線性代數/子空間的組合/解

解

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問題 1

判斷 $\mathbb {R} ^{2}$ 是否是每個 $W_{1}$ 和 $W_{2}$ 的直和。

1. $W_{1}=\{{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {R} \}$, $W_{2}=\{{\begin{pmatrix}x\\x\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {R} \}$
2. $W_{1}=\{{\begin{pmatrix}s\\s\end{pmatrix}}\,{\big |}\,s\in \mathbb {R} \}$, $W_{2}=\{{\begin{pmatrix}s\\1.1s\end{pmatrix}}\,{\big |}\,s\in \mathbb {R} \}$
3. $W_{1}=\mathbb {R} ^{2}$, $W_{2}=\{{\vec {0}}\}$
4. $W_{1}=W_{2}=\{{\begin{pmatrix}t\\t\end{pmatrix}}\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$
5. $W_{1}=\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {R} \}$, $W_{2}=\{{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {R} \}$

答案

我們可以對每個子空間應用引理 4.15。

1. 是的。平面是$W_{1}$ 和 $W_{2}$ 的和，因為對於任何標量 $a$ 和 $b$

   ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a-b\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b\\b\end{pmatrix}}$

   表明一般向量是來自兩個部分的向量的和。而且，這兩個子空間是（不同的）穿過原點的直線，因此它們的交集是平凡的。
2. 是的。為了看到平面中的任何向量都是來自這些部分的向量的組合，請考慮這種關係。

   ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}1\\1.1\end{pmatrix}}$

   我們現在可以簡單地注意到集合

   $\{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1.1\end{pmatrix}}\}$

   是該空間的基（因為它顯然是線性無關的，並且在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中大小為 2），因此上述方程只有一個解，這意味著所有分解都是唯一的。或者，我們可以求解

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&=&a\\c_{1}&+&1.1c_{2}&=&b\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&=&a\\&&0.1c_{2}&=&-a+b\end{array}}$

   得到 $c_{2}=10(-a+b)$ 和 $c_{1}=11a-10b$，因此我們有

   ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}11a-10b\\11a-10b\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-10a+10b\\1.1\cdot (-10a+10b)\end{pmatrix}}$

   如所要求的。與之前的答案一樣，兩個子空間中的每一個都是一條穿過原點的直線，它們的交集是平凡的。
3. 是的。平面中的每個向量都可以用這種方式表示為一個和

   ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

   這兩個子空間的交集是平凡的。
4. 不。交集不是平凡的。
5. 不。這些不是子空間。

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問題 2

證明 $\mathbb {R} ^{3}$ 是 $xy$ 平面與以下每個平面/直線的直和。

1. the $z$ 軸
2. 直線

   $\{{\begin{pmatrix}z\\z\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}$

答案

對於每一個，我們都可以使用 引理 4.15。

1. 在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的任何向量都可以分解成這個和。

   ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\z\end{pmatrix}}$

   此外，$xy$平面與$z$軸的交集是平凡子空間。
2. 在$\mathbb {R} ^{3}$ 中，任何向量都可以分解為：

   ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x-z\\y-z\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}z\\z\\z\end{pmatrix}}$

   並且這兩個空間的交集是平凡的。

問題 3

${\mathcal {P}}_{2}$ 是 $\{a+bx^{2}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ 和 $\{cx\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$ 的直和嗎？

答案

是的。證明這兩個都是子空間是例行公事。要看到這個空間是這兩個的直和，只需注意 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的每個成員都有唯一的分解 $m+nx+px^{2}=(m+px^{2})+(nx)$。

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問題 4

在 ${\mathcal {P}}_{n}$ 中，偶數 多項式是此集合的成員

${\mathcal {E}}=\{p\in {\mathcal {P}}_{n}\,{\big |}\,p(-x)=p(x){\text{ for all }}x\}$

並且奇數 多項式是此集合的成員。

${\mathcal {O}}=\{p\in {\mathcal {P}}_{n}\,{\big |}\,p(-x)=-p(x){\text{ for all }}x\}$

證明這些是互補子空間。

答案

證明它們是子空間是例行公事。我們將使用引理 4.15來論證它們是互補的。它們的交集${\mathcal {E}}\cap {\mathcal {O}}$ 是平凡的，因為唯一滿足條件$p(-x)=p(x)$ 和 $p(-x)=-p(x)$ 的多項式是零多項式。要看到整個空間是子空間${\mathcal {E}}+{\mathcal {O}}={\mathcal {P}}_{n}$ 的和，請注意，多項式$p_{0}(x)=1$，$p_{2}(x)=x^{2}$，$p_{4}(x)=x^{4}$ 等在${\mathcal {E}}$ 中，並且還注意到，多項式$p_{1}(x)=x$，$p_{3}(x)=x^{3}$ 等在${\mathcal {O}}$ 中。因此，${\mathcal {P}}_{n}$ 的任何成員都是${\mathcal {E}}$ 和 ${\mathcal {O}}$ 成員的組合。

問題 5

以下哪些子空間是$\mathbb {R} ^{3}$ 的子空間

$W_{1}$: $x$軸，     $W_{2}$: $y$軸，     $W_{3}$: $z$軸，    
$W_{4}$: $x+y+z=0$ 平面，     $W_{5}$: $yz$平面

可以組合成

1. 求和為 $\mathbb {R} ^{3}$ 嗎？
2. 直接求和為 $\mathbb {R} ^{3}$ 嗎？

答案

它們中的每一個都是 $\mathbb {R} ^{3}$。

1. 這些行被拆分是為了便於閱讀。

   $W_{1}+W_{2}+W_{3}$, $W_{1}+W_{2}+W_{3}+W_{4}$, $W_{1}+W_{2}+W_{3}+W_{5}$, $W_{1}+W_{2}+W_{3}+W_{4}+W_{5}$,
       $W_{1}+W_{2}+W_{4}$, $W_{1}+W_{2}+W_{4}+W_{5}$, $W_{1}+W_{2}+W_{5}$,
   $W_{1}+W_{3}+W_{4}$, $W_{1}+W_{3}+W_{5}$, $W_{1}+W_{3}+W_{4}+W_{5}$,
   $W_{1}+W_{4}$, $W_{1}+W_{4}+W_{5}$,
   $W_{1}+W_{5}$,
   $W_{2}+W_{3}+W_{4}$, $W_{2}+W_{3}+W_{4}+W_{5}$,
   $W_{2}+W_{4}$, $W_{2}+W_{4}+W_{5}$,
   $W_{3}+W_{4}$, $W_{3}+W_{4}+W_{5}$,
   $W_{4}+W_{5}$

2. $W_{1}\oplus W_{2}\oplus W_{3}$, $W_{1}\oplus W_{4}$, $W_{1}\oplus W_{5}$, $W_{2}\oplus W_{4}$, $W_{3}\oplus W_{4}$

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問題 6

證明 ${\mathcal {P}}_{n}=\{a_{0}\,{\big |}\,a_{0}\in \mathbb {R} \}\oplus \dots \oplus \{a_{n}x^{n}\,{\big |}\,a_{n}\in \mathbb {R} \}$.

答案

顯然，每個子空間都是一個子空間。子空間的基底 $B_{i}=\langle x^{i}\rangle$，當拼接在一起時，形成整個空間的基底。

問題 7

如果 $W_{1}\subseteq W_{2}$，那麼 $W_{1}+W_{2}$ 等於多少？

答案

它等於 $W_{2}$.

問題 8

例子 4.5 是否可以推廣？也就是說，以下說法是真還是假：如果向量空間 $V$ 的基底是 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$，那麼它就是一維子空間 $V=[\{{\vec {\beta }}_{1}\}]\oplus \dots \oplus [\{{\vec {\beta }}_{n}\}]$ 的直接和？

答案

引理 4.8 說明這是真的。

問題 9

是否可以以兩種不同的方式將 $\mathbb {R} ^{4}$ 分解為直接和？是否可以將 $\mathbb {R} ^{1}$？

答案

很容易找到$\mathbb {R} ^{4}$ 的兩種不同的直和分解。其中兩種分別是 $W_{1}=[\{{\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2}\}]$ 和 $W_{2}=[\{{\vec {e}}_{3},{\vec {e}}_{4}\}]$，還有 $U_{1}=[\{{\vec {e}}_{1}\}]$ 和 $U_{2}=[\{{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3},{\vec {e}}_{4}\}]$。（許多其他的分解方式也是可能的，例如 $\mathbb {R} ^{4}$ 及其平凡子空間。）

相反，$\mathbb {R} ^{1}$ 單向量基的任何劃分都會產生一個沒有元素的基和另一個只有一個元素的基。因此，任何分解都包含 $\mathbb {R} ^{1}$ 及其平凡子空間。

問題 10

此練習使用 “$+$” 符號來表示集合之間的運算更加自然。證明，當 $W_{1},\dots ,W_{k}$ 是向量空間的子空間時，

$W_{1}+\dots +W_{k}=\{{\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}+\dots +{\vec {w}}_{k}\,{\big |}\,{\vec {w}}_{1}\in W_{1},\dots ,{\vec {w}}_{k}\in W_{k}\},$

因此，子空間的和是所有和的子空間。

答案

集合包含的一種方式很簡單：$\{{\vec {w}}_{1}+\dots +{\vec {w}}_{k}\,{\big |}\,{\vec {w}}_{i}\in W_{i}\}$ 是 $[W_{1}\cup \dots \cup W_{k}]$ 的一個子集，因為每個 ${\vec {w}}_{1}+\dots +{\vec {w}}_{k}$ 都是來自並集的向量的和。

對於另一個包含，對來自並集的向量的任何線性組合，應用向量加法的交換律，將來自 $W_{1}$ 的向量放在最前面，然後是來自 $W_{2}$ 的向量，等等。將來自 $W_{1}$ 的向量加起來得到一個 ${\vec {w}}_{1}\in W_{1}$，將來自 $W_{2}$ 的向量加起來得到一個 ${\vec {w}}_{2}\in W_{2}$，等等。結果具有所需的格式。

問題 11

(參考 示例 4.19。這個練習表明，成對交集為平凡的要求確實比只要求所有子空間的交集為平凡的要求更強。) 給出一個向量空間和三個子空間 $W_{1}$、$W_{2}$ 和 $W_{3}$，使得空間是子空間的和，所有三個子空間的交集 $W_{1}\cap W_{2}\cap W_{3}$ 是平凡的，但成對交集 $W_{1}\cap W_{2}$、$W_{1}\cap W_{3}$ 和 $W_{2}\cap W_{3}$ 不是平凡的。

答案

舉個例子，空間可以是 $\mathbb {R} ^{3}$，子空間可以是 $xy$ 平面、$xz$ 平面和 $yz$ 平面。

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問題 12

證明如果 $V=W_{1}\oplus \dots \oplus W_{k}$，那麼 $W_{i}\cap W_{j}$ 在 $i\neq j$ 時是平凡的。這表明 引理 4.15 的證明前半部分可以擴充套件到兩個以上子空間的情況。（例 4.19 顯示這種蘊涵關係不能反轉；後半部分不能擴充套件。）

答案

當然，零向量在所有子空間中，所以交集至少包含這個向量。根據直和的定義，集合 $\{W_{1},\dots ,W_{k}\}$ 是獨立的，因此 $W_{i}$ 中的任何非零向量都不是 $W_{j}$ 中成員的倍數，當 $i\neq j$。特別地，$W_{i}$ 中的任何非零向量都不等於 $W_{j}$ 中的成員。

問題 13

回想一下，任何線性無關集都不包含零向量。一個獨立的子空間集可以包含平凡子空間嗎？

答案

它可以包含一個平凡子空間；這個 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空間集合是獨立的：$\{\{{\vec {0}}\},x{\text{-axis}}\}$。平凡空間 $\{{\vec {0}}\}$ 中的任何非零向量都不是來自 $x$ 軸的倍數，僅僅因為平凡空間沒有非零向量可以作為這種倍數的候選者（並且 $x$ 軸上也沒有非零向量是平凡子空間中的零向量的倍數）。

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問題 14

每個子空間都有補空間嗎？

答案

是的。對於向量空間的任何子空間，我們可以取該子空間的任何基底 $\langle {\vec {\omega }}_{1},\dots ,{\vec {\omega }}_{k}\rangle$ 並將其擴充套件為整個空間的基底 $\langle {\vec {\omega }}_{1},\dots ,{\vec {\omega }}_{k},{\vec {\beta }}_{k+1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 。那麼，原子空間的補空間以以下為基底： $\langle {\vec {\beta }}_{k+1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 。

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問題 15

令 $W_{1},W_{2}$ 是向量空間的子空間。

1. 假設集合 $S_{1}$ 張成 $W_{1}$ ，集合 $S_{2}$ 張成 $W_{2}$ 。 $S_{1}\cup S_{2}$ 能否張成 $W_{1}+W_{2}$ ？必須嗎？
2. 假設 $S_{1}$ 是 $W_{1}$ 的線性無關子集， $S_{2}$ 是 $W_{2}$ 的線性無關子集。 $S_{1}\cup S_{2}$ 能否成為 $W_{1}+W_{2}$ 的線性無關子集？必須嗎？

答案

1. 必須。任何$W_{1}+W_{2}$ 的成員都可以寫成${\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}$ 的形式，其中${\vec {w}}_{1}\in W_{1}$ 且${\vec {w}}_{2}\in W_{2}$。因為$S_{1}$ 生成$W_{1}$，向量${\vec {w}}_{1}$ 是$S_{1}$ 成員的組合。類似地${\vec {w}}_{2}$ 是$S_{2}$ 成員的組合。
2. 一個簡單的方法來證明它可以是線性無關的是將它們都設為空集。另一方面，在空間$\mathbb {R} ^{1}$ 中，如果$W_{1}=\mathbb {R} ^{1}$ 且$W_{2}=\mathbb {R} ^{1}$，且$S_{1}=\{1\}$ 且$S_{2}=\{2\}$，那麼它們的並集$S_{1}\cup S_{2}$ 不是獨立的。

問題 16

當一個向量空間被分解為一個直和時，子空間的維度加起來等於空間的維度。對於一個被給出為其子空間之和的空間，情況就沒有那麼簡單了。本練習考慮了兩個子空間的特殊情況。

1. 對於這些 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 的子空間，求 $W_{1}\cap W_{2}$，$\dim(W_{1}\cap W_{2})$，$W_{1}+W_{2}$ 以及 $\dim(W_{1}+W_{2})$。

   $W_{1}=\{{\begin{pmatrix}0&0\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c,d\in \mathbb {R} \}\qquad W_{2}=\{{\begin{pmatrix}0&b\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}$

2. 假設 $U$ 和 $W$ 是向量空間的子空間。假設序列 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k}\rangle$ 是 $U\cap W$ 的一個基。最後，假設先前的序列被擴充套件為序列 $\langle {\vec {\mu }}_{1},\dots ,{\vec {\mu }}_{j},{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k}\rangle$，它是 $U$ 的一個基，以及序列 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k},{\vec {\omega }}_{1},\dots ,{\vec {\omega }}_{p}\rangle$，它是 $W$ 的一個基。證明這個序列

   $\langle {\vec {\mu }}_{1},\dots ,{\vec {\mu }}_{j},{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k},{\vec {\omega }}_{1},\dots ,{\vec {\omega }}_{p}\rangle$

   是$U+W$的基。
3. 得出$\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)$。
4. 設$W_{1}$和$W_{2}$是十維空間中的兩個八維子空間。列出所有可能的$\dim(W_{1}\cap W_{2})$值。

答案

1. 交集和並集是

   $\{{\begin{pmatrix}0&0\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}\qquad \{{\begin{pmatrix}0&b\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c,d\in \mathbb {R} \}$

   它們的維數分別是 1 和 3。
2. 我們將 $B_{U\cap W}$ 稱為 $U\cap W$ 的基底，我們將 $B_{U}$ 稱為 $U$ 的基底，我們將 $B_{W}$ 稱為 $W$ 的基底，我們將 $B_{U+W}$ 稱為所考慮的基底。為了證明 $B_{U+W}$ 可以張成 $U+W$，可以觀察到，來自 $U+W$ 的任何向量 $c{\vec {u}}+d{\vec {w}}$ 可以寫成 $B_{U+W}$ 中向量的線性組合，只需將 ${\vec {u}}$ 用 $B_{U}$ 表示，並將 ${\vec {w}}$ 用 $B_{W}$ 表示。最後，我們證明 $B_{U+W}$ 是線性無關的。考慮

   $c_{1}{\vec {\mu }}_{1}+\dots +c_{j+1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{j+k+p}{\vec {\omega }}_{p}={\vec {0}}$

   可以改寫為這種形式。

   $c_{1}{\vec {\mu }}_{1}+\dots +c_{j}{\vec {\mu }}_{j}=-c_{j+1}{\vec {\beta }}_{1}-\dots -c_{j+k+p}{\vec {\omega }}_{p}$

   需要注意的是，等式左側的向量屬於 $U$，而右側的向量屬於 $W$，因此兩邊都屬於 $U\cap W$。由於等式左側屬於 $U\cap W$，它可以用 $B_{U\cap W}$ 的成員表示，這將等式左側的 ${\vec {\mu }}$ 的組合等同於等式右側的 ${\vec {\beta }}$ 的組合。但是，基礎 $B_{U}$ 是線性無關的，這表明任何這種組合都是平凡的，特別是等式左側的係數 $c_{1}$，…，$c_{j}$ 都為零。類似地，${\vec {\omega }}$ 的係數也都為零。這使得上述等式成為 ${\vec {\beta }}$ 之間的線性關係，但 $B_{U\cap W}$ 是線性無關的，因此所有 ${\vec {\beta }}$ 的係數也為零。
3. 只需計算上一個專案中的基向量數量：$\dim(U+W)=j+k+p$，以及 $\dim(U)=j+k$，以及 $\dim(W)=k+p$，以及 $\dim(U\cap W)=k$。
4. 我們知道 $\dim(W_{1}+W_{2})=\dim(W_{1})+\dim(W_{2})-\dim(W_{1}\cap W_{2})$。由於 $W_{1}\subseteq W_{1}+W_{2}$，我們知道 $W_{1}+W_{2}$ 的維數必須大於 $W_{1}$ 的維數，即必須為八、九或十維。代入後，我們得到三個可能性：$8=8+8-\dim(W_{1}\cap W_{2})$ 或 $9=8+8-\dim(W_{1}\cap W_{2})$ 或 $10=8+8-\dim(W_{1}\cap W_{2})$。因此 $\dim(W_{1}\cap W_{2})$ 必須是八、七或六。 （舉一些例子來說明這三種情況都是可能的很容易，例如在 $\mathbb {R} ^{10}$ 中。）

問題 17

令 $V=W_{1}\oplus \dots \oplus W_{k}$，對於每個索引 $i$ 假設 $S_{i}$ 是 $W_{i}$ 的一個線性無關子集。證明所有 $S_{i}$ 的並集是線性無關的。

答案

將每個 $S_{i}$ 擴充套件成 $W_{i}$ 的基 $B_{i}$。這些基的連線 $B_{1}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\cdots \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{k}$ 是 $V$ 的基，因此其成員構成一個線性無關集。但並集 $S_{1}\cup \cdots \cup S_{k}$ 是該線性無關集的子集，因此本身也是線性無關的。

問題 18

如果對於每對索引 $i$ 和 $j$，矩陣的 $i,j$ 元素等於 $j,i$ 元素，則該矩陣為對稱矩陣。如果每個 $i,j$ 元素是 $j,i$ 元素的負數，則該矩陣為反對稱矩陣。

1. 給出 $2\!\times \!2$ 的對稱矩陣和 $2\!\times \!2$ 的反對稱矩陣。（注意：對於第二個矩陣，請注意對角線上的元素。）
2. 方陣的對稱矩陣與其轉置之間有什麼關係？方陣的反對稱矩陣與其轉置之間有什麼關係？
3. 證明 ${\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$ 是對稱矩陣空間和反對稱矩陣空間的直和。

答案

1. 以下是兩個例子。

   ${\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$

   對於反對稱矩陣，對角線上的元素必須為零。
2. 一個對稱方陣等於它的轉置。一個反對稱方陣等於它的轉置的負數。
3. 證明這兩個集合是子空間很容易。假設 $A\in {\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$。要將 $A$ 表示為對稱矩陣和反對稱矩陣的和，我們觀察到

   $A=(1/2)(A+{{A}^{\rm {trans}}})+(1/2)(A-{{A}^{\rm {trans}}})$

   並注意到第一個加數是對稱的，而第二個是反對稱的。因此 ${\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$ 是這兩個子空間的和。為了證明這個和是直接的，假設一個矩陣 $A$ 既是對稱的 $A={{A}^{\rm {trans}}}$ 又是反對稱的 $A=-{{A}^{\rm {trans}}}$。那麼 $A=-A$ 因此 $A$ 的所有元素都是零。

問題 19

設 $W_{1},W_{2},W_{3}$ 是向量空間的子空間。證明 $(W_{1}\cap W_{2})+(W_{1}\cap W_{3})\subseteq W_{1}\cap (W_{2}+W_{3})$。是否包含關係反轉？

答案

假設${\vec {v}}\in (W_{1}\cap W_{2})+(W_{1}\cap W_{3})$。 那麼${\vec {v}}={\vec {w}}_{2}+{\vec {w}}_{3}$，其中${\vec {w}}_{2}\in W_{1}\cap W_{2}$ 且 ${\vec {w}}_{3}\in W_{1}\cap W_{3}$。 注意${\vec {w}}_{2},{\vec {w}}_{3}\in W_{1}$，並且，由於子空間在加法下封閉，${\vec {w}}_{2}+{\vec {w}}_{3}\in W_{1}$。 因此${\vec {v}}={\vec {w}}_{2}+{\vec {w}}_{3}\in W_{1}\cap (W_{2}+W_{3})$。

這個例子證明了包含關係可能是嚴格的：在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，取 $W_{1}$ 為 $x$ 軸，取 $W_{2}$ 為 $y$ 軸，取 $W_{3}$ 為直線 $y=x$。那麼 $W_{1}\cap W_{2}$ 和 $W_{1}\cap W_{3}$ 是平凡的，所以它們的和是平凡的。但 $W_{2}+W_{3}$ 是整個 $\mathbb {R} ^{2}$，所以 $W_{1}\cap (W_{2}+W_{3})$ 是 $x$ 軸。

問題 20

在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，$x$ 軸和 $y$ 軸的例子表明 $W_{1}\oplus W_{2}=V$ 並不意味著 $W_{1}\cup W_{2}=V$。那麼 $W_{1}\oplus W_{2}=V$ 和 $W_{1}\cup W_{2}=V$ 會同時發生嗎？

答案

當至少一個 $W_{1},W_{2}$ 是平凡的時，這種情況就會發生。但這僅僅是它發生的方式。

為了證明這一點，假設兩者都不平凡，選擇非零向量 ${\vec {w}}_{1},{\vec {w}}_{2}$ 來自每個向量，並考慮 ${\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}$。這個和不在 $W_{1}$ 中，因為 ${\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}={\vec {v}}\in W_{1}$ 將意味著 ${\vec {w}}_{2}={\vec {v}}-{\vec {w}}_{1}$ 在 $W_{1}$ 中，這違反了子空間獨立性的假設。類似地，${\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}$ 不在 $W_{2}$ 中。因此，存在一個 $V$ 的元素不在 $W_{1}\cup W_{2}$ 中。

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問題 21

我們對互補子空間的模型，即 $x$ 軸和 $y$ 軸在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，有一個在這裡沒有使用過的性質。當 $U$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子空間時，我們定義 $U$ 的**正交補**為

$U^{\perp }=\{{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}\,{\big |}\,{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}=0{\text{ for all }}{\vec {u}}\in U\}$

(讀作 “$U$ 的正交補”)。

1. 求 $x$ 軸在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的正交補。
2. 求 $x$ 軸在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的正交補。
3. 求 $xy$ 平面在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的正交補。
4. 證明一個子空間的正交補也是子空間。
5. 證明如果 $W$ 是 $U$ 的正交補，那麼 $U$ 是 $W$ 的正交補。
6. 證明一個子空間與其正交補的交集是平凡的。
7. 由此得出，對於任何 $n$ 和子空間 $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$，我們有 $\mathbb {R} ^{n}=U\oplus U^{\perp }$.
8. 證明 $\dim(U)+\dim(U^{\perp })$ 等於包含空間的維數。

答案

1. 集合

   $\{{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}=0{\text{ for all }}x\in \mathbb {R} \}$

   很容易看出是 $y$-軸。
2. The $yz$-平面。
3. The $z$-軸。
4. 假設 $U$ 是某個 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子空間。因為 $U^{\perp }$ 包含零向量，因為該向量垂直於所有向量，我們只需要證明正交補在兩個元素的線性組合下是封閉的。如果 ${\vec {w}}_{1},{\vec {w}}_{2}\in U^{\perp }$ 那麼 ${\vec {w}}_{1}\cdot {\vec {u}}=0$ 和 ${\vec {w}}_{2}\cdot {\vec {u}}=0$ 對所有 ${\vec {u}}\in U$。因此 $(c_{1}{\vec {w}}_{1}+c_{2}{\vec {w}}_{2})\cdot {\vec {u}}=c_{1}({\vec {w}}_{1}\cdot {\vec {u}})+c_{2}({\vec {w}}_{2}\cdot {\vec {u}})=0$ 對所有 ${\vec {u}}\in U$，因此 $U^{\perp }$ 線上性組合下是封閉的。
5. 唯一與自身正交的向量是零向量。
6. 這是直接的。
7. 為了證明維度相加，根據 推論 4.13 和 引理 4.15，只需要證明 $U\cap U^{\perp }$ 是平凡子空間 $\{{\vec {0}}\}$。但這正是本題中前面提到的內容。

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問題 22

考慮推論 4.13。它是否雙向有效？也就是說，假設$V=W_{1}+\dots +W_{k}$，$V=W_{1}\oplus \dots \oplus W_{k}$當且僅當$\dim(V)=\dim(W_{1})+\dots +\dim(W_{k})$？

答案

是的。從左到右的蘊涵是推論 4.13。對於另一個方向，假設$\dim(V)=\dim(W_{1})+\dots +\dim(W_{k})$。令$B_{1},\dots ,B_{k}$ 是$W_{1},\dots ,W_{k}$ 的基。由於$V$ 是子空間的和，任何${\vec {v}}\in V$ 可以寫成${\vec {v}}={\vec {w}}_{1}+\cdots +{\vec {w}}_{k}$，並將每個${\vec {w}}_{i}$ 表示為來自相關基$B_{i}$ 的向量的組合，表明連線$B_{1}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\cdots \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{k}$ 張成$V$。現在，該連線有$\dim(W_{1})+\dots +\dim(W_{k})$ 個成員，因此它是一個大小為$\dim(V)$ 的生成集。因此，連線是$V$ 的基。因此$V$ 是直和。

問題 23

我們知道，如果 $V=W_{1}\oplus W_{2}$，那麼存在 $V$ 的一個基，它可以拆分為 $W_{1}$ 的一個基和 $W_{2}$ 的一個基。我們可以得出更強的結論，即 $V$ 的每個基都可以拆分為 $W_{1}$ 的一個基和 $W_{2}$ 的一個基嗎？

答案

不。$\mathbb {R} ^{2}$ 的標準基不能拆分為直線 $x=y$ 和直線 $x=-y$ 的基。

問題 24

我們可以問一下“$+$”運算的代數性質。

1. 它是否滿足交換律，即 $W_{1}+W_{2}=W_{2}+W_{1}$？
2. 它是否滿足結合律，即 $(W_{1}+W_{2})+W_{3}=W_{1}+(W_{2}+W_{3})$？
3. 令 $W$ 是某個向量空間的子空間。證明 $W+W=W$。
4. 是否必須存在一個單位元，即一個子空間 $I$，使得對於所有子空間 $W$ 都有 $I+W=W+I=W$？
5. 左消去律是否成立：如果 $W_{1}+W_{2}=W_{1}+W_{3}$，那麼 $W_{2}=W_{3}$？右消去律呢？

答案

1. 是的，$W_{1}+W_{2}=W_{2}+W_{1}$對於所有子空間 $W_{1},W_{2}$成立，因為等式兩邊都是 $W_{1}\cup W_{2}=W_{2}\cup W_{1}$的生成空間。
2. 這個與上一個問題類似——該等式兩邊都是 $(W_{1}\cup W_{2})\cup W_{3}=W_{1}\cup (W_{2}\cup W_{3})$的生成空間。
3. 因為這是集合之間的等式，我們可以透過相互包含來證明它的成立。顯然 $W\subseteq W+W$。對於 $W+W\subseteq W$，只需要回顧每個子空間對加法封閉，所以任何形如 ${\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}$的和都在 $W$中。
4. 在每個向量空間中，關於子空間加法的單位元是平凡子空間。
5. 左消去律和右消去律都不一定成立。舉個例子，在 $\mathbb {R} ^{3}$中，令 $W_{1}$ 為 $xy$ 平面，令 $W_{2}$ 為 $x$ 軸，令 $W_{3}$ 為 $y$ 軸。

問題 25

考慮直和運算的代數性質。

1. 直接和運算是否滿足交換律：$V=W_{1}\oplus W_{2}$ 是否意味著 $V=W_{2}\oplus W_{1}$?
2. 證明直接和運算是結合的：$(W_{1}\oplus W_{2})\oplus W_{3}=W_{1}\oplus (W_{2}\oplus W_{3})$.
3. 證明$\mathbb {R} ^{3}$ 是三個座標軸的直接和（這裡需要注意的是，根據前一項，我們不需要指定三個座標軸中哪兩個首先組合）。
4. 直接和運算是否滿足左消去律：$W_{1}\oplus W_{2}=W_{1}\oplus W_{3}$ 是否意味著 $W_{2}=W_{3}$？它是否滿足右消去律？
5. 對於該運算，存在一個單位元。找到它。
6. 某些或所有子空間對於該運算是否有逆元：是否存在某個向量空間的子空間$W$，使得存在一個子空間$U$，具有性質 $U\oplus W$ 等於前一項中的單位元？

答案

1. 它們相等，因為對於每一個，$V$ 是直接和當且僅當每一個${\vec {v}}\in V$ 可以以唯一的方式寫成一個和${\vec {v}}={\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}$ 和 ${\vec {v}}={\vec {w}}_{2}+{\vec {w}}_{1}$.
2. 它們相等，因為對於每一個，$V$ 是直接和，當且僅當每一個 ${\vec {v}}\in V$ 可以唯一地寫成每個 ${\vec {v}}=({\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2})+{\vec {w}}_{3}$ 和 ${\vec {v}}={\vec {w}}_{1}+({\vec {w}}_{2}+{\vec {w}}_{3})$ 的向量之和。
3. 在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的任何向量都可以唯一地分解為來自每個軸的向量的和。
4. 不。例如，在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，取 $W_{1}$ 為 $x$ 軸，取 $W_{2}$ 為 $y$ 軸，取 $W_{3}$ 為直線 $y=x$。
5. 在任何向量空間中，平凡子空間充當直接和的單位元。
6. 在任何向量空間中，只有平凡子空間具有直接和逆（即本身）。觀察這一點的一種方法是維度會相加，因此會增加。