線性代數/零空間

在與 m x n 階矩陣相關的三個重要向量空間中，有一個是零空間。零空間應用於線性變換。

值域

設 T 是從 m 維向量空間 X 到 n 維向量空間 Y 的線性變換，設 x₁, x₂, x₃, ..., x_m 是 X 的基，設 y₁, y₂, y₃, ..., y_n 是 Y 的基，並考慮其對應的 n × m 矩陣，

$M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2m}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3m}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nm}\\\end{pmatrix}}$ .

X 的像，T(X)，稱為 T 的值域。T(A) 顯然是 Y 的子空間。

由於 X 中的任何元素 x 都可以表示為

$x=\sum _{i=1}^{m}c_{i}x_{i}$ ,

$T(x)=T(\sum _{i=1}^{m}c_{i}x_{i})=\sum _{i=1}^{n}c_{i}T(x_{i})$

這意味著 T 的值域是 T(x_i) 向量所張成的向量空間，而這由矩陣的列表示。根據之前證明的一個定理，由這些向量張成的向量空間的維數等於線性無關的向量數量的最大值。由於矩陣中列的線性相關性與向量 T(x_i) 的線性相關性相同，所以維數等於線性無關的列數量的最大值，這等於秩。我們有以下重要結論

線性變換值域的維數等於其對應矩陣的秩。

零空間

例如，考慮矩陣： $A={\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}}$ .

此矩陣的零空間包含以下集合

{\hbox{Null Space}}(A)=\left\{\mathbf {\begin{pmatrix}-2r\\r\end{pmatrix}} :r\in \mathbb {R} \right\}

我們如何找到這個集合可能並不立即明瞭，但可以很容易地驗證，該集合的任何元素乘以 A 都會得到零向量。顯然地，

${\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}}\in {\hbox{Null Space}}(A)$ ，因為

${\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$ .

零空間作為一個向量空間

很容易證明零空間實際上是一個向量空間。如果我們將一個 n x 1 列矩陣與 n 維歐幾里得空間中的一個元素等同起來，那麼零空間就變成了它的子空間，並且具有通常的運算。零空間也可以被視為所有 n x 1 列矩陣的向量空間的子空間，其中矩陣加法和矩陣的標量乘法是兩個運算。

為了證明零空間確實是一個向量空間，只需證明

$x_{1},x_{2}\in {\hbox{Null Space}}(A)\Rightarrow x_{1}+x_{2}\in {\hbox{Null Space}}(A)$

以及

$x\in {\hbox{Null Space}}(A)\Rightarrow \alpha x\in {\hbox{Null Space}}(A)$

這些都由矩陣的分配律得出。證明的細節留作練習，供讀者完成。

性質

行等價矩陣的零空間

如果 A 和 B 是兩個行等價矩陣，那麼它們具有相同的零空間。這個事實，實際上是一個小定理，可以如下證明

假設 x 是 A 的零空間中的一個元素。那麼 Ax = 0。另外，由於 A 與 B 行等價，因此 $B=E_{1}E_{2}\cdots E_{k}A$ ，其中每個 $E_{i}$ 都是初等矩陣。（回想一下，初等矩陣是透過執行任何初等行運算得到的矩陣。）現在，

$Bx=E_{1}E_{2}\cdots E_{k}Ax=0$

因此 x 也在 B 的零空間中。所以 A 的零空間包含在 B 的零空間中。類似地，B 的零空間包含在 A 的零空間中。現在很明顯 A 和 B 具有相同的零空間。

零空間的基

由於矩陣的零空間是一個向量空間，自然會想知道它的基是什麼。當然，由於零空間是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子空間，它的基最多可以包含 n 個元素。零空間基中元素的數量很重要，被稱為 A 的 **零度**。為了找出 A 的零空間的基，我們遵循以下步驟

首先將給定矩陣轉換為行階梯型，例如 U。
接下來，將每行中第一個非零元素圈起來。
如果第一列有一個圈起來的元素，則將變數 $x_{1}$ 稱為基本變數，如果第一列沒有圈起來的元素，則將其稱為自由變數。類似地，如果第二列有一個非零元素，則將變數 $x_{2}$ 稱為基本變數，否則將其稱為自由變數。以此類推，命名 n 個變數 $x_{1},x_{2}...,x_{n}$ 。
如果對於任何 i， $x_{i}$ 是一個自由變數，那麼令 $v_{1}$ 為透過求解方程組 Ux = 0 獲得的解，其中所有自由變數都為 0，除了 $x_{i}$ 為 1。如果 $x_{i}$ 不是自由變數，則不做任何操作。
對所有自由變數重複上述步驟，得到向量 $v_{2},v_{3}$ 等等。
集合 $\{v_{1},v_{2}...\}$ 是所需要的基。

上述演算法的關鍵在於 A 和 U 有相同的零空間。對於演算法有效性的完整證明，我們建議讀者參考霍夫曼和孔茲在參考文獻中給出的優秀教科書。

讓我們看一個例子

假設 $A={\begin{pmatrix}1&1&0&1&5\\1&0&0&2&2\\0&0&1&4&-1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

第一步涉及將 A 化簡為其行階梯形式 U。

現在 $U={\begin{pmatrix}1&0&0&2&2\\0&1&0&-1&3\\0&0&1&4&-1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

我們將每行中的第一個非零元素用括號圈起來

$U={\begin{pmatrix}(1)&0&0&2&2\\0&(1)&0&-1&3\\0&0&(1)&4&-1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

很明顯，自由變數是 $x_{4}$ 和 $x_{5}$ ，而其餘的 $x_{1},x_{2}$ 和 $x_{3}$ 是基本變數。現在我們將用 $x_{4}=1,x_{5}=0$ 求解系統 Ux = 0，得到向量 $v_{1}$ 。因此我們需要求解：

${\begin{pmatrix}1&0&0&2&2\\0&1&0&-1&3\\0&0&1&4&-1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$

這簡化為矩陣乘法後的以下系統

${\begin{pmatrix}x_{1}+2\\x_{2}-1\\x_{3}+4\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$

從這裡很明顯， $x_{1}=-2,\ x_{2}=1,\ x_{3}=-4,\ x_{4}=1,\ x_{5}=0$ 是解。

因此 $v_{1}=(-2,\ 1,\ -4,\ 1,\ 0)$ 。類似地， $v_{2}$ 被發現是 $(-2,\ -3,\ 1,\ 0,\ 1)$ 。

集合 $\{v_{1},v_{2}\}$ 是零空間的基，矩陣 A 的零度為 2。事實上，這種方法為我們提供了一種描述零空間的方法，即： $\{\alpha v_{1}+\beta v_{2}:\alpha ,\beta \in \mathbb {R} \}$ （為什麼？——因為解的線性組合也是一個解）。

零度為零的含義

上面給出的例子沒有暗示當 A 的行階梯形式中沒有自由變數時會發生什麼。我們只是在演算法的步驟 4 中說，如果 $x_{i}$ 不是自由變數，那麼就不要做任何事情。根據這個邏輯，如果沒有任何變數是自由的，那麼我們就繼續什麼也不做，從而得出結論：如果沒有任何變數是自由的，那麼零空間的基就是一個空集，即 $\emptyset$ 。在這種情況下，我們說零空間的零度為 0。請注意，零空間本身不是空的，它包含一個精確的元素，即零向量。

現在假設 A 是一個 m x n 階矩陣，其列為 $c_{1},c_{2},...c_{n}$ 。每個 $c_{i}$ 是 m 維空間中的一個向量。如果 A 的零度為零，那麼 Ax=0 只有零向量作為解。

更準確地說，

$Ax={\begin{pmatrix}c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=x_{1}c_{1}+x_{2}c_{2}+\ldots +x_{n}c_{n}=0$

只有平凡解。這意味著零度為零使得 A 的列必須線性無關。透過回溯我們的步驟，我們可以證明反之亦然。

讓我們考察一下方陣的特殊情況，即當 m = n 時。現在如果零度為零，那麼矩陣 A 的行簡化階梯形式（假設為 U）中沒有自由變數。因此，每一行都包含一個主元，或一個非零首項。在這種情況下，U 必須是以下形式： ${\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

或者 U 必須正好是單位矩陣 I。反之，如果 A 與 I 行等價，那麼 Ax = 0 和 Ix = 0 具有相同的解，因為它們是等價的。由於 Ix = 0 只有平凡解 x = 0，所以 Ax = 0 也是如此。因此，A 的零空間僅僅是 {0}，所以 A 的零度為 0。

因此，A 的零度為 0 $\iff$ A 與 I 行等價。

現在如果 A 行等價於 I，那麼 $A=E_{1}E_{2}\cdots E_{k}$ 其中每個 $E_{i}$ 是一個初等矩陣。由於可逆矩陣的乘積是可逆的，並且每個 $E_{i}$ 都是可逆的，所以 A 是可逆的。相反，如果 A 是可逆的，並且 U 是它的行階梯形，那麼 $U=E_{1}\cdots E_{k}A$ 顯然是可逆的（因為它是由可逆矩陣的乘積得到）。現在一個包含零行的矩陣永遠不可能是可逆的（為什麼？），所以 U 在每一行都有主元。由此可知有 n 個主元，它們都等於 1，並且在它們的上方和下方都是零，所以 U = I。因此，A 行等價於 I。

總結一下，A 行等價於 I $\iff$ A 是可逆的。

我們可以收集本節的全部論據，來陳述

定理：對於一個 n 階方陣，以下等價

A 是可逆的。
A 的零度為 0。
A 行等價於單位矩陣。
A 的列向量線性無關。
系統 Ax = 0 只有平凡解。
A 是初等矩陣的乘積。

在這一階段，讀者嘗試詳細地重寫定理的證明將是一個很好的練習。

練習

評估以下矩陣的零空間和基
1. ${\begin{pmatrix}2&1&-2\\1&-2&1\\-3&1&1\\\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}-2&-1&4&2\\1&-2&1&1\\-3&3&-5&-3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}}$
證明矩陣的零空間是一個向量空間。
證明關於方陣可逆性的定理。並且透過證明 A 是可逆的當且僅當 A $^{T}$ 是可逆的，來證明行向量線性無關的條件可以新增到列表中。
Ax = b 的解集，其中 b 是一個非零向量（即至少有一個分量非零），是一個向量空間嗎？說明理由。
設 r 是與一個 n 階矩陣 A 相關的基本變數的數量（它等於與它的行階梯形相關的基本變數的數量）。證明 A 是可逆的當且僅當 r = n。

參考文獻