（回想一下，任何向量集合的跨度始終是一個向量空間）。此外，由於列是 m 維空間中的向量，因此列空間自然地是 $\mathbb {R} ^{m}$ 的一個子空間。

顯然，如果我們令，

$x={\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{pmatrix}}$

那麼我們可以說，

$Ax={\begin{pmatrix}c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{pmatrix}}=\alpha _{1}c_{1}+\alpha _{2}c_{2}+\ldots +\alpha _{n}c_{n}$

因此，我們的定義可以修改為，

${\hbox{C}}(A)=\{\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{m}:\mathbf {v} =\mathbf {Ax} ,\ x\in \mathbb {R} ^{n}\}$

這讓我們明白，列空間正是矩陣乘法作用下變換後的向量集合。

列空間的基

現在我們將證明一個關於矩陣列空間基的定理。這個構造性證明也將使我們能夠將一個非常重要的定理稱為秩零化度定理作為推論。

定理：與基本變數相對應的 m x n 矩陣 A 的列構成 A 的列空間的基。

證明：首先要注意，A 的列空間是由所有列的線性組合形成的，$c_{1},c_{2}$...$c_{n}$。如果我們取 A 的零空間的基 如前所述，那麼由於

$v_{1}\in {\hbox{Null Space}}(A)$

所以 $Av_{1}$=0。但這表明與 $v_{1}$ 相關的列是與基本變數相關的列的線性組合。（注意，其他自由變數列的貢獻為 0，而與 $v_{1}$ 相關的列的貢獻為 1。）這樣所有自由變數相關的列都是基本變數相關的列的線性組合。因此所有基本變數相關的列都跨越整個列空間。

現在假設矩陣 $A$ 的行階梯形式為 $U$，如果我們取基本變數所在的列，從矩陣 A 中獲得的子矩陣為 $A_{1}$，從矩陣 U 中獲得的子矩陣為 $U_{1}$。顯然，$U_{1}$ 是 $A_{1}$ 的行階梯形式（參見練習），因此這兩個矩陣具有相同的零空間。現在 $U_{1}$ 只有與它相關的基本變數，因為我們只從 A 中取基本變數到 A1，因此它的零度為零。這告訴我們 $U_{1}x=0$ 只有平凡解。因此，$A_{1}x=0$ 也只有平凡解，因此它的零度也為零。因此，矩陣 $A_{1}$ 的列，也就是矩陣 A 中與基本變數相關的列，是線性無關的。

因此，基本變數所在的列是線性無關且生成空間的，因此它們構成列空間的基。Q.E.D

讓我們看一個例子

假設 $A={\begin{pmatrix}1&2&0&2&5\\-2&-5&1&-1&-8\\0&-3&3&4&1\\3&6&0&-7&2\end{pmatrix}}$

第一步是將矩陣 A 化為其行階梯形式 U。

現在 $U={\begin{pmatrix}1&0&2&0&1\\0&1&-1&0&1\\0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

我們用括號將每行中第一個非零元素圈起來

$U={\begin{pmatrix}(1)&0&2&0&1\\0&(1)&-1&0&1\\0&0&0&(1)&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

很明顯，基本變數是 $x_{1},x_{2}$ 和 $x_{4}$，自由變數是 $x_{3}$ 和 $x_{5}$。

因此，根據定理，矩陣 A 的列空間的基由列 $c_{1},c_{2}$ 和 $c_{4}$ 組成，表示為：

${\Bigg \{}{\begin{pmatrix}1\\-2\\0\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\-5\\-3\\6\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\-1\\4\\-7\end{pmatrix}}{\Bigg \}}$

注意，A 的零度為 2，等於列數減去列空間中的元素數。

行空間

顧名思義，行空間是由矩陣的行組成的空間。給定一個 m x n 矩陣 A，A 的行空間，記為 RS(A)，定義為所有由 A 的行的線性組合形成的向量集合。

更準確地說，如果 A 的行是 $r_{1},r_{2}$...$r_{m}$，其中每個 $r_{i}$ 是一個 n 維向量，那麼：

${\hbox{RS}}(A)=\{\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}:\mathbf {v} =\mathbf {\alpha _{1}r_{1}+\alpha _{2}r_{2}+\cdots \alpha _{m}r_{m}} ,\ \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}$

因此，行空間是行的線性生成空間，因此也是一個具有標準運算的向量空間。它是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的一個子空間。

行空間的基

矩陣 A 的行空間的基由 U 的非零行組成，其中 U 是 A 的行階梯形式。這個結論源於兩個結論的結合：

1. 如果 U 是 A 的行階梯形式，則 R(A) = R(U)。
2. 行階梯形式矩陣的非零行是線性無關的。

證明概述在習題中。

讓我們看一個例子

假設 $A={\begin{pmatrix}1&2&0&2&5\\-2&-5&1&-1&-8\\0&-3&3&4&1\\3&6&0&-7&2\end{pmatrix}}$

如果我們取它的行階梯形式，則有：

$U={\begin{pmatrix}1&0&2&0&1\\0&1&-1&0&1\\0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

前三行是非零行，因此行空間的基是：$\{(1,\ 0,\ 2,\ 0,\ 1),(0,\ 1,\ -1,\ 0,\ 1),(0,\ 0,\ 0,\ 1,\ 1)\}$

矩陣的秩

請注意，在我們的例子中，行空間的基有 3 個元素，這與我們之前推匯出的列空間的基中的元素數量相同。這不是巧合。事實上，行空間的基中的元素數量與列空間的基中的元素數量總是相等。推理步驟如下：

1. U 中非零行的數量等於 U 中主元（或每行中的領先非零項）的數量。
2. 基本變數的數量根據定義等於包含主元的列的數量（因此等於主元的數量）。
3. 根據前面的定理，基本變數的數量等於列空間基中的元素數量。
4. 因此，兩個基的元素數量相等。

這兩個基中的這個唯一的元素數量稱為矩陣的 **秩**。顯然，由於矩陣的行是其轉置的列，因此 **矩陣及其轉置具有相同的秩**。矩陣 A 的秩通常寫成 Rank(A)，就像零度寫成 Nullity(A) 一樣。

秩零度定理

現在我們來介紹線性代數中一個非常重要的定理，稱為 **秩零度定理**。這個定理的另一種形式將在關於線性變換的章節中出現。在我們的上下文中，定理是：

對於一個 m x n 矩陣 A，

Rank(A) + Nullity(A) = n = A 的列數

這個定理背後的邏輯很清楚。正如我們之前所見，秩對應於基本變數的數量，零度對應於自由變數的數量。由於任何列要麼是基本變數，要麼是自由變數（但不能同時是兩者），因此這個定理顯然是正確的。

熟悉群的第一同構定理的讀者可以注意到，這個定理可以與它相關聯。我們將在後面看到如何做到這一點。

習題

1. 計算以下矩陣的列空間和行空間的基：

1. ${\begin{pmatrix}2&1&-2\\1&-2&1\\-3&1&1\end{pmatrix}}$

2. ${\begin{pmatrix}-2&-1&4&2\\1&-2&1&1\\-3&3&-5&-3\end{pmatrix}}$

3. ${\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}}$

2. 證明如果 A 是一個 m x n 矩陣，則 A 的行空間與它的行階梯形式 U 的行空間一致。

提示：證明對 A 的任何行的初等行變換不會改變它是否是 A 的行的線性組合這一事實。

3. 證明行階梯形式矩陣的非零行是線性無關的。

提示: 假設 $\alpha _{1}r_{1}+\cdots \alpha _{m}r_{m}=0$，其中 $\alpha _{i}$ 是標量，$r_{i}$ 是非零行。現在如果第一個主元出現在矩陣的 (1,j) 位置，那麼除 $r_{1}$ 外的每一行的第 j 個分量都是 0。因此 $\alpha _{1}$ 為零。類似地，所有其他 $\alpha _{i}$ 也必須為零。

4. 結合以上兩個結果，證明矩陣的行階梯形式 U 中的非零行構成 R(A) 和 R(U) 的基。

5. 證明一個 n 階方陣可逆 $\iff$ 它的秩為 n $\iff$ R(A) = C(A) = $\mathbb {R} ^{n}$ $\iff$ 對每個 m 維向量 b，Ax = b 都有唯一解。

6. 證明如果 A 是一個 m x n 矩陣，B 是一個 n x p 矩陣，那麼

1. C(AB) $\subseteq$ C(A)。

2. R(AB) $\subseteq$ R(B)。

提示: 對於 (1)，注意 $\{ABx:x\in \mathbb {R} ^{p}\}\subseteq \{Ay:y\in \mathbb {R} ^{n}\}$，對於 (2)，注意 $R(AB)=C((AB)^{T})=C(B^{T}A^{T})\subseteq C(B^{T})=R(B)$

7. 矩陣 A 的子矩陣是透過刪除 A 的某些行和/或列得到的矩陣。證明對於 A 的每個子矩陣 C，我們有 Rank (C) $\leq$ Rank (A)。

提示：考慮一個矩陣 B，它是由從 A 中刪除不在 C 中的行形成的。那麼 Rank (B) $\leq$ Rank (A) 且 Rank (C) $\leq$ Rank (B)。

8. 證明一個秩為 r 的 m x n 矩陣 A 至少有一個秩為 r 的 r x r 子矩陣，也就是說，A 具有一個 r 階可逆子矩陣。

提示：令 B 為由 A 的 r 個線性無關行向量組成的矩陣。由於 Rank (B) = r，因此我們可以從 B 中取 r 個線性無關向量得到一個 r x r 可逆子矩陣 C。