線性代數/主題：域

線性代數
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僅涉及分數或僅涉及整數的線性組合比涉及實數的組合更容易計算，因為使用無理數進行計算很麻煩。其他數字系統，如有理數或整數，是否可以代替 $\mathbb {R}$ 在向量空間的定義中?

是和不是。如果我們把“工作”理解為本章的結果仍然成立，那麼分析我們在本章中使用了實數的哪些性質，就會得出以下關於代數系統需要滿足的條件，以便在 $\mathbb {R}$ 的位置“工作”。

定義 1.1

一個域是一個集合 ${\mathcal {F}}$ ，具有兩個運算" $+$ " 和 " $\cdot$ "，使得

對於任何 $a,b\in {\mathcal {F}}$ $a,b\in {\mathcal {F}}$ ， $a+b$ $a+b$ 的結果在 ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$ 中，並且
- $a+b=b+a$
- 如果 $c\in {\mathcal {F}}$ ，則 $a+(b+c)=(a+b)+c$
對於任何 $a,b\in {\mathcal {F}}$ $a,b\in {\mathcal {F}}$ ， $a\cdot b$ $a\cdot b$ 的結果在 ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$ 中，並且
- $a\cdot b=b\cdot a$
- 如果 $c\in {\mathcal {F}}$ ，則 $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
如果 $a,b,c\in {\mathcal {F}}$ ，那麼 $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
存在一個元素 $0\in {\mathcal {F}}$ $0\in {\mathcal {F}}$ ，使得
- 如果 $a\in {\mathcal {F}}$ ，那麼 $a+0=a$
- 對於每個 $a\in {\mathcal {F}}$ ，存在一個元素 $-a\in {\mathcal {F}}$ ，使得 $(-a)+a=0$
存在一個元素 $1\in {\mathcal {F}}$ $1\in {\mathcal {F}}$ ，使得
- 如果 $a\in {\mathcal {F}}$ ，那麼 $a\cdot 1=a$
- 對於每個元素 $a\neq 0$ 的 ${\mathcal {F}}$ ，存在一個元素 $a^{-1}\in {\mathcal {F}}$ ，使得 $a^{-1}\cdot a=1$ 。

由實數集以及通常的加法和乘法運算組成的數系自然是一個域。另一個域是由有理數集以及通常的加法和乘法運算組成的。一個不是域的代數結構的例子是整數數系——它不滿足最後一條條件。

一些例子令人驚訝。在以下運算下，集合 $\{0,1\}$

${\begin{array}{c|cc}+&0&1\\\hline 0&0&1\\1&1&0\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|cc}\cdot &0&1\\\hline 0&0&0\\1&0&1\end{array}}$

是一個域（參見問題 4）。

我們可以將線性代數發展成一個向量空間理論，其標量來自任意域，而不是僅從 $\mathbb {R}$ 中獲取標量。在這種情況下，本書中幾乎所有陳述都可以透過將" $\mathbb {R}$ "替換為" ${\mathcal {F}}$ "來實現，因此透過將係數、向量條目和矩陣條目視為 ${\mathcal {F}}$ 的元素（“幾乎”是因為涉及距離或角度的陳述是例外）。以下是一些示例；每個示例都適用於域 ${\mathcal {F}}$ 上的向量空間 $V$ .

對於任何 ${\vec {v}}\in V$ ${\vec {v}}\in V$ 和 $a\in {\mathcal {F}}$ $a\in {\mathcal {F}}$ ,
1. $0\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$ ，並且
2. $-1\cdot {\vec {v}}+{\vec {v}}={\vec {0}}$ ，並且
3. $a\cdot {\vec {0}}={\vec {0}}$ .
$V$ 子集的生成空間（線性組合的集合）是 $V$ 的子空間。
線性無關集的任何子集也線性無關。
在有限維向量空間中，任何兩個基具有相同數量的元素。