線性代數/行化簡與階梯形

引言

線性代數中許多需要解決的問題都要求將矩陣轉換為兩種形式之一：行階梯形（ref）及其更嚴格的變體簡化行階梯形（rref）。這兩種形式將幫助你瞭解矩陣所代表的結構。如果矩陣表示一個線性方程組，則這些形式允許人們寫出該方程組的解。

每個計算機代數系統和大多數科學或圖形計算器都有命令可以為任何矩陣生成這些形式。例如，命令通常為rref(A)。

行階梯形

如果一個矩形矩陣具有以下三個性質，則它處於行階梯形

所有非零行都在所有零行之上
每一行的首項元素都在其上一行首項元素所在列的右側
首項元素所在列下方所有元素均為零

此矩陣處於行階梯形

{\begin{bmatrix}1&&0&&3&&3\\0&&1&&0&&4\\0&&0&&0&&1\end{bmatrix}}

簡化行階梯形

如果一個處於階梯形的矩陣滿足以下條件，則它處於簡化行階梯形

該矩陣處於行階梯形
每個首項元素1是其所在列中唯一的非零元素

此矩陣處於簡化行階梯形

{\begin{bmatrix}1&&0&&0\\0&&1&&0\\0&&0&&1\end{bmatrix}}

並且上一節中矩陣的rref是

{\begin{bmatrix}1&&0&&3&&0\\0&&1&&0&&0\\0&&0&&0&&1\end{bmatrix}}

將矩陣轉換為REF或RREF形式

可以透過將線性方程組的增廣矩陣化簡為簡化行階梯形來求解該方程組。

可以使用初等行變換將矩陣轉換為其簡化行階梯形，或行化簡為其簡化行階梯形。這些變換是：

交換矩陣的兩行。
將矩陣的一行乘以一個非零的標量常數。
將一行替換為該行加上另一行乘以一個常數。

例如，給定以下線性方程組及其對應的增廣矩陣：

{\begin{aligned}3x_{2}-6x_{3}+6x_{4}+4x_{5}&=-5\\3x_{1}-7x_{2}+8x_{3}-5x_{4}+8x_{5}&=9\\3x_{1}-9x_{2}+12x_{3}-9x_{4}+6x_{5}&=15\end{aligned}}

$\left[{\begin{array}{rrrrrr}0&3&-6&6&4&-5\\3&-7&8&-5&8&9\\3&-9&12&-9&6&15\end{array}}\right]$

要解這個方程組，必須將矩陣化簡為簡化行階梯形。

步驟1：交換第1行和第3行。現在所有前導零都在非零前導元素之下。

\left[{\begin{array}{rrrrrr}3&-9&12&-9&6&15\\3&-7&8&-5&8&9\\0&3&-6&6&4&-5\end{array}}\right]

步驟 2：將第 2 行替換為第 2 行加上第 1 行的 (-1) 倍。換句話說，從第 2 行中減去第 1 行。這將消除第 2 行的第一個元素。

\left[{\begin{array}{rrrrrr}3&-9&12&-9&6&15\\0&2&-4&4&2&-6\\0&3&-6&6&4&-5\end{array}}\right]

步驟 3：將第 2 行乘以 3，並將第 3 行乘以 2。這將消除第 3 行的第一個元素。

\left[{\begin{array}{rrrrrr}3&-9&12&-9&6&15\\0&6&-12&12&6&-18\\0&6&-12&12&8&-10\end{array}}\right]

步驟 4：將第 3 行替換為第 3 行加上第 2 行的 (-1) 倍。換句話說，從第 3 行中減去第 2 行。這將消除第 3 行的第二個元素。

\left[{\begin{array}{rrrrrr}3&-9&12&-9&6&15\\0&6&-12&12&6&-18\\0&0&0&0&2&8\end{array}}\right]

步驟 5：將每一行乘以其第一個非零元素的倒數。這將使每一行都以 1 開頭。

\left[{\begin{array}{rrrrrr}1&-3&4&-3&2&5\\0&1&-2&2&1&-3\\0&0&0&0&1&4\end{array}}\right]

該矩陣現在處於行階梯形：所有非零行都在任何全零行（沒有零行）之上，每一行的首項元素都在其上方行的首項元素右側的列中，並且首項元素下方列中的所有元素都為零。

如稍後將展示，從這種形式可以看出該系統有無限多個解。為了獲得這些解，矩陣將進一步簡化為簡化行階梯形。

步驟 6：將第 2 行替換為第 2 行加上第 3 行的 (-1) 倍，並將第 1 行替換為第 1 行加上第 3 行的 (-2) 倍。這將消除第 3 行首項元素上方的元素。
${\begin{bmatrix}1&-3&4&-3&0&-3\\0&1&-2&2&0&-7\\0&0&0&0&1&4\end{bmatrix}}$

步驟 7：將第 1 行替換為第 1 行加上第 2 行的 3 倍。這將消除第 2 行首項元素上方的元素。
${\begin{bmatrix}1&0&-2&3&0&-24\\0&1&-2&2&0&-7\\0&0&0&0&1&4\end{bmatrix}}$

這是簡化行階梯形，因為每個非零行的首項元素都是 1，並且每個首項元素 1 都是其列中唯一的非零元素。

由此可以讀出系統的解
$x_{1}-2x_{3}+3x_{4}=-24$
$x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=-7$
$x_{5}=4$
這些方程可以求解 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 和 $x_{5}$ 。
$x_{1}=2x_{3}-3x_{4}-24$
$x_{2}=2x_{3}-2x_{4}-7$
$x_{5}=4$
這是該系統的解。變數 $x_{3}$ 和 $x_{4}$ 可以取任何值，因此被稱為自由變數。對於任何 $x_{3}$ 和 $x_{4}$ ，該解都是有效的。