線性代數/相似性的定義和例子/解答

解答

問題 1

對於

$S={\begin{pmatrix}1&3\\-2&-6\end{pmatrix}}\quad T={\begin{pmatrix}0&0\\-11/2&-5\end{pmatrix}}\quad P={\begin{pmatrix}4&2\\-3&2\end{pmatrix}}$

檢查$T=PSP^{-1}$.

解答

一種解決方法是從左到右。

$PSP^{-1}={\begin{pmatrix}4&2\\-3&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&3\\-2&-6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2/14&-2/14\\3/14&4/14\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\-7&-21\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2/14&-2/14\\3/14&4/14\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\-11/2&-5\end{pmatrix}}$

建議所有讀者完成此練習。

問題 2

例 1.3表明，唯一與零矩陣相似的矩陣是它本身，唯一與單位矩陣相似的矩陣是它本身。

1. 證明$1\!\times \!1$矩陣$(2)$也只與其自身相似。
2. 形式為$cI$的矩陣（其中$c$是某個標量）是否也只與其自身相似？
3. 對角矩陣是否只與其自身相似？

解答

1. 因為矩陣$(2)$ 是$1\!\times \!1$，矩陣$P$ 和$P^{-1}$ 也是$1\!\times \!1$，因此當$P=(p)$ 時，逆矩陣為$P^{-1}=(1/p)$。因此$P(2)P^{-1}=(p)(2)(1/p)=(2)$。
2. 是的：回想一下，標量倍數可以從矩陣中提出$P(cI)P^{-1}=cPIP^{-1}=cI$。順便說一下，零矩陣和單位矩陣是$c=0$ 和$c=1$ 的特例。
3. 不，正如這個例子所示。

   ${\begin{pmatrix}1&-2\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&-2\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5&-4\\2&1\end{pmatrix}}$

問題 3

證明這些矩陣不相似。

${\begin{pmatrix}1&0&4\\1&1&3\\2&1&7\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\3&1&2\end{pmatrix}}$

解答

高斯消元法表明，第一個矩陣代表秩為二的對映，而第二個矩陣代表秩為三的對映。

問題 4

考慮變換 $t:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{2}$，其描述為 $x^{2}\mapsto x+1$、$x\mapsto x^{2}-1$ 和 $1\mapsto 3$。

1. 求 $T={\rm {Rep}}_{B,B}(t)$，其中 $B=\langle x^{2},x,1\rangle$。
2. 求 $S={\rm {Rep}}_{D,D}(t)$，其中 $D=\langle 1,1+x,1+x+x^{2}\rangle$。
3. 求矩陣 $P$，使得 $T=PSP^{-1}$。

解答

1. 因為 $t$ 用 $B$ 的成員來描述，所以求矩陣表示很容易。

   ${\rm {Rep}}_{B}(t(x^{2}))={\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}_{B}\quad {\rm {Rep}}_{B}(t(x))={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}_{B}\quad {\rm {Rep}}_{B}(t(1))={\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}_{B}$

   給出如下結果。

   ${\rm {Rep}}_{B,B}(t){\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\1&-1&3\end{pmatrix}}$

2. 我們將找到$t(1)$，$t(1+x)$ 和 $t(1+x+x^{2})$，以找到它們分別如何相對於 $D$ 表示。我們知道 $t(1)=3$，另外兩個很容易看出來：$t(1+x)=x^{2}+2$ 和 $t(1+x+x^{2})=x^{2}+x+3$。我們可以直接得到每個向量的表示

   ${\rm {Rep}}_{D}(t(1))={\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}}_{D}\quad {\rm {Rep}}_{D}(t(1+x))={\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}}_{D}\quad {\rm {Rep}}_{D}(t(1+x+x^{2}))={\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}_{D}$

   因此，對映的表示為。

   ${\rm {Rep}}_{D,D}(t)={\begin{pmatrix}3&2&2\\0&-1&0\\0&1&1\end{pmatrix}}$

3. 該圖適用於此 $T$ 和 $S$，

   

   表明 $P={\rm {Rep}}_{D,B}({\mbox{id}})$.

   $P={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}}$

建議所有讀者完成此練習。

問題 5

用這種方式展示一個非平凡的相似關係：令 $t:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{2}$ 作用於

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}$

並選擇兩個基，並表示 $t$ 關於它們 $T={\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ 和 $S={\rm {Rep}}_{D,D}(t)$。然後計算 $P$ 和 $P^{-1}$ 來改變從 $B$ 到 $D$ 的基以及返回。

解答

基的一個可能的選擇是

$B=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}\rangle \qquad D={\mathcal {E}}_{2}=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\rangle$

（這個 $B$ 是對映描述所建議的）。為了找到矩陣 $T={\rm {Rep}}_{B,B}(t)$，求解關係

$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}\qquad {\hat {c}}_{1}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\hat {c}}_{2}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}$

得到 $c_{1}=1$, $c_{2}=-2$, ${\hat {c}}_{1}=1/3$ 以及 ${\hat {c}}_{2}=4/3$.

${\rm {Rep}}_{B,B}(t)={\begin{pmatrix}1&1/3\\-2&4/3\end{pmatrix}}$

尋找 ${\rm {Rep}}_{D,D}(t)$ 涉及更多計算。我們首先找到 $t({\vec {e}}_{1})$。關係

$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

給出 $c_{1}=1/3$ 以及 $c_{2}=-2/3$，所以

${\rm {Rep}}_{B}({\vec {e}}_{1})={\begin{pmatrix}1/3\\-2/3\end{pmatrix}}_{B}$

使得

${\rm {Rep}}_{B}(t({\vec {e}}_{1}))={\begin{pmatrix}1&1/3\\-2&4/3\end{pmatrix}}_{B,B}{\begin{pmatrix}1/3\\-2/3\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}1/9\\-14/9\end{pmatrix}}_{B}$

因此 $t$ 對第一個基向量 ${\vec {e}}_{1}$ 的作用方式如下。

$t({\vec {e}}_{1})=(1/9)\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}-(14/9)\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5/3\\-4/3\end{pmatrix}}$

對 $t({\vec {e}}_{2})$ 的計算類似。關係

$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

得出 $c_{1}=1/3$ 和 $c_{2}=1/3$，因此

${\rm {Rep}}_{B}({\vec {e}}_{1})={\begin{pmatrix}1/3\\1/3\end{pmatrix}}_{B}$

使得

${\rm {Rep}}_{B}(t({\vec {e}}_{1}))={\begin{pmatrix}1&1/3\\-2&4/3\end{pmatrix}}_{B,B}{\begin{pmatrix}1/3\\1/3\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}4/9\\-2/9\end{pmatrix}}_{B}$

因此 $t$ 作用於第二個基向量 ${\vec {e}}_{2}$ 的方式如下。

$t({\vec {e}}_{2})=(4/9)\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}-(2/9)\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2/3\\2/3\end{pmatrix}}$

因此

${\rm {Rep}}_{D,D}(t)={\begin{pmatrix}5/3&2/3\\-4/3&2/3\end{pmatrix}}$

以及這些是基變更矩陣。

$P={\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix}}\qquad P^{-1}={\bigl (}{\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}}){\bigr )}^{-1}={\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1/3&1/3\\-2/3&1/3\end{pmatrix}}$

對這些計算進行檢查是例行的。

${\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1/3\\-2&4/3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1/3&1/3\\-2/3&1/3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5/3&2/3\\-4/3&2/3\end{pmatrix}}$

問題 6

用對映解釋 示例 1.3。

解答

零對映的唯一表示是零矩陣，無論基底對 ${\rm {Rep}}_{B,D}(z)=Z$ 是什麼，特別地，對於任何單個基底 $B$，我們有 ${\rm {Rep}}_{B,B}(z)=Z$。恆等對映的情況是相關的，但略有不同：恆等對映的唯一表示，相對於任何 $B,B$，是恆等矩陣 ${\rm {Rep}}_{B,B}({\mbox{id}})=I$。（注：當然，我們已經看到一些例子，其中 $B\neq D$ 並且 ${\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})\neq I$——事實上，我們已經看到，任何非奇異矩陣都是恆等對映相對於某個 $B,D$ 的表示。）

建議所有讀者完成此練習。

問題 7

是否存在兩個矩陣 $A$ 和 $B$ 它們相似，而 $A^{2}$ 和 $B^{2}$ 不相似？（Halmos 1958)

解答

不。如果 $A=PBP^{-1}$，則 $A^{2}=(PBP^{-1})(PBP^{-1})=PB^{2}P^{-1}$。

建議所有讀者完成此練習。

問題 8

證明如果兩個矩陣相似，並且其中一個是可逆的，則另一個也是可逆的。

解答

矩陣相似是矩陣等價的一個特例（如果矩陣相似，則它們是矩陣等價的），而矩陣等價保持非奇異性。（這是相似矩陣具有相同行列式的規則的擴充套件，可以用來作為可逆性的指標。）

建議所有讀者完成此練習。

問題 9

證明相似性是一種等價關係。

解答

一個矩陣與其自身相似；取 $P$ 為單位矩陣：$IPI^{-1}=IPI=P$。

如果 $T$ 與 $S$ 相似，則 $T=PSP^{-1}$，因此 $P^{-1}TP=S$。將此改寫為 $S=(P^{-1})T(P^{-1})^{-1}$，可以得出結論 $S$ 與 $T$ 相似。

如果 $T$ 與 $S$ 相似，並且 $S$ 與 $U$ 相似，則 $T=PSP^{-1}$ 並且 $S=QUQ^{-1}$。然後 $T=PQUQ^{-1}P^{-1}=(PQ)U(PQ)^{-1}$，表明 $T$ 與 $U$ 相似。

問題 10

考慮一個矩陣，它表示關於某個 $B,B$，在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中關於 $x$ 軸的反射。 也考慮一個矩陣，它表示關於某個 $D,D$，關於 $y$ 軸的反射。 它們必須相似嗎？

解答

令 $f_{x}$ 和 $f_{y}$ 為反射對映（有時稱為“翻轉”）。 對於任何基底 $B$ 和 $D$，矩陣 ${\rm {Rep}}_{B,B}(f_{x})$ 和 ${\rm {Rep}}_{D,D}(f_{y})$ 是相似的。 首先注意到

$S={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(f_{x})={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\qquad T={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(f_{y})={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

是相似的，因為第二個矩陣是關於基底 $A=\langle {\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{1}\rangle$ 表示的 $f_{x}$。

${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=P{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}P^{-1}$

其中 $P={\rm {Rep}}_{A,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})$.

現在，結論來自於問題 9的傳遞性部分。

為了不依賴於該練習，寫下 ${\rm {Rep}}_{B,B}(f_{x})=QTQ^{-1}=Q{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(f_{x})Q^{-1}$${\rm {Rep}}_{B,B}(f_{x})=QP{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(f_{y})P^{-1}Q^{-1}$

$=QPR^{-1}\cdot {\rm {Rep}}_{D,D}(f_{y})\cdot RP^{-1}Q^{-1}=(QPR^{-1})\cdot {\rm {Rep}}_{D,D}(f_{y})\cdot (QPR^{-1})^{-1}$

因此矩陣 ${\rm {Rep}}_{B,B}(f_{x})$ 和 ${\rm {Rep}}_{D,D}(f_{y})$ 是相似的。

問題 11

證明相似性保持行列式和秩。反之是否成立？

解答

我們必須證明，如果兩個矩陣相似，那麼它們具有相同的行列式和相同的秩。行列式和秩都是矩陣的性質，我們已經證明它們在矩陣等價下保持不變。因此，它們在相似性（它是矩陣等價的一個特例：如果兩個矩陣相似，那麼它們是矩陣等價的）下保持不變。

為了證明該陳述而不引用關於矩陣等價的結果，首先要注意秩是對映的性質（它是值域的維數），並且由於我們已經證明對映的秩是表示的秩，因此它對於所有表示都必須相同。至於行列式，$\left|PSP^{-1}\right|=\left|P\right|\cdot \left|S\right|\cdot \left|P^{-1}\right|=\left|P\right|\cdot \left|S\right|\cdot \left|P\right|^{-1}=\left|S\right|$.

該陳述的反之不成立；例如，存在行列式相同的矩陣，但它們並不相似。為了驗證這一點，考慮一個行列式為零的非零矩陣。它與零矩陣不相似，零矩陣僅與其自身相似，但它們具有相同的行列式。秩的論證大體相同。

問題 12

是否存在一個矩陣等價類，其中只有一個矩陣相似類？是否存在一個具有無限多個相似類的矩陣等價類？

解答

包含所有 $n\!\times \!n$ 秩為零的矩陣的矩陣等價類，只包含一個矩陣，即零矩陣。因此，它作為子集只有一個相似類。

相反，秩為一的 $1\!\times \!1$ 矩陣的矩陣等價類由那些 $1\!\times \!1$ 矩陣 $(k)$ 組成，其中 $k\neq 0$。對於任何基 $B$，乘以標量 $k$ 的表示是 ${\rm {Rep}}_{B,B}(t_{k})=(k)$，因此每個這樣的矩陣在其相似類中都是獨立的。因此，這是一個矩陣等價類分裂成無限多個相似類的例子。

問題 13

兩個不同的對角矩陣可以處於同一個相似類嗎？

解答

是的，它們是相似的。

${\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}}$

因為，其中第一個矩陣是 ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$，對於 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2}\rangle$，第二個矩陣是 ${\rm {Rep}}_{D,D}(t)$，對於 $D=\langle {\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{1}\rangle$。

建議所有讀者完成此練習。

問題 14

證明如果兩個矩陣相似，則它們的 $k$ 次冪在 $k>0$ 時也是相似的。如果 $k\leq 0$ 會怎樣？

解答

k 次冪是相似的，因為每個矩陣都代表了對映 $t$，k 次冪代表 $t^{k}$，即 k 個 $t$ 的複合。（例如，如果 $T=rep{t}{B,B}$，那麼 $T^{2}={\rm {Rep}}_{B,B}(t\circ t)$。）

從計算的角度來說，如果 $T=PSP^{-1}$，那麼 $T^{2}=(PSP^{-1})(PSP^{-1})=PS^{2}P^{-1}$。利用歸納法可以推廣到所有次冪。

對於 $k\leq 0$ 的情況，假設 $S$ 是可逆的，並且 $T=PSP^{-1}$。注意到 $T$ 是可逆的：$T^{-1}=(PSP^{-1})^{-1}=PS^{-1}P^{-1}$，並且同一個公式表明 $T^{-1}$ 與 $S^{-1}$ 相似。其他負次冪由第一段給出。

建議所有讀者完成此練習。

問題 15

設 $p(x)$ 為多項式 $c_{n}x^{n}+\cdots +c_{1}x+c_{0}$。證明如果 $T$ 與 $S$ 相似，則 $p(T)=c_{n}T^{n}+\cdots +c_{1}T+c_{0}I$ 與 $p(S)=c_{n}S^{n}+\cdots +c_{1}S+c_{0}I$ 相似。

解答

從概念上講，兩者都代表了 $p(t)$，對於某個變換 $t$。從計算的角度來看，我們有以下結論。

${\begin{array}{rl}p(T)&=c_{n}(PSP^{-1})^{n}+\dots +c_{1}(PSP^{-1})+c_{0}I\\&=c_{n}PS^{n}P^{-1}+\dots +c_{1}PSP^{-1}+c_{0}I\\&=Pc_{n}S^{n}P^{-1}+\dots +Pc_{1}SP^{-1}+Pc_{0}P^{-1}\\&=P(c_{n}S^{n}+\dots +c_{1}S+c_{0})P^{-1}\end{array}}$

問題 16

列出所有 $1\!\times \!1$ 矩陣的矩陣等價類。同樣列出相似類，並描述每個矩陣等價類中包含哪些相似類。

解答

存在兩個等價類，(i) 零秩矩陣類，只有一個矩陣：${\mathcal {C}}_{1}=\{(0)\}$，以及 (2) 一秩矩陣類，其中有無窮多個：${\mathcal {C}}_{2}=\{(k)\,{\big |}\,k\neq 0\}$.

每個 $1\!\times \!1$ 矩陣在其相似類中是單獨存在的。這是因為任何一維空間的變換都是乘以一個標量 $t_{k}:V\to V$，由 ${\vec {v}}\mapsto k\cdot {\vec {v}}$ 給出。因此，對於任何基底 $B=\langle {\vec {\beta }}\rangle$，表示變換 $t_{k}$ 關於 $B,B$ 的矩陣是 $({\rm {Rep}}_{B}(t_{k}({\vec {\beta }})))=(k)$.

因此，包含在矩陣等價類 ${\mathcal {C}}_{1}$ 中的是（顯然）由矩陣 $(0)$ 構成的單個相似類。並且，包含在矩陣等價類 ${\mathcal {C}}_{2}$ 中的是無窮多個，每個成員都是一個，由 $(k)$ 構成的相似類，其中 $k\neq 0$.

問題 17

相似性是否保持求和？

解答

否。這裡有一個例子，其中有兩對，每對都是兩個相似的矩陣

${\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2/3&1/3\\-1/3&1/3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5/3&-2/3\\-4/3&7/3\end{pmatrix}}$

和

${\begin{pmatrix}1&-2\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&-2\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5&-4\\2&1\end{pmatrix}}$

(這個例子大部分是任意的，但並非完全如此，因為兩個左側的中心矩陣加起來等於零矩陣）。需要注意的是，這些相似矩陣的和並不相似。

${\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}5/3&-2/3\\-4/3&7/3\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-5&-4\\2&1\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

因為零矩陣只與自身相似。

問題 18

證明如果 $T-\lambda I$ 和 $N$ 是相似矩陣，那麼 $T$ 和 $N+\lambda I$ 也是相似的。

解答

如果 $N=P(T-\lambda I)P^{-1}$，那麼 $N=PTP^{-1}-P(\lambda I)P^{-1}$。對角矩陣 $\lambda I$ 與任何矩陣都可交換，因此 $P(\lambda I)P^{-1}=PP^{-1}(\lambda I)=\lambda I$。因此 $N=PTP^{-1}-\lambda I$，因此 $N+\lambda I=PTP^{-1}$。（因此，它們不僅相似，實際上它們透過相同的 $P$ 相似）。

參考文獻

• Halmos, Paul P. (1958), Finite Dimensional Vector Spaces (第二版), Van Nostrand.