線性代數/主題：域/解答

解答

問題 1

證明實數構成域。

解答

這些檢查都是常規的; 大多數只是說明該性質是如此熟悉，以至於不需要證明。

問題 2

證明這些是域。

1. 有理數 $\mathbb {Q}$
2. 複數 $\mathbb {C}$

解答

對於這兩個結構，這些檢查都是常規的。與先前的問題一樣，大多數檢查只是說明該性質是如此熟悉，以至於不需要證明。

問題 3

舉一個例子，說明整數系不是域。

解答

對於 $2$ 沒有乘法逆元，因此整數不滿足條件 5。

問題 4

考慮集合 $\{0,1\}$，它服從上面給出的運算。證明它是域。

解答

這些檢查可以透過列出所有可能性來完成。例如，為了驗證加法的交換律，即 $a+b=b+a$，我們可以很容易地檢查所有可能的對 $a$，$b$，因為只有四種這樣的對。類似地，對於結合律，只有八種三元組 $a$，$b$，$c$，因此檢查並不太長。(還有其他方法來進行檢查，特別是，讀者可能會認識到這些運算作為算術“模 $2$”。)

問題 5

給出合適的運算，使集合 $\{0,1,2\}$ 成為域。

解答

這些將起作用。

${\begin{array}{c|ccc}+&0&1&2\\\hline 0&0&1&2\\1&1&2&0\\2&2&0&1\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|ccc}\cdot &0&1&2\\\hline 0&0&0&0\\1&0&1&2\\2&0&2&1\end{array}}$

與前一項一樣，可以列出所有情況來檢查它們是否滿足條件，儘管這種檢查方法有點長(利用交換律有助於縮短工作量)。