線性代數/自動化

這是一個 PASCAL 程式，用於對增廣矩陣進行 $k\rho _{i}+\rho _{j}$ 操作。

PROCEDURE Pivot(VAR LinSys : AugMat;
k : REAL;
i, j : INTEGER)
VAR
Col : INTEGER;
BEGIN
FOR Col:=1 TO NumVars+1 DO
LinSys[j,Col]:=k*LinSys[i,Col]+LinSys[j,Col];
END;

當然，這只是整個程式的一部分，但它表明高斯消元法非常適合計算機編碼。

然而，也存在一些缺陷。例如，一些缺陷源於計算機對實數使用有限精度近似值。

這些系統提供了一個簡單的示例。

（後兩行很難區分。）兩者都有 $(1,1)$ 作為唯一的解。

在第一個系統中，對數字進行微小的改變只會導致解的微小改變

${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&2y&=&3\\3x&-&2y&=&1.008\end{array}}$

給出瞭解 $(1.002,0.999)$。從幾何上看，對其中一條直線進行微小的改變不會顯著改變交點。

這對於第二個系統並不適用。係數的微小改變

${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&2y&=&3\\1.000\,000\,01x&+&2y&=&3.000\,000\,03\end{array}}$

會導致完全不同的答案：$(3,0)$.

第二個示例的解會發生很大的變化，具體取決於第 $9$ 位數字。這對使用 $8$ 位數字來表示實數的機器來說是個壞訊息。簡而言之，幾乎奇異的系統可能難以計算。

另一個可能出現的問題是誤差傳播。在一個具有大量方程（例如，100 個或更多）的系統中，早期過程中的微小舍入誤差會累積，最終淹沒解。

這些問題以及許多類似問題超出了本書的範圍，但請記住，僅僅因為高斯消元法在理論上總是有效的，僅僅因為程式正確地實現了該方法，僅僅因為答案出現在綠條紙上，並不意味著該答案是正確的。在實踐中，請始終使用專家努力解決可能出現問題的軟體包。