線性代數/子空間的組合

本小節是可選的。它僅在第三章和第五章的最後幾節以及偶爾的練習中需要，可以跳過而不會影響連貫性。

本章以向量空間的定義開始，中間部分是對該概念的初步分析。本小節透過完成分析來結束本章，"分析"的意思是"透過將事物分解成部分來確定其...基本特徵的方法" (Halsey 1979)。

理解事物的常見方法是觀察它們如何由組成部分構成。例如，我們認為 $\mathbb {R} ^{3}$ 以某種方式由 $x$ 軸、$y$ 軸和 $z$ 軸構成。在本小節中，我們將對此進行精確說明；我們將描述如何將向量空間分解成其一些子空間的組合。在發展子空間組合這一概念時，我們將牢記 $\mathbb {R} ^{3}$ 示例作為基準模型。

子空間是子集，而集合透過並集組合。但將子空間的組合運算視為簡單的並集運算並非我們想要的。一方面，$x$ 軸、$y$ 軸和 $z$ 軸的並集並非整個 $\mathbb {R} ^{3}$，因此基準模型將被排除在外。此外，並集在這方面是完全錯誤的：子空間的並集不一定是子空間（它可能不閉合；例如，此 $\mathbb {R} ^{3}$ 向量

${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$

不在三個軸中的任何一箇中，因此不在並集中）。除了子空間的成員外，我們至少還必須包括所有線性組合。

定義 4.1

當 $W_{1},\dots ,W_{k}$ 是向量空間的子空間時，它們的和是其並集的線性組合 $W_{1}+W_{2}+\dots +W_{k}=[W_{1}\cup W_{2}\cup \dots W_{k}]$。

(用“$+$”符號來表示集合之間的加法，以及用它來表示向量之間的加法，這符合將該符號用於任何自然累加運算的習慣做法。)

例 4.2

$\mathbb {R} ^{3}$ 模型符合這種運算。 任何向量 ${\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{3}$ 可以寫成線性組合 $c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}+c_{3}{\vec {v}}_{3}$，其中 ${\vec {v}}_{1}$ 是 $x$ 軸的成員，依此類推

${\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}w_{1}\\0\\0\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}0\\w_{2}\\0\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}0\\0\\w_{3}\end{pmatrix}}$

因此 $\mathbb {R} ^{3}=x{\text{-axis}}+y{\text{-axis}}+z{\text{-axis}}$。

例 4.3

子空間的和可能小於整個空間。在 ${\mathcal {P}}_{4}$ 中，設 $L$ 是線性多項式 $\{a+bx\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ 的子空間，設 $C$ 是純三次多項式 $\{cx^{3}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$ 的子空間。則 $L+C$ 不是整個 ${\mathcal {P}}_{4}$。相反，它是子空間 $L+C=\{a+bx+cx^{3}\,{\big |}\,a,b,c\in \mathbb {R} \}$.

例 4.4

空間可以以多種方式描述為子空間的組合。除了分解 $\mathbb {R} ^{3}=x{\text{-axis}}+y{\text{-axis}}+z{\text{-axis}}$ 之外，我們還可以寫成 $\mathbb {R} ^{3}=xy{\text{-plane}}+yz{\text{-plane}}$。為了驗證這一點，請注意，任何 ${\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{3}$ 可以寫成 $xy$ 平面和 $yz$ 平面的成員的線性組合；這裡有兩個這樣的組合。

${\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\0\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}0\\0\\w_{3}\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}/2\\0\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}0\\w_{2}/2\\w_{3}\end{pmatrix}}$

上面的定義提供了一種將空間視為其部分組合的方式。但是，前面的例子表明，我們的基準模型至少存在一個有趣的特性，該特性不能用子空間之和的定義來捕獲。在熟悉的$\mathbb {R} ^{3}$的分解中，我們經常談論一個向量的"$x$部分"或"$y$部分"或"$z$部分”。也就是說，在這個模型中，每個向量都有一個唯一的分解，分解成來自構成整個空間的部分的部分。但在示例 4.4中使用的分解中，我們無法引用向量的"$xy$部分”—— 這三個和

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}$

都描述了該向量由第一個平面中的某個東西加上第二個平面中的某個東西組成，但"$xy$部分”在每個中都不同。

也就是說，當我們考慮如何將$\mathbb {R} ^{3}$從三個軸以“某種方式”組合在一起時，我們可能指的是“以這樣一種方式，即每個向量至少有一個分解”，這將導致上面的定義。但如果我們將它理解為“以這樣一種方式，即每個向量只有一個且只有一個分解”，那麼我們需要組合的另一個條件。要了解這個條件是什麼，請回想向量是以基的形式唯一表示的。我們可以用它將一個空間分解成子空間之和，使得空間中的任何向量都唯一地分解成這些子空間的成員之和。

示例 4.5

基準是$\mathbb {R} ^{3}$，其標準基是${\mathcal {E}}_{3}=\langle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}\rangle$。以$B_{1}=\langle {\vec {e}}_{1}\rangle$為基的子空間是$x$軸。以$B_{2}=\langle {\vec {e}}_{2}\rangle$為基的子空間是$y$軸。以$B_{3}=\langle {\vec {e}}_{3}\rangle$為基的子空間是$z$軸。$\mathbb {R} ^{3}$ 中的任何成員都可以表示為來自這些子空間的向量的和。

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\y\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\z\end{pmatrix}}$

反映了${\mathcal {E}}_{3}$ 跨越空間 - 這個等式

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

對於任何 $x,y,z\in \mathbb {R}$ 都有一個解。並且，每個這種表示式都是唯一的，這反映了這樣一個事實：${\mathcal {E}}_{3}$ 線性無關 - 任何像上面這樣的方程都有唯一的解。

示例 4.6

我們不必一次只取一個基向量，如果我們將它們合併成更大的序列，同樣的想法仍然適用。再次考慮空間 $\mathbb {R} ^{3}$ 和來自標準基 ${\mathcal {E}}_{3}$ 的向量。具有基 $B_{1}=\langle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{3}\rangle$ 的子空間是 $xz$-平面。具有基 $B_{2}=\langle {\vec {e}}_{2}\rangle$ 的子空間是 $y$-軸。就像在前面的例子中，任何空間成員都是兩個子空間成員的和這一事實，並且僅以一種方式

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\0\\z\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\y\\0\end{pmatrix}}$

反映了這些向量構成一個基 - 這個系統

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=(c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}})+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$

對於任何 $x,y,z\in \mathbb {R}$ 只有一個解。

這些例子說明了一種自然的方式將空間分解成子空間的和，這樣每個向量都唯一地分解成來自各個部分的向量之和。下面的結果表明，這種方式是唯一的方式。

定義 4.7

序列 $B_{1}=\langle {\vec {\beta }}_{1,1},\dots ,{\vec {\beta }}_{1,n_{1}}\rangle$，...，$B_{k}=\langle {\vec {\beta }}_{k,1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k,n_{k}}\rangle$ 的 **連線** 是它們的並置。

$B_{1}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{2}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\cdots \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{k}=\langle {\vec {\beta }}_{1,1},\dots ,{\vec {\beta }}_{1,n_{1}},{\vec {\beta }}_{2,1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k,n_{k}}\rangle$

引理 4.8

令 $V$ 是一個向量空間，它是其一些子空間 $V=W_{1}+\dots +W_{k}$ 的和。令 $B_{1}$, ..., $B_{k}$ 是這些子空間的任意基。那麼以下等價。

1. 對於每個 ${\vec {v}}\in V$，表示式 ${\vec {v}}={\vec {w}}_{1}+\dots +{\vec {w}}_{k}$（其中 ${\vec {w}}_{i}\in W_{i}$）是唯一的。
2. $B_{1}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\cdots \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{k}$ 的連線是 $V$ 的一個基。
3. 集合 $\{{\vec {w}}_{1},\dots ,{\vec {w}}_{k}\}$ 中的非零成員（其中 ${\vec {w}}_{i}\in W_{i}$）構成一個線性無關的集合，即來自不同 $W_{i}$ 的非零向量之間的任何線性關係都是平凡的。

證明

我們將證明 ${\text{(1)}}\implies {\text{(2)}}$，${\text{(2)}}\implies {\text{(3)}}$，最後是 ${\text{(3)}}\implies {\text{(1)}}$。對於這些論點，請注意，我們可以從 ${\vec {w}}$ 的組合轉換為 ${\vec {\beta }}$ 的組合。

$(*)\qquad d_{1}{\vec {w}}_{1}+\dots +d_{k}{\vec {w}}_{k}=$

${\begin{array}{rl}&=d_{1}(c_{1,1}{\vec {\beta }}_{1,1}+\dots +c_{1,n_{1}}{\vec {\beta }}_{1,n_{1}})+\dots +d_{k}(c_{k,1}{\vec {\beta }}_{k,1}+\dots +c_{k,n_{k}}{\vec {\beta }}_{k,n_{k}})\\&=d_{1}c_{1,1}\cdot {\vec {\beta }}_{1,1}+\dots +d_{k}c_{k,n_{k}}\cdot {\vec {\beta }}_{k,n_{k}}\end{array}}$

反之亦然。

對於 ${\text{(1)}}\implies {\text{(2)}}$，假設所有分解都是唯一的。我們將證明 $B_{1}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\cdots \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{k}$ 跨越空間並且線性無關。它跨越空間是因為假設 $V=W_{1}+\dots +W_{k}$ 意味著每個 ${\vec {v}}$ 可以表示為 ${\vec {v}}={\vec {w}}_{1}+\dots +{\vec {w}}_{k}$，透過方程式 ($*$) 轉化為 ${\vec {v}}$ 作為 ${\vec {\beta }}$ 在拼接中的線性組合。對於線性無關性，考慮這種線性關係。

${\vec {0}}=c_{1,1}{\vec {\beta }}_{1,1}+\dots +c_{k,n_{k}}{\vec {\beta }}_{k,n_{k}}$

如（$*$) 中那樣重新分組（即，取 $d_{1}$，…，$d_{k}$ 為 $1$，並從底部移動到頂部）得到分解 ${\vec {0}}={\vec {w}}_{1}+\dots +{\vec {w}}_{k}$。由於假設分解是唯一的，並且因為零向量顯然具有分解 ${\vec {0}}={\vec {0}}+\dots +{\vec {0}}$，我們現在有每個 ${\vec {w}}_{i}$ 是零向量。這意味著 $c_{i,1}{\vec {\beta }}_{i,1}+\dots +c_{i,n_{i}}{\vec {\beta }}_{i,n_{i}}={\vec {0}}$。因此，由於每個 $B_{i}$ 是一個基底，我們得到了想要的結論，即所有 $c$ 都為零。

對於 ${\text{(2)}}\implies {\text{(3)}}$，假設 $B_{1}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\cdots \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{k}$ 是該空間的基底。考慮來自不同 $W_{i}$ 的非零向量之間的線性關係，

${\vec {0}}=\dots +d_{i}{\vec {w}}_{i}+\cdots$

為了證明它微不足道。(之所以以這種方式寫關係，是因為我們正在考慮從某些$W_{i}$中獲取的非零向量的組合；例如，可能不存在此組合中的${\vec {w}}_{1}$。) 如同($*$)中，${\vec {0}}=\dots +d_{i}(c_{i,1}{\vec {\beta }}_{i,1}+\dots +c_{i,n_{i}}{\vec {\beta }}_{i,n_{i}})+\cdots =\dots +d_{i}c_{i,1}\cdot {\vec {\beta }}_{i,1}+\dots +d_{i}c_{i,n_{i}}\cdot {\vec {\beta }}_{i,n_{i}}+\cdots$ 以及$B_{1}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\cdots \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{k}$ 的線性無關性表明，每個係數$d_{i}c_{i,j}$ 為零。 現在，${\vec {w}}_{i}$ 是一個非零向量，因此至少一個$c_{i,j}$ 不為零，因此$d_{i}$ 為零。 這對於每個$d_{i}$ 都成立，因此線性關係是微不足道的。

最後，對於${\text{(3)}}\implies {\text{(1)}}$，假設在來自不同$W_{i}$的非零向量中，任何線性關係都是平凡的。考慮一個向量${\vec {v}}={\vec {w}}_{1}+\dots +{\vec {w}}_{k}$和${\vec {v}}={\vec {u}}_{1}+\dots +{\vec {u}}_{k}$的兩種分解，以證明它們是相同的。我們有

${\vec {0}}=({\vec {w}}_{1}+\dots +{\vec {w}}_{k})-({\vec {u}}_{1}+\dots +{\vec {u}}_{k})=({\vec {w}}_{1}-{\vec {u}}_{1})+\dots +({\vec {w}}_{k}-{\vec {u}}_{k})$

這違反了假設，除非每個${\vec {w}}_{i}-{\vec {u}}_{i}$是零向量。因此，分解是唯一的。

定義 4.9

子空間的集合$\{W_{1},\ldots ,W_{k}\}$是獨立的，如果來自任何$W_{i}$的非零向量不是來自其他子空間$W_{1},\dots ,W_{i-1},W_{i+1},\dots ,W_{k}$的向量的線性組合。

定義 4.10

向量空間$V$是其子空間$W_{1},\dots ,W_{k}$的直和（或內部直和），如果$V=W_{1}+W_{2}+\dots +W_{k}$，並且集合$\{W_{1},\dots ,W_{k}\}$是獨立的。我們寫$V=W_{1}\oplus W_{2}\oplus \dots \oplus W_{k}$.

示例 4.11

基準模型擬合：$\mathbb {R} ^{3}=x{\text{-axis}}\oplus y{\text{-axis}}\oplus z{\text{-axis}}$.

例 4.12

$2\!\times \!2$ 矩陣的空間是這個直和。

$\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,d\in \mathbb {R} \}\,\oplus \,\{{\begin{pmatrix}0&b\\0&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b\in \mathbb {R} \}\,\oplus \,\{{\begin{pmatrix}0&0\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$

它也是子空間的直和，以許多其他的方式；直和分解不是唯一的。

推論 4.13

直和的維數是其直和因子的維數之和。

證明

在 引理 4.8 中，連線中的基向量數量等於組成連線的子基中向量數量的總和。

兩個子空間的特殊情況值得單獨提及。

定義 4.14

當一個向量空間是其兩個子空間的直和時，則稱它們為 **補集**。

引理 4.15

一個向量空間 $V$ 是其兩個子空間 $W_{1}$ 和 $W_{2}$ 的直和當且僅當它是兩個 $V=W_{1}+W_{2}$ 的和，並且它們的交集是平凡的 $W_{1}\cap W_{2}=\{{\vec {0}}\,\}$。

證明

首先假設 $V=W_{1}\oplus W_{2}$。根據定義，$V$ 是這兩個空間的直和。為了證明這兩個空間的交集是平凡的，令 ${\vec {v}}$ 是來自 $W_{1}\cap W_{2}$ 的向量，並考慮方程 ${\vec {v}}={\vec {v}}$。該方程的左側是 $W_{1}$ 的一個元素，而右側是 $W_{2}$ 的元素的線性組合（實際上只有一個元素）。但是，這兩個空間的獨立性意味著 ${\vec {v}}={\vec {0}}$，如我們所期望的。

對於另一個方向，假設 $V$ 是兩個具有平凡交集的空間的總和。為了證明 $V$ 是這兩個空間的直和，我們只需要證明這兩個空間是獨立的——第一個空間中沒有非零成員可以表示為第二個空間中成員的線性組合，反之亦然。這是因為任何關係 ${\vec {w}}_{1}=c_{1}{\vec {w}}_{2,1}+\dots +d_{k}{\vec {w}}_{2,k}$（其中 ${\vec {w}}_{1}\in W_{1}$ 且 ${\vec {w}}_{2,j}\in W_{2}$ 對所有 $j$）表明左邊的向量也在 $W_{2}$ 中，因為右邊是 $W_{2}$ 中成員的組合。這兩個空間的交集是平凡的，所以 ${\vec {w}}_{1}={\vec {0}}$。同樣的論證適用於任何 ${\vec {w}}_{2}$。

示例 4.16

在空間 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，$x$ 軸和 $y$ 軸是互補的，也就是說，$\mathbb {R} ^{2}=x{\text{-axis}}\oplus y{\text{-axis}}$。一個空間可以有多對互補子空間；這裡另一對是包含直線 $y=x$ 和 $y=2x$ 的子空間。

示例 4.17

在空間 $F=\{a\cos \theta +b\sin \theta \,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ 中，子空間 $W_{1}=\{a\cos \theta \,{\big |}\,a\in \mathbb {R} \}$ 和 $W_{2}=\{b\sin \theta \,{\big |}\,b\in \mathbb {R} \}$ 是互補的。除了像 $F$ 這樣的空間可以有多對互補子空間之外，在空間內部，像 $W_{1}$ 這樣的單個子空間可以有多個互補—— $W_{1}$ 的另一個互補是 $W_{3}=\{b\sin \theta +b\cos \theta \,{\big |}\,b\in \mathbb {R} \}$。

例 4.18

在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，$xy$ 平面和 $yz$ 平面不是互補的，這就是 例 4.4 之後討論的重點。 $xy$ 平面的一個互補是 $z$ 軸。 $yz$ 平面的一個互補是經過 $(1,1,1)$ 的直線。

例 4.19

根據引理 4.15，我們可以提出一個自然的問題：簡單和 $V=W_{1}+\dots +W_{k}$ 是否也為直和，當且僅當子空間的交集是平凡的？答案是如果有多於兩個子空間，那麼平凡的交集不足以保證唯一的分解（即，不足以確保這些空間是獨立的）。在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，令 $W_{1}$ 為 $x$ 軸，令 $W_{2}$ 為 $y$ 軸，令 $W_{3}$ 為：

$W_{3}=\{{\begin{pmatrix}q\\q\\r\end{pmatrix}}\,{\big |}\,q,r\in \mathbb {R} \}$

很容易驗證 $\mathbb {R} ^{3}=W_{1}+W_{2}+W_{3}$。交集 $W_{1}\cap W_{2}\cap W_{3}$ 是平凡的，但分解並不唯一。

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\y-x\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x\\x\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x-y\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y\\y\\z\end{pmatrix}}$

（此例還表明，這個要求也不夠：所有子空間的成對交集是平凡的。參見練習 11。）

例 4.20

在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，該子空間 $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}\,\mid \,x,y\in \mathbb {R} \}=\{{\begin{pmatrix}x\\0\\0\end{pmatrix}}\,\mid \,x\in \mathbb {R} \}\,\oplus \,\{{\begin{pmatrix}0\\y\\0\end{pmatrix}}\,\mid \,y\in \mathbb {R} \}$.

這表明直和不必是最大空間。

例 4.21

直接和 $\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\,\mid \,a_{0},a_{1},a_{2}\in \mathbb {R} \}\,\oplus \,\{a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}\,\mid \,a_{3},a_{4}\in \mathbb {R} \}={\mathcal {P}}_{4}$ 也就是說，度數不超過 4 的多項式空間。

而直接和 ${\mathcal {P}}_{4}\,\oplus \,\{a_{5}x^{5}+a_{6}x^{6}+a_{7}x^{7}\,\mid \,a_{5},a_{6},a_{7}\in \mathbb {R} \}={\mathcal {P}}_{7}$ 也就是說，度數不超過 7 的多項式空間。

這表明，兩個向量空間的直接和可以再次直接相加，形成一個更大的向量空間（至少對於有限維多項式向量空間 ${\mathcal {P}}_{n}$ 來說，可以無限次重複）。

例 4.22

某些直接和的直接和元可以寫成直接和本身，
$\mathbb {R} ^{3}=x{\text{-axis}}\,\oplus \,yz{\text{-plane}}=x{\text{-axis}}\,\oplus \,(y{\text{-axis}}\,\oplus \,z{\text{-axis}})$,
${\mathcal {P}}_{2}=\{a_{2}x^{2}\mid a_{2}\in \mathbb {R} \}\oplus {\mathcal {P}}_{1}=\{a_{2}x^{2}\mid a_{2}\in \mathbb {R} \}\oplus (\,\{a_{1}x\mid a_{1}\in \mathbb {R} \}\oplus {\mathcal {P}}_{0}\,)$.

在本小節中，我們看到了將空間視為由組成部分構建的兩種方法。兩者都有用；特別是在本書中，直接和定義是第五章中進行 Jordan 形式構造所必需的。

練習

建議所有讀者完成此練習。

問題 1

判斷 $\mathbb {R} ^{2}$ 是否是每個 $W_{1}$ 和 $W_{2}$ 的直接和。

1. $W_{1}=\{{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {R} \}$, $W_{2}=\{{\begin{pmatrix}x\\x\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {R} \}$
2. $W_{1}=\{{\begin{pmatrix}s\\s\end{pmatrix}}\,{\big |}\,s\in \mathbb {R} \}$, $W_{2}=\{{\begin{pmatrix}s\\1.1s\end{pmatrix}}\,{\big |}\,s\in \mathbb {R} \}$
3. $W_{1}=\mathbb {R} ^{2}$, $W_{2}=\{{\vec {0}}\}$
4. $W_{1}=W_{2}=\{{\begin{pmatrix}t\\t\end{pmatrix}}\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$
5. $W_{1}=\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {R} \}$, $W_{2}=\{{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {R} \}$

建議所有讀者完成此練習。

問題 2

證明 $\mathbb {R} ^{3}$ 是 $xy$ 平面與以下每個元素的直和：

1. $z$ 軸
2. 直線

   $\{{\begin{pmatrix}z\\z\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}$

問題 3

是 ${\mathcal {P}}_{2}$ 的直接和 $\{a+bx^{2}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ 和 $\{cx\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$ 嗎？

建議所有讀者完成此練習。

問題 4

在 ${\mathcal {P}}_{n}$ 中，**偶**多項式是這個集合中的成員

${\mathcal {E}}=\{p\in {\mathcal {P}}_{n}\,{\big |}\,p(-x)=p(x){\text{ for all }}x\}$

而**奇**多項式是這個集合中的成員。

${\mathcal {O}}=\{p\in {\mathcal {P}}_{n}\,{\big |}\,p(-x)=-p(x){\text{ for all }}x\}$

證明它們是互補子空間。

問題 5

這些 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空間中的哪些

$W_{1}$: $x$ 軸，      $W_{2}$: $y$ 軸，      $W_{3}$: $z$ 軸，     
$W_{4}$: 平面 $x+y+z=0$,      $W_{5}$: $yz$ 平面

可以組合成

1. 加起來得到 $\mathbb {R} ^{3}$ 嗎？
2. 直接和得到 $\mathbb {R} ^{3}$ 嗎？

建議所有讀者完成此練習。

問題 6

證明 ${\mathcal {P}}_{n}=\{a_{0}\,{\big |}\,a_{0}\in \mathbb {R} \}\oplus \dots \oplus \{a_{n}x^{n}\,{\big |}\,a_{n}\in \mathbb {R} \}$.

問題 7

如果 $W_{1}\subseteq W_{2}$，則 $W_{1}+W_{2}$ 是什麼？

問題 8

例子 4.5 是否可以推廣？也就是說，以下說法是正確還是錯誤：如果向量空間 $V$ 有一個基 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$，那麼它是這些一維子空間的跨度的直接和 $V=[\{{\vec {\beta }}_{1}\}]\oplus \dots \oplus [\{{\vec {\beta }}_{n}\}]$ 嗎？

問題 9

可以將 $\mathbb {R} ^{4}$ 分解成兩種不同的直接和嗎？可以將 $\mathbb {R} ^{1}$ 嗎？

問題 10

本練習使編寫“$+$”符號在集合之間的書寫更加自然。證明當$W_{1},\dots ,W_{k}$是向量空間的子空間時，

$W_{1}+\dots +W_{k}=\{{\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}+\dots +{\vec {w}}_{k}\,{\big |}\,{\vec {w}}_{1}\in W_{1},\dots ,{\vec {w}}_{k}\in W_{k}\},$

因此子空間的和是所有和的子空間。

習題 11

(參考例 4.19。本練習表明，兩兩交集為零的條件實際上比所有子空間交集為零的條件更強。) 給出一個向量空間和三個子空間$W_{1}$, $W_{2}$, 以及$W_{3}$，使得該空間是這些子空間的和，所有三個子空間的交集$W_{1}\cap W_{2}\cap W_{3}$是零空間，但兩兩交集$W_{1}\cap W_{2}$, $W_{1}\cap W_{3}$，以及$W_{2}\cap W_{3}$是非零空間。

建議所有讀者完成此練習。

習題 12

證明如果$V=W_{1}\oplus \dots \oplus W_{k}$，則$W_{i}\cap W_{j}$當$i\neq j$時是零空間。這表明引理 4.15的證明前半部分可以推廣到兩個以上子空間的情況。(例 4.19表明這種推論不能逆轉；後半部分無法推廣)。

習題 13

回顧線性無關集不包含零向量。獨立的子空間集可以包含零子空間嗎？

建議所有讀者完成此練習。

習題 14

每個子空間都有一個補空間嗎？

建議所有讀者完成此練習。

習題 15

設$W_{1},W_{2}$是向量空間的子空間。

1. 假設集合 $S_{1}$ 張成 $W_{1}$，並且集合 $S_{2}$ 張成 $W_{2}$。集合 $S_{1}\cup S_{2}$ 能否張成 $W_{1}+W_{2}$？ 一定可以嗎？
2. 假設 $S_{1}$ 是 $W_{1}$ 的線性無關子集，並且 $S_{2}$ 是 $W_{2}$ 的線性無關子集。集合 $S_{1}\cup S_{2}$ 能否成為 $W_{1}+W_{2}$ 的線性無關子集？ 一定可以嗎？

問題 16

當向量空間被分解為直和時，子空間的維數加起來等於整個空間的維數。但當空間被表示為其子空間的和時，情況就不那麼簡單了。本練習考慮兩個子空間的特殊情況。

1. 對於 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 的這些子空間，求 $W_{1}\cap W_{2}$，$\dim(W_{1}\cap W_{2})$，$W_{1}+W_{2}$ 和 $\dim(W_{1}+W_{2})$。

   $W_{1}=\{{\begin{pmatrix}0&0\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c,d\in \mathbb {R} \}\qquad W_{2}=\{{\begin{pmatrix}0&b\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}$

2. 假設 $U$ 和 $W$ 是向量空間的子空間。假設序列 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k}\rangle$ 是 $U\cap W$ 的一個基。最後，假設前面的序列被擴充套件成一個序列 $\langle {\vec {\mu }}_{1},\dots ,{\vec {\mu }}_{j},{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k}\rangle$，它是 $U$ 的一個基，以及一個序列 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k},{\vec {\omega }}_{1},\dots ,{\vec {\omega }}_{p}\rangle$，它是 $W$ 的一個基。證明這個序列

   $\langle {\vec {\mu }}_{1},\dots ,{\vec {\mu }}_{j},{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k},{\vec {\omega }}_{1},\dots ,{\vec {\omega }}_{p}\rangle$

   是和 $U+W$ 的一個基。
3. 得出結論 $\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)$。
4. 設 $W_{1}$ 和 $W_{2}$ 是十維空間的八維子空間。列出所有可能的 $\dim(W_{1}\cap W_{2})$ 值。

問題 17

設 $V=W_{1}\oplus \dots \oplus W_{k}$ 並且對於每個索引 $i$ 假設 $S_{i}$ 是 $W_{i}$ 的線性無關子集。證明所有 $S_{i}$ 的並集是線性無關的。

問題 18

如果對於每一對索引 $i$ 和 $j$，$i,j$ 元素等於 $j,i$ 元素，則矩陣是**對稱**的。如果每個 $i,j$ 元素是 $j,i$ 元素的負數，則矩陣是**反對稱**的。

1. 給出對稱的 $2\!\times \!2$ 矩陣和反對稱的 $2\!\times \!2$ 矩陣。(備註：對於第二個矩陣，要注意對角線上的元素。)
2. 方陣的對稱矩陣與其轉置之間有什麼關係？方陣的反對稱矩陣與其轉置之間有什麼關係？
3. 證明 ${\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$ 是對稱矩陣空間和反對稱矩陣空間的直和。

問題 19

令 $W_{1},W_{2},W_{3}$ 是向量空間的子空間。證明 $(W_{1}\cap W_{2})+(W_{1}\cap W_{3})\subseteq W_{1}\cap (W_{2}+W_{3})$。這個包含關係能否反轉？

問題 20

在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，$x$ 軸和 $y$ 軸的例子表明，$W_{1}\oplus W_{2}=V$ 並不意味著 $W_{1}\cup W_{2}=V$。$W_{1}\oplus W_{2}=V$ 和 $W_{1}\cup W_{2}=V$ 會同時發生嗎？

建議所有讀者完成此練習。

問題 21

我們用於互補子空間的模型，$x$ 軸和 $y$ 軸在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，具有我們這裡沒有使用的一個性質。當 $U$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子空間時，我們定義 $U$ 的 **正交補** 為

$U^{\perp }=\{{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}\,{\big |}\,{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}=0{\text{ for all }}{\vec {u}}\in U\}$

(讀作 "$U$ 垂直")。

1. 在$\mathbb {R} ^{2}$ 中找到$x$軸的正交補。
2. 在$\mathbb {R} ^{3}$ 中找到$x$軸的正交補。
3. 在$\mathbb {R} ^{3}$ 中找到$xy$平面的正交補。
4. 證明子空間的正交補也是子空間。
5. 證明如果$W$ 是$U$ 的正交補，那麼$U$ 是$W$ 的正交補。
6. 證明子空間及其正交補的交集是平凡的。
7. 由此得出，對於任何$n$ 和子空間$U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$，我們有$\mathbb {R} ^{n}=U\oplus U^{\perp }$。
8. 證明$\dim(U)+\dim(U^{\perp })$ 等於封閉空間的維數。

建議所有讀者完成此練習。

問題 22

考慮推論 4.13。它是否雙向適用——也就是說，假設$V=W_{1}+\dots +W_{k}$，$V=W_{1}\oplus \dots \oplus W_{k}$ 當且僅當$\dim(V)=\dim(W_{1})+\dots +\dim(W_{k})$ 嗎？

問題 23

我們知道，如果$V=W_{1}\oplus W_{2}$，那麼存在$V$ 的基底，它可以分解成$W_{1}$ 的基底和$W_{2}$ 的基底。我們能否得出更強結論，即$V$ 的每一個基底都可以分解成$W_{1}$ 的基底和$W_{2}$ 的基底？

問題 24

我們可以討論“$+$”運算的代數性質。

1. 它是否滿足交換律？即$W_{1}+W_{2}=W_{2}+W_{1}$ 是否成立？
2. 它是否滿足結合律？即$(W_{1}+W_{2})+W_{3}=W_{1}+(W_{2}+W_{3})$ 是否成立？
3. 設$W$ 是某個向量空間的子空間。證明$W+W=W$。
4. 是否存在單位元素，即某個子空間$I$，使得對所有子空間$W$ 都有$I+W=W+I=W$？
5. 左消去律是否成立？即如果$W_{1}+W_{2}=W_{1}+W_{3}$，那麼$W_{2}=W_{3}$ 是否成立？右消去律呢？

問題 25

考慮直和運算的代數性質。

1. 直和是否滿足交換律？即$V=W_{1}\oplus W_{2}$ 是否意味著$V=W_{2}\oplus W_{1}$？
2. 證明直和是結合的：$(W_{1}\oplus W_{2})\oplus W_{3}=W_{1}\oplus (W_{2}\oplus W_{3})$.
3. 證明 $\mathbb {R} ^{3}$ 是三個軸的直和（這裡相關的是，根據前面的內容，我們不需要指定三個軸中的哪兩個軸首先組合）。
4. 直和運算是否左消去：$W_{1}\oplus W_{2}=W_{1}\oplus W_{3}$ 是否意味著 $W_{2}=W_{3}$？它是否右消去？
5. 關於此運算，存在一個單位元。找出它。
6. 某些子空間或所有子空間關於此運算是否有逆：是否存在某個向量空間的子空間 $W$，使得存在一個子空間 $U$，具有 $U\oplus W$ 等於前一項中的單位元的性質？

解決方案

參考文獻

• Halsey, William D. (1979), Macmillian Dictionary, Macmillian.