線性代數/比較集合描述

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比較集合描述

一個集合可以用多種方式描述。以下是同一個集合的兩種不同描述

$\{{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}\quad {\text{and}}\quad \{{\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,w\in \mathbb {R} \}.$

例如，此集合包含

${\begin{pmatrix}5\\10\\15\end{pmatrix}}$

(取 $z=5$ 和 $w=5/2$)，但它不包含

${\begin{pmatrix}4\\8\\11\end{pmatrix}}$

(第一個分量給出 $z=4$ 但這與第三個分量衝突，類似地，第一個分量給出 $w=4/5$ 但第三個分量給出了不同的結果）。以下是同一個集合的第三種描述

$\{{\begin{pmatrix}3\\6\\9\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\-2\\-3\end{pmatrix}}y\,{\big |}\,y\in \mathbb {R} \}.$

我們需要判斷何時兩種描述描述的是同一個集合。更實際地說，一個人如何才能判斷作業答案描述的集合與書後答案描述的集合是否相同？

集合相等

當且僅當兩個集合具有相同的成員時，它們才是相等的。 一個常用的方法來證明兩個集合，$S_{1}$ 和 $S_{2}$ 相等，是證明它們的相互包含關係：$S_{1}$ 中的任何成員也在 $S_{2}$ 中，並且 $S_{2}$ 中的任何成員也在 $S_{1}$ 中。

示例 4.1

為了證明

$S_{1}=\{{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}c+{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}d\,{\big |}\,c,d\in \mathbb {R} \}$

等於

$S_{2}=\{{\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}-1\\-3\\0\end{pmatrix}}n\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}$

我們首先證明 $S_{1}\subseteq S_{2}$，然後證明 $S_{2}\subseteq S_{1}$。

對於前半部分，我們必須檢查 $S_{1}$ 中的任何向量是否也在 $S_{2}$ 中。我們首先考慮兩個例子，並將它們用作一般論證的模型。如果我們嘗試 $c=1$ 和 $d=1$ 構建一個 $S_{1}$ 的成員，那麼為了證明它在 $S_{2}$ 中，我們需要 $m$ 和 $n$ 使得

${\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}-1\\-3\\0\end{pmatrix}}n={\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}$

也就是說，$m$ 和 $n$ 之間存在這種關係。

${\begin{array}{*{2}{rc}r}4m&-&n&=&2\\1m&-&3n&=&0\\&&0&=&0\end{array}}$

類似地，如果我們嘗試 $c=2$ 和 $d=-1$，那麼為了證明得到的 $S_{1}$ 的成員在 $S_{2}$ 中，我們需要 $m$ 和 $n$ 使得

${\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}-1\\-3\\0\end{pmatrix}}n={\begin{pmatrix}3\\-3\\0\end{pmatrix}}$

也就是說，這個成立。

${\begin{array}{*{2}{rc}r}4m&-&n&=&3\\1m&-&3n&=&-3\\&&0&=&0\end{array}}$

一般情況下，要證明從 $S_{1}$ 出發的任何向量都是 $S_{2}$ 的成員，我們必須證明對於任何 $c$ 和 $d$，存在合適的 $m$ 和 $n$。我們遵循示例的模式，固定

${\begin{pmatrix}c+d\\-c+d\\0\end{pmatrix}}\in S_{1}$

並尋找 $m$ 和 $n$ 使得

${\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}-1\\-3\\0\end{pmatrix}}n={\begin{pmatrix}c+d\\-c+d\\0\end{pmatrix}}$

也就是說，這是真的。

${\begin{array}{*{2}{rc}r}4m&-&n&=&c+d\\m&-&3n&=&-c+d\\&&0&=&0\end{array}}$

應用高斯消元法

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{2}{rc}r}4m&-&n&=&c+d\\m&-&3n&=&-c+d\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-(1/4)\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}4m&-&n&=&c+d\\&&-(11/4)n&=&-(5/4)c+(3/4)d\end{array}}\end{array}}$

給出 $n=(5/11)c-(3/11)d$ 和 $m=(4/11)c+(2/11)d$。這表明對於 $c$ 和 $d$ 的任何選擇，都有相應的 $m$ 和 $n$。我們得出結論，$S_{1}$ 的任何成員都是 $S_{2}$ 的成員，因為它可以以這種方式改寫

${\begin{pmatrix}c+d\\-c+d\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}}((4/11)c+(2/11)d)+{\begin{pmatrix}-1\\-3\\0\end{pmatrix}}((5/11)c-(3/11)d).$

對於另一個包含關係，$S_{2}\subseteq S_{1}$，我們想要做相反的事情。我們要證明，對於 $m$ 和 $n$ 的任何選擇，都有相應的 $c$ 和 $d$。所以固定 $m$ 和 $n$，並求解 $c$ 和 $d$

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{2}{rc}r}c&+&d&=&4m-n\\-c&+&d&=&m-3n\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}c&+&d&=&4m-n\\&&2d&=&5m-4n\end{array}}\end{array}}$

表明 $d=(5/2)m-2n$ 以及 $c=(3/2)m+n$。因此，從 $S_{2}$ 出發的任何向量

${\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}-1\\-3\\0\end{pmatrix}}n$

也符合 $S_{1}$ 的正確形式

${\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}((3/2)m+n)+{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}((5/2)m-2n).$

例 4.2

當然，有時集合並不相等。前面例子的方法將有助於我們瞭解兩個集合之間的關係。這些

$P=\{{\begin{pmatrix}x+y\\2x\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}\quad {\text{and}}\quad R=\{{\begin{pmatrix}m+p\\n\\p\end{pmatrix}}\,{\big |}\,m,n,p\in \mathbb {R} \}$

兩者不是相等的集合。雖然 $P$ 是 $R$ 的子集，但它是 $R$ 的真子集，因為 $R$ 不是 $P$ 的子集。

要看到這一點，首先觀察到，給定一個來自 $P$ 的向量，我們可以將它表示為 $R$ 的形式——如果我們固定 $x$ 和 $y$，我們可以求解出合適的 $m$、$n$ 和 $p$。

${\begin{array}{*{3}{rc}r}m&&&+&p&=&x+y\\&&n&&&=&2x\\&&&&p&=&y\end{array}}$

表明任何

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}x+{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}y$

可以表示為 $R$ 的成員，其中 $m=x$、$n=2x$ 和 $p=y$。

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}x+{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}2x+{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}y.$

因此，$P\subseteq R$.

但是，對於另一個方向，透過固定 $m$，$n$，和 $p$，並尋找 $x$ 和 $y$ 所得的約簡

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&m+p\\2x&&&=&n\\&&y&=&p\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&m+p\\&&-2y&=&-2m+n-2p\\&&y&=&p\end{array}}\\&{\xrightarrow[{}]{(1/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&m+p\\&&-2y&=&-2m+n-2p\\&&0&=&m+(1/2)n\end{array}}\end{array}}$

表明，唯一能夠表示為

${\begin{pmatrix}m+p\\n\\p\end{pmatrix}}\in R$

形式的向量是那些滿足 $0=m+(1/2)n$ 的向量。例如，

${\begin{pmatrix}x+y\\2x\\y\end{pmatrix}}$

是屬於 $R$ 但不屬於 $P$ 的向量。

${\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$

屬於 $R$，但不是屬於 $P$ 的。

練習

問題 1

確定向量是否為集合的成員。

1. ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$
2. ${\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$
3. ${\begin{pmatrix}-3\\3\\4\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$
4. ${\begin{pmatrix}-3\\3\\4\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}}k+{\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}}m\,{\big |}\,k,m\in \mathbb {R} \}$
5. ${\begin{pmatrix}1\\4\\14\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}2\\2\\5\end{pmatrix}}k+{\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}}m\,{\big |}\,k,m\in \mathbb {R} \}$
6. ${\begin{pmatrix}1\\4\\6\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}2\\2\\5\end{pmatrix}}k+{\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}}m\,{\big |}\,k,m\in \mathbb {R} \}$

問題 2

用兩種不同的方式描述這個集合。

$\{{\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$

建議所有讀者做這道練習題。

問題 3

證明本小節開頭給出的三種描述都描述了同一個集合。

建議所有讀者做這道練習題。

問題 4

證明以下集合相等。

$\{{\begin{pmatrix}1\\4\\1\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}\quad {\text{and}}\quad \{{\begin{pmatrix}0\\4\\2\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \},$

並且證明兩者都描述了這個方程組的解集。

${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&+&z&+&w&=&-1\\&&y&&&-&w&=&3\\x&&&+&z&+&2w&=&4\end{array}}$

建議所有讀者做這道練習題。

問題 5

判斷以下兩個集合是否相等。

1. $\{{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}}t\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$ 和 $\{{\begin{pmatrix}1\\8\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,s\in \mathbb {R} \}$
2. $\{{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \}$ 和 $\{{\begin{pmatrix}4\\7\\7\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}-4\\-2\\-10\end{pmatrix}}n\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}$
3. $\{{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}t\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$ 和 $\{{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}4\\8\end{pmatrix}}n\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}$
4. $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}s+{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}t\,{\big |}\,s,t\in \mathbb {R} \}$ 和 $\{{\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}n\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}$
5. $\{{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \}$ 和 $\{{\begin{pmatrix}3\\7\\7\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \}$

解