線性代數/相似性的定義和例子

線性代數
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定義和例子

我們已經定義了 $H$ 和 ${\hat {H}}$ 是矩陣等價的，如果存在非奇異矩陣 $P$ 和 $Q$ 使得 ${\hat {H}}=PHQ$ 。這個定義是由下面的圖所激發的

顯示 $H$ 和 ${\hat {H}}$ 都表示 $h$ ，但它們是針對不同的基底對來表示的。我們現在將這種設定專門用於共域等於域，並且共域的基底等於域的基底的情況。

為了從左下角移動到右下角，我們可以直接橫向移動，也可以向上、橫向移動，然後再向下。用矩陣的術語來說，

{\rm {Rep}}_{D,D}(t)={\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})\;{\rm {Rep}}_{B,B}(t)\;{\bigl (}{\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}}){\bigr )}^{-1}

（回想一下，像這樣的複合表示是從右到左讀的）。

定義 1.1

矩陣 $T$ 和 $S$ 是相似的，如果存在一個非奇異矩陣 $P$ 使得 $T=PSP^{-1}$ 。

由於非奇異矩陣是方陣，所以相似矩陣 $T$ 和 $S$ 必須是方陣且大小相同。

例 1.2

用這兩個，

P={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}\qquad S={\begin{pmatrix}2&-3\\1&-1\end{pmatrix}}

計算得出 $S$ 與該矩陣相似。

T={\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}}

例 1.3

與零矩陣相似的唯一矩陣是它本身： $PZP^{-1}=PZ=Z$ 。與單位矩陣相似的唯一矩陣是它本身： $PIP^{-1}=PP^{-1}=I$ 。

由於矩陣相似是矩陣等價的特例，如果兩個矩陣相似，那麼它們是等價的。那麼反過來呢：等價的方陣必須相似嗎？答案是否定的。前面的例子表明，相似類不同於矩陣等價類，因為單位矩陣的矩陣等價類包含所有相同大小的非奇異矩陣。因此，例如，這兩個矩陣是矩陣等價的，但不是相似的。

T={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\qquad S={\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}}

因此，一些矩陣等價類被分成兩個或多個相似類——相似性比等價性提供了更精細的劃分。這幅圖顯示了一些矩陣等價類被細分為相似類。

為了理解相似關係，我們將研究相似類。我們用與研究行等價和矩陣等價關係相同的方式來解決這個問題，即為相似類的代表^[1]找到一個規範形式，稱為約當形式。有了這個規範形式，我們可以透過檢查兩個矩陣是否簡化為相同的代表來判斷它們是否相似。我們還看到了行等價和矩陣等價，一個規範形式可以讓我們洞察到同一類成員的相似之處（例如，兩個大小相同的矩陣是矩陣等價的當且僅當它們具有相同的秩）。

練習

問題 1

對於

S={\begin{pmatrix}1&3\\-2&-6\end{pmatrix}}\quad T={\begin{pmatrix}0&0\\-11/2&-5\end{pmatrix}}\quad P={\begin{pmatrix}4&2\\-3&2\end{pmatrix}}

檢查 $T=PSP^{-1}$ 。

建議所有讀者完成此練習。

問題 2

例 1.3表明與零矩陣相似的唯一矩陣是它本身，與單位矩陣相似的唯一矩陣是它本身。

證明 $1\!\times \!1$ 矩陣 $(2)$ ，同樣，也僅與其本身相似。
形式為 $cI$ 的矩陣，其中 $c$ 是標量，是否僅與其本身相似？
對角矩陣是否僅與其本身相似？

問題 3

證明這些矩陣不相似。

{\begin{pmatrix}1&0&4\\1&1&3\\2&1&7\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\3&1&2\end{pmatrix}}

問題 4

考慮變換 $t:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{2}$ ，由 $x^{2}\mapsto x+1$ ， $x\mapsto x^{2}-1$ 和 $1\mapsto 3$ 描述。

求 $T={\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ ，其中 $B=\langle x^{2},x,1\rangle$ 。
求 $S={\rm {Rep}}_{D,D}(t)$ ，其中 $D=\langle 1,1+x,1+x+x^{2}\rangle$ 。
求矩陣 $P$ 使得 $T=PSP^{-1}$ 。

建議所有讀者完成此練習。

問題 5

以這種方式展示一個非平凡的相似關係：令 $t:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{2}$ 透過以下方式作用

{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}

選擇兩個基底，並分別以它們為基底表示 $t$ ，分別得到 $T={\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ 和 $S={\rm {Rep}}_{D,D}(t)$ 。然後計算 $P$ 和 $P^{-1}$ ，以便將基底從 $B$ 轉換到 $D$ ，然後再轉換回來。

問題 6

用對映的概念解釋示例 1.3。

建議所有讀者完成此練習。

問題 7

是否存在兩個相似矩陣 $A$ 和 $B$ ，而 $A^{2}$ 和 $B^{2}$ 不相似？（Halmos 1958）

建議所有讀者完成此練習。

問題 8

證明如果兩個矩陣相似並且其中一個可逆，那麼另一個矩陣也是可逆的。

建議所有讀者完成此練習。

問題 9

證明相似是一個等價關係。

問題 10

考慮一個矩陣，它相對於某個 $B,B$ 表示關於 $x$ 軸的反射變換，在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中。同樣地，考慮一個矩陣，它相對於某個 $D,D$ 表示關於 $y$ 軸的反射變換。這兩個矩陣一定相似嗎？

問題 11

證明相似性保持行列式和秩。反之成立嗎？

問題 12

是否存在一個矩陣等價類，其中只包含一個矩陣相似類？是否存在一個矩陣等價類，其中包含無窮多個矩陣相似類？

問題 13

兩個不同的對角矩陣可以屬於同一個相似類嗎？

建議所有讀者完成此練習。

問題 14

證明如果兩個矩陣相似，那麼當 $k>0$ 時，它們的 $k$ 次方也相似。如果 $k\leq 0$ 呢？

建議所有讀者完成此練習。

問題 15

令 $p(x)$ 為多項式 $c_{n}x^{n}+\cdots +c_{1}x+c_{0}$ 。證明，如果 $T$ 與 $S$ 相似，則 $p(T)=c_{n}T^{n}+\cdots +c_{1}T+c_{0}I$ 與 $p(S)=c_{n}S^{n}+\cdots +c_{1}S+c_{0}I$ 。