線性代數/比較集合描述/解法

解法

問題 1

確定向量是否為集合的成員。

${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ , $\{{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$
${\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}}$ , $\{{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$
${\begin{pmatrix}-3\\3\\4\end{pmatrix}}$ , $\{{\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$
${\begin{pmatrix}-3\\3\\4\end{pmatrix}}$ , $\{{\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}}k+{\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}}m\,{\big |}\,k,m\in \mathbb {R} \}$
${\begin{pmatrix}1\\4\\14\end{pmatrix}}$ , $\{{\begin{pmatrix}2\\2\\5\end{pmatrix}}k+{\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}}m\,{\big |}\,k,m\in \mathbb {R} \}$
${\begin{pmatrix}1\\4\\6\end{pmatrix}}$ , $\{{\begin{pmatrix}2\\2\\5\end{pmatrix}}k+{\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}}m\,{\big |}\,k,m\in \mathbb {R} \}$

答案

否。
是。
否。
是。
是；使用高斯消元法可以得到 $k=4$ 和 $m=-3$ .
否；使用高斯消元法可以得出沒有解。

問題 2

為該集合寫出兩個不同的描述，與原描述不同。

\{{\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}

答案

一個簡單的方法是將向量乘以 2 和 3

\{{\begin{pmatrix}4\\-10\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}\quad {\text{and}}\quad \{{\begin{pmatrix}6\\-15\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}.

建議所有讀者嘗試這道練習。

問題 3

證明本小節開頭給出的三個描述所代表的集合相同。

答案

無需證明三個集合都相等，只需證明第一個集合等於第二個集合，第二個集合等於第三個集合即可。使用本小節的方法可以輕鬆證明這兩條等式。

建議所有讀者嘗試這道練習。

問題 4

證明這兩個集合相等。

\{{\begin{pmatrix}1\\4\\1\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}\quad {\text{and}}\quad \{{\begin{pmatrix}0\\4\\2\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \},

並證明這兩個集合是該方程組的解集。

{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&+&z&+&w&=&-1\\&&y&&&-&w&=&3\\x&&&+&z&+&2w&=&4\end{array}}

答案

該方程組可簡化為以下形式

{\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&+&z&+&w&=&-1\\&&y&&&-&w&=&3\\&&y&&&+&w&=&5\end{array}}\\&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&+&z&+&w&=&-1\\&&y&&&-&w&=&3\\&&&&&&2w&=&2\end{array}}\end{array}}

表明 $w=1$ , $y=4$ 和 $x=2-z$ .

建議所有讀者嘗試這道練習。

問題 5

確定這些集合是否相等。

$\{{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}}t\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$ 和 $\{{\begin{pmatrix}1\\8\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,s\in \mathbb {R} \}$
$\{{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \}$ 和 $\{{\begin{pmatrix}4\\7\\7\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}-4\\-2\\-10\end{pmatrix}}n\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}$
$\{{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}t\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$ 和 $\{{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}4\\8\end{pmatrix}}n\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}$
$\{{\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}s+{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}t\,{\big |}\,s,t\in \mathbb {R} \}$ 和 $\{{\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}n\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}$
$\{{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \}$ 和 $\{{\begin{pmatrix}3\\7\\7\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \}$

答案

對於每個專案，我們將第一個集合稱為 $S_{1}$ ，另一個集合稱為 $S_{2}$ 。

它們是相等的。為了證明 $S_{1}\subseteq S_{2}$ ，我們必須證明第一個集合中的任何元素都在第二個集合中，也就是說，對於任何形式為
${\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}}t$
存在一個合適的 $s$ 使得
${\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\8\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}s.$
換句話說，給定 $t$ ，我們必須找到 $s$ ，使之成立。
${\begin{array}{*{2}{rc}r}1&+&0s&=&1+0t\\8&-&1s&=&2+3t\end{array}}$
該系統簡化為
${\begin{array}{*{1}{rc}r}1&=&1\\s&=&6-3t\end{array}}$
也就是說，
${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}}t={\begin{pmatrix}1\\8\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}(6-3t)$
因此， $S_{1}$ 中的任何向量都可以用 $S_{2}$ 中包含的所需形式表示。對於 $S_{2}\subseteq S_{1}$ ，我們尋找 $t$ ，使這些方程成立。
${\begin{array}{*{2}{rc}r}1&+&0t&=&1+0s\\2&+&3t&=&8-1s\end{array}}$
將其改寫為
${\begin{array}{*{1}{rc}r}1&=&1\\t&=&2-(1/3)s\end{array}}$
因此，
${\begin{pmatrix}1\\8\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}s={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}}(2-(1/3)s).$
這兩個是相等的。為了證明 $S_{1}\subseteq S_{2}$ ，我們需要檢查對於任何 $t,s$ ，我們都能找到合適的 $m,n$ ，使得以下等式成立。
${\begin{array}{*{2}{rc}r}4m&-&4n&=&1t+2s\\7m&-&2n&=&3t+1s\\7m&-&10n&=&1t+5s\end{array}}$
使用高斯消元法
${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}4&-4&1t+2s\\7&-2&3t+1s\\7&-10&1t+5s\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{(-7/4)\rho _{1}+\rho _{3}}]{(-7/4)\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}4&-4&1t+2s\\0&5&(5/4)t-(10/4)s\\0&-3&-(3/4)t+(6/4)s\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{(3/5)\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}4&-4&1t+2s\\0&5&(5/4)t-(10/4)s\\0&0&0\end{array}}\right)\end{array}}$
得出結論
${\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}s={\begin{pmatrix}4\\7\\7\end{pmatrix}}((1/2)t)+{\begin{pmatrix}-4\\-2\\-10\end{pmatrix}}((1/4)t-(1/2)s)$
因此 $S_{1}\subseteq S_{2}$ 。為了證明 $S_{2}\subseteq S_{1}$ ，解下列方程組
${\begin{array}{*{2}{rc}r}1t&+&2s&=&4m-4n\\3t&+&1s&=&7m-2n\\1t&+&5s&=&7m-10n\end{array}}$
使用高斯消元法
${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&2&4m-4n\\3&1&7m-2n\\1&5&7m-10n\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&2&4m-4n\\0&-5&-5m+10n\\0&3&3m-6n\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{(3/5)\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&2&4m-4n\\0&-5&-5m+10n\\0&0&0\end{array}}\right)\end{array}}$
得到
${\begin{pmatrix}4\\7\\7\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}-4\\-2\\-10\end{pmatrix}}n={\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}(2m)+{\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}(m-2n)$
因此， $S_{2}$ 的任何成員都可以用 $S_{1}$ 所需的形式表示。
這兩個集合是相等的。要證明 $S_{1}\subseteq S_{2}$ ，我們必須能夠解出
${\begin{array}{*{2}{rc}r}2m&+&4n&=&1t\\4m&+&8n&=&2t\end{array}}$
將 $m$ 和 $n$ 表示為 $t$ 的函式。應用高斯消元法。
$\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}2&4&1t\\4&8&2t\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}2&4&1t\\0&0&0\end{array}}\right)$
從而得出，任何滿足 $2m+4n=t$ 的 $m,n$ 對都滿足條件。例如，
${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}t={\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}((1/2)t)+{\begin{pmatrix}4\\8\end{pmatrix}}(0)$
或者
${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}t={\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}((-3/2)t)+{\begin{pmatrix}4\\8\end{pmatrix}}(t).$
因此， $S_{1}\subseteq S_{2}$ 。對於 $S_{2}\subseteq S_{1}$ ，我們解
${\begin{array}{*{2}{rc}r}1t&=&2m+4n\\2t&=&4m+8n\end{array}}$
使用高斯消元法
${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{1}{c}|c}1&2m+4n\\2&4m+8n\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{1}{c}|c}1&2m+4n\\0&0\end{array}}\right)\end{array}}$
可以推斷， $S_{2}$ 中的任何向量也在 $S_{1}$ 中。
${\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}4\\8\end{pmatrix}}n={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}(2m+4n)\in S_{1}.$
這兩個集合之間沒有子集關係。為了滿足 $S_{1}\subseteq S_{2}$ ，我們需要能夠求解
${\begin{array}{*{2}{rc}r}-1m&+&0n&=&1s-1t\\1m&+&1n&=&0s+1t\\1m&+&3n&=&2s+0t\end{array}}$
關於 $m$ 和 $n$ 的表示式，用 $t$ 和 $s$ 表示。高斯消元法
${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}-1&0&1s-1t\\1&1&0s+1t\\1&3&2s+0t\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{\rho _{1}+\rho _{3}}]{\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}-1&0&1s-1t\\0&1&1s+0t\\0&3&3s-1t\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}-1&0&1s-1t\\0&1&1s+0t\\0&3&0s-1t\end{array}}\right)\end{array}}$
表明，我們只能在 $t=0$ 時找到合適的 $m,n$ 對。也就是說，
${\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}$
沒有以下形式的表示式
${\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}n.$
已知 $S_{1}$ 不是 $S_{2}$ 的子集，我們知道 $S_{1}\neq S_{2}$ ，所以，嚴格來說，我們無需進一步研究。但我們也會證明 $S_{2}$ 也不是 $S_{1}$ 的子集。為了使 $S_{2}\subseteq S_{1}$ 成立，我們必須能夠解出
${\begin{array}{*{2}{rc}r}1s&-&1t&=&-1m+0n\\0s&+&1t&=&1m+1n\\2s&+&0t&=&1m+3n\end{array}}$
對於 $s$ 和 $t$ 。使用行變換
${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&-1&-1m+0n\\0&1&1m+1n\\2&0&1m+3n\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&-1&-1m+0n\\0&1&1m+1n\\0&2&3m+3n\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&-1&-1m+0n\\0&1&1m+1n\\0&0&1m+1n\end{array}}\right)\end{array}}$
推斷出唯一來自 $S_{2}$ 也在 $S_{1}$ 中的向量形式為
${\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}(-m).$
例如，
${\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}$
在 $S_{2}$ 中，但在 $S_{1}$ 中沒有。
這些集合是相等的。首先，我們改變引數
$S_{2}=\{{\begin{pmatrix}3\\7\\7\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}n\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}.$
現在，為了證明 $S_{1}\subseteq S_{2}$ ，我們求解
${\begin{array}{*{2}{rc}r}3m&+&1n&=&1t+2s\\7m&+&3n&=&3t+4s\\7m&+&1n&=&1t+6s\end{array}}$
使用高斯消元法
${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}3&1&1t+2s\\7&3&3t+4s\\7&1&1t+6s\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{(-7/3)\rho _{1}+\rho _{3}}]{(-7/3)\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}3&1&1t+2s\\0&2/3&(2/3)t-(2/3)s\\0&-4/3&(-4/3)t+(4/3)s\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{2\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}3&1&1t+2s\\0&2/3&(2/3)t-(2/3)s\\0&0&0\end{array}}\right)\end{array}}$
得到
${\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}}s={\begin{pmatrix}3\\7\\7\end{pmatrix}}(s)+{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}(t-s)$
因此 $S_{1}\subseteq S_{2}$ 。證明 $S_{2}\subseteq S_{1}$ 包含解以下方程
${\begin{array}{*{2}{rc}r}1t&+&2s&=&3m+1n\\3t&+&4s&=&7m+3n\\1t&+&6s&=&7m+1n\end{array}}$
使用高斯消元法
${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&2&3m+1n\\3&4&7m+3n\\1&6&7m+1n\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&2&3m+1n\\0&-2&-2m\\0&4&4m\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{2\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&2&3m+1n\\0&-2&-2m\\0&0&0\end{array}}\right)\end{array}}$
得出結論
${\begin{pmatrix}3\\7\\7\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}n={\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}(m+n)+{\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}}(m)$
因此， $S_{2}$ 中的任何向量也在 $S_{1}$ 中。