線性代數/n維空間的線性幾何
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對於已經瞭解向量元素的讀者（在微積分或物理學中），本節是可選的複習。然而，後面的工作將參考本材料，因此如果它不是複習，則不是可選的。
在第一節中，我們不得不花了一些功夫來證明只有三種類型的解集——單點集、空集和無限集。但在有兩個方程和兩個未知數的特殊情況下，這很容易理解。將每個兩個未知數的方程在平面上繪製為一條直線，然後這兩條直線可能有一個唯一的交點，平行，或為同一條直線。
| 唯一解 | 無解 | 無窮多 解 |
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![{\displaystyle {\begin{array}{*{2}{rc}r}\scriptstyle 3x&\scriptstyle +&\scriptstyle 2y&\scriptstyle =&\scriptstyle 7\\[-5pt]\scriptstyle x&\scriptstyle -&\scriptstyle y&\scriptstyle =&\scriptstyle -1\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b80330d12cd423efc13c3682a38150d251c9a88a)
![{\displaystyle {\begin{array}{*{2}{rc}r}\scriptstyle 3x&\scriptstyle +&\scriptstyle 2y&\scriptstyle =&\scriptstyle 7\\[-5pt]\scriptstyle 3x&\scriptstyle +&\scriptstyle 2y&\scriptstyle =&\scriptstyle 4\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1203ddec6eb3428fe7f52ada9a0cc02668f2d884)
![{\displaystyle \scriptstyle {\begin{array}{*{2}{rc}r}\scriptstyle 3x&\scriptstyle +&\scriptstyle 2y&\scriptstyle =&\scriptstyle 7\\[-5pt]\scriptstyle 6x&\scriptstyle +&\scriptstyle 4y&\scriptstyle =&\scriptstyle 14\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de562d9909477cadcac143e805353535ce0c302b)
這些圖片並沒有證明上一節的結果，這些結果適用於任意數量的線性方程和任意數量的未知數，但它們確實有助於我們理解這些結果。本節將闡述一些必要的概念，以便我們能夠用幾何方式表達上一節和未來的一些章節中的結果。特別是，二維情況我們都很熟悉，但要擴充套件到有兩個以上未知數的系統，我們需要一些更高維的幾何。