線性代數/複數表示

回顧複數加法的定義

$(a+bi)\,+\,(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

和乘法。

${\begin{array}{rl}(a+bi)(c+di)&=ac+adi+bci+bd(-1)\\&=(ac-bd)+(ad+bc)i\end{array}}$

例 2.1

例如，$(1-2i)\,+\,(5+4i)=6+2i$ 和 $(2-3i)(4-0.5i)=6.5-13i$.

使用這些規則處理標量運算，我們對實向量空間進行的所有運算都保持不變。

例 2.2

矩陣乘法是相同的，雖然標量算術涉及更多的簿記。

${\begin{pmatrix}1+1i&2-0i\\i&-2+3i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1+0i&1-0i\\3i&-i\end{pmatrix}}$

${\begin{aligned}&={\begin{pmatrix}(1+1i)\cdot (1+0i)+(2-0i)\cdot (3i)&(1+1i)\cdot (1-0i)+(2-0i)\cdot (-i)\\(i)\cdot (1+0i)+(-2+3i)\cdot (3i)&(i)\cdot (1-0i)+(-2+3i)\cdot (-i)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1+7i&1-1i\\-9-5i&3+3i\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

之前章節中可以保留的一切，我們也保持不變。例如，我們將把向量集合稱為

$\left\langle {\begin{pmatrix}1+0i\\0+0i\\\vdots \\0+0i\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0+0i\\1+0i\\\vdots \\0+0i\end{pmatrix}},\dots ,{\begin{pmatrix}0+0i\\0+0i\\\vdots \\1+0i\end{pmatrix}}\right\rangle$

作為複數域 $\mathbb {C}$ 上的向量空間，$\mathbb {C} ^{n}$ 的標準基，我們再次將其記為 ${\mathcal {E}}_{n}$。