線性代數/線性方程組

線性方程組

線性代數中一個重要的問題是求解域 F 上 n 個變數的 m 個線性方程組

$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}$
$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}$
...
$a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}=b_{m}$.

其中所有 $a_{ij}$ 都是域的元素。

線性方程組的例子：線性系統 (2):

$2x_{1}-x_{2}+1.5x_{3}=8$

$x_{1}-4x_{3}=-7$

一個解是數字列表 $\left(s_{1},s_{2},...,s_{n}\right)$，當將值 $s_{1},s_{2},...s_{n}$ 分別代入 $x_{1},...,x_{n}$ 時，使得每個方程都成立。例如， $\left(5,6.5,3\right)$ 是系統 (2) 的解，因為當將這些值分別代入 (2) 中的 $x_{1},x_{2},x_{3}$ 時，方程簡化為 $8=8$ 和 $-7=-7$。

所有可能解的集合稱為線性方程組的解集。兩個線性方程組如果具有相同的解集，則稱為等價。也就是說，第一個方程組的每個解都是第二個方程組的解，反之亦然。

求解一個有兩個變數的線性方程組的解集很容易，因為這與求兩條直線的交點相同。一個典型問題是

$x_{1}-3x_{2}=-1$

$-x_{1}+4x_{2}=3$

我們將這兩條直線的圖形分別表示為 $l_{1}$ 和 $l_{2}$。一對數字 $\left(x_{1},x_{2}\right)$ 滿足系統中的兩個方程，當且僅當點 $\left(x_{1},x_{2}\right)$ 同時位於 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 上。在上面的系統中，解是單個點 $\left(5,2\right)$，正如您在圖 1 中很容易看到的那樣。

圖 1：恰好一個解

當然，兩條直線並不一定在一個點相交，它們可能是平行的，或者它們可能重合，並在直線上的每個點“相交”。圖 2 和圖 3 顯示了視覺化此現象的圖形。

圖 2：無解

圖 3：無窮多個解

如果一個線性方程組具有一個解或無窮多個解，則該方程組被稱為相容的；如果一個方程組無解，則該方程組被稱為不相容的。

線上性代數中，我們關注三個問題

1. 一個線性方程組是相容的還是不相容的？
2. 如果是相容的，解集中有多少個元素？
3. 解集是什麼？

動機

線性方程組在科學和數學中很常見。這兩個來自高中科學的例子說明了它們是如何出現的。

第一個例子來自物理學。假設我們給定三個物體，其中一個已知質量為 2 千克，要求我們找到未知質量。假設進一步用米尺進行實驗得到以下兩個平衡。

由於每個天平左側力矩的總和等於右側力矩的總和（物體的力矩是其質量乘以它到天平平衡點的距離），因此這兩個天平給出了這個由兩個方程組成的系統。

$40h+15c=100$

$25c=50+50h$

線性方程組的第二個例子來自化學。在受控條件下，我們可以混合甲苯 C₇H₈ 和硝酸 HNO₃，以生成三硝基甲苯 C₇H₅O₆N₃ 以及副產物水（條件必須嚴格控制，因為三硝基甲苯更廣為人知的名字是炸藥）。這些成分應該以什麼比例混合？反應前每種元素的原子數

$x\,{\rm {C}}_{7}{\rm {H}}_{8}\ +\ y\,{\rm {H}}{\rm {N}}{\rm {O}}_{3}\longrightarrow z\,{\rm {C}}_{7}{\rm {H}}_{5}{\rm {O}}_{6}{\rm {N}}_{3}\ +\ w\,{\rm {H}}_{2}{\rm {O}}$

必須等於反應後的原子數。將此原理分別應用於元素 C、H、N 和 O，便得到了這個方程組。

${\begin{matrix}7x=7z\\8x+1y=5z+2w\\1y=3z\\3y=6z+1w\end{matrix}}$

要完成這些例子中的每一個，都需要解一個方程組。在每個方程組中，方程只包含變數的一階項。本章將介紹線性方程組。我們將在後面解決它們。

矩陣表示法

線性方程組的必要資訊可以用一個稱為矩陣的矩形陣列來描述。給定方程組

$3x_{1}+5x_{2}+2x_{3}=0$

$x_{1}-8x_{2}=10$

$-2x_{2}+x_{3}=-8$

將每個變數的係數對齊成列，我們得到了一個稱為係數矩陣（或係數矩陣）的矩陣。係數矩陣如下所示

${\begin{bmatrix}3&&5&&2\\1&&-8&&0\\0&&-2&&1\end{bmatrix}}$

如果您檢視線性方程的定義（1），這將是有意義的。第二行包含一個零，因為第二個方程可以寫成 $x_{1}-8x_{2}+0x_{3}=10$

我們還有一個稱為增廣矩陣的矩陣，對於同一個系統，它看起來像這樣

${\begin{bmatrix}3&&5&&2&&0\\1&&-8&&0&&10\\0&&-2&&1&&-8\end{bmatrix}}$

一個方程組的增廣矩陣由係數矩陣組成，並新增一列，包含來自方程右邊的常數。再次檢視線性方程的定義（1），如果它沒有意義。

矩陣的大小告訴我們它有多少行和列。上面的增廣矩陣有 3 行和 4 列，因此它被稱為 3x4（讀作“3 行 4 列”）矩陣。m 和 n 是正整數，一個m x n 矩陣是一個包含 m 行和 n 列的矩形數字陣列。矩陣表示法將簡化線性方程組的計算。

初等行變換

有三種初等行變換

1. 替換
2. 互換
3. 縮放

以下是三種不同操作的解釋和示例。在本章線性方程組中，我們已經使用了所有這些操作，除了縮放。

需要記住的一點是，所有操作都可以應用於所有矩陣，而不僅僅是源自線性系統的矩陣。

替換

用自身加上另一行的倍數來替換一行。對行替換更常見的解釋是“將另一行的倍數加到一行上”。

例如，我們給定了線性系統

$x_{1}+4x_{2}=3$

$2x_{1}+2x_{2}=4$

可以用矩陣表示法，作為增廣矩陣，寫成如下形式

${\begin{bmatrix}1&&4&&3\\2&&2&&4\end{bmatrix}}$

現在我們決定消除方程式 2 中的 $x_{1}$ 項，這可以透過將方程式 1 的 -2 倍加到方程式 2 來實現

${\begin{matrix}-2*[equation\ 1]:&-2x_{1}-8x_{2}=-6\\{\underline {+[equation\ 2]:}}&{\underline {2x_{1}+2x_{2}=4}}\\\left[new\ equation\ 2\right]:&-6x_{2}=-2\end{matrix}}$

這給了我們矩陣

${\begin{bmatrix}1&&4&&3\\0&&-6&&-2\end{bmatrix}}$

互換

交換兩行。

例如，我們給定了矩陣

${\begin{bmatrix}1&&2&&3\\2&&3&&1\end{bmatrix}}$

在這裡，我們在兩行上執行了交換操作

${\begin{bmatrix}2&&3&&1\\1&&2&&3\end{bmatrix}}$

當您嘗試解決線性系統時，此操作非常有用，並且可以看出透過交換兩行會更容易解決。這是一個廣泛使用的操作，即使它看起來很奇怪且不太實用。

縮放

將一行中的所有條目乘以非零常數。

例如，我們給定了矩陣

${\begin{bmatrix}1&&2&&3\\2&&3&&1\end{bmatrix}}$

現在，透過乘以 -2，在第一行上執行了縮放操作

${\begin{bmatrix}-2&&-4&&-6\\2&&3&&1\end{bmatrix}}$

求解線性系統

求解線性方程組的基本策略是用等效方程組（即具有相同解集的另一個方程組）替換一個方程組，使其更容易求解。這可以透過使用 $x_{1}$ 從第一個方程中消去 $x_{1}$ 在其他方程中的項，使用 $x_{2}$ 從第二個方程中消去 $x_{2}$ 在其他方程中的項，依此類推，直到你得到一個非常簡單的等效方程組。有三種操作用於簡化一個方程組。你可以用一個方程加上另一個方程的倍數來替換一個方程，我們可以交換兩個方程，以及用一個非零常數乘以一個方程中的所有項。在這個例子中，我們可以看到為什麼這些操作不會改變方程組的解集。

示例 1：求解以下線性方程組

$x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0$

$2x_{2}-8x_{3}=8$

$-4x_{1}+5x_{2}+9x_{3}=-9$

該方程組的增廣矩陣為

${\begin{bmatrix}1&&-2&&1&&0\\0&&2&&-8&&8\\-4&&5&&9&&-9\end{bmatrix}}$

我們首先想要保留 $x_{1}$ 在第一個方程中，並從其他方程中消去它。

為了實現這一點，我們將第一個方程的 4 倍加到第三個方程。

${\begin{matrix}4*[equation\ 1]:&4x_{1}-8x_{2}+4x_{3}=0\\{\underline {+[equation\ 3]:}}&{\underline {-4x_{1}+5x_{2}+9x_{3}=-9}}\\\left[new\ equation\ 3\right]:&-3x_{2}+13x_{3}=-9\end{matrix}}$

此計算結果將寫回原第三個方程的位置。

${\begin{matrix}x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0\\2x_{2}-8x_{3}=8\\-3x_{2}+13x_{3}=-9\end{matrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&&-2&&1&&0\\0&&2&&-8&&8\\0&&-3&&13&&-9\end{bmatrix}}$

接下來我們要做的是用 ${\frac {1}{2}}$ 乘以方程 2，以獲得 $x_{2}$ 的係數為 1，這將簡化下一步的計算

${\begin{matrix}x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0\\x_{2}-4x_{3}=4\\-3x_{2}+13x_{3}=-9\end{matrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&&-2&&1&&0\\0&&1&&-4&&4\\0&&-3&&13&&-9\end{bmatrix}}$

現在，我們利用方程 2 中的 $x_{2}$ 來消去方程 3 中的 $-3x_{2}$

${\begin{matrix}3*[equation\ 2]:&3x_{2}-12x_{3}=12\\{\underline {+[equation\ 3]:}}&{\underline {-3x_{2}+13x_{3}=-9}}\\\left[new\ equation\ 3\right]:&x_{3}=3\end{matrix}}$

新的線性系統具有三角形形式，稱為階梯形，看起來像這樣

${\begin{matrix}x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0\\x_{2}-4x_{3}=4\\x_{3}=3\end{matrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&&-2&&1&&0\\0&&1&&-4&&4\\0&&0&&1&&3\end{bmatrix}}$

下一步是利用方程 3 中的 $x_{3}$ 來消去方程 1 和 2 中的 $x_{3}$ 和 $-4x_{3}$。

${\begin{matrix}-1*[equation\ 3]:&-x_{3}=-3\\{\underline {+[equation\ 1]:}}&{\underline {x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0}}\\\left[new\ equation\ 1\right]:&x_{1}-2x_{2}=-3\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}4*[equation\ 3]:&4x_{3}=12\\{\underline {+[equation\ 2]:}}&{\underline {x_{2}-4x_{3}=4}}\\\left[new\ equation\ 2\right]:&x_{2}=16\end{matrix}}$

現在，這個系統看起來像這樣

${\begin{matrix}x_{1}-2x_{2}=-3\\x_{2}=16\\x_{3}=3\end{matrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&&-2&&0&&-3\\0&&1&&0&&16\\0&&0&&1&&3\end{bmatrix}}$

現在，我們距離獲得線性系統解只有一步之遙。最後一步是將方程 2 的 2 倍加到方程 1。這樣，我們得到一個線性系統，它具有 簡化行階梯形式

${\begin{matrix}x_{1}=29\\x_{2}=16\\x_{3}=3\end{matrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&&0&&0&&29\\0&&1&&0&&16\\0&&0&&1&&3\end{bmatrix}}$

現在，線性系統已求解，表明原始系統的唯一解是 $(29,16,3)$。但是，由於涉及大量的計算，建議您檢查您的工作。這可以透過將解代入原始系統來完成

$(29)-2(16)+(3)=29-32+3=0$

$2(16)-8(3)=32-24=8$

$-4(29)+5(16)+9(3)=-116+80+27=-9$

這表明我們找到的解是正確的，因此是原始線性系統的解。