線性代數/因式分解和複數：回顧

本小節僅為回顧，我們認為主要結果已知。關於證明，請參見 (Birkhoff & MacLane 1965) 或 (Ebbinghaus 1990).

正如整數有除法運算——例如，“$4$ 可以被 $5$ 整除得到 $21$，餘數為 $1$”——多項式也是如此。

定理 1.1（多項式除法定理）

設 $c(x)$ 為一個多項式。如果 $m(x)$ 是一個非零多項式，則存在**商**和**餘數**多項式 $q(x)$ 和 $r(x)$ 使得

$c(x)=m(x)\cdot q(x)+r(x)$

其中 $r(x)$ 的次數嚴格小於 $m(x)$ 的次數。

在這本書中，常數多項式，包括零多項式，被認為具有次數 $0$。（這不是標準定義，但在這裡很方便。）

整數除法語句 "$4$ 除以 $5$ 商為 $21$ 餘數為 $1$" 的關鍵在於，餘數小於 $4$ —— 雖然 $4$ 除以 $5$ 商為 5 次，但它不除以 $6$ 次。同理，多項式除法語句的關鍵在於其最後一個子句。

示例 1.2

如果 $c(x)=2x^{3}-3x^{2}+4x$ 且 $m(x)=x^{2}+1$，那麼 $q(x)=2x-3$ 且 $r(x)=2x+3$。注意，$r(x)$ 的階數低於 $m(x)$。

推論 1.3

當 $c(x)$ 除以 $x-\lambda$ 時，餘數是常數多項式 $r(x)=c(\lambda )$。

證明

餘數必須是一個常數多項式，因為它比除數的次數低 $x-\lambda$。為了確定常數，取定理中的 $m(x)$ 為 $x-\lambda$，並將 $\lambda$ 代入 $x$，得到 $c(\lambda )=(\lambda -\lambda )\cdot q(\lambda )+r(x)$。

如果除數 $m(x)$ 能被被除數 $c(x)$ 整除，意味著 $r(x)$ 是零多項式，那麼 $m(x)$ 是 $c(x)$ 的 **因子**。因子的任何 **根**（任何滿足 $m(\lambda )=0$ 的 $\lambda \in \mathbb {R}$）都是 $c(x)$ 的根，因為 $c(\lambda )=m(\lambda )\cdot q(\lambda )=0$。前面的推論立即得出以下逆命題。

推論 1.4

如果 $\lambda$ 是多項式 $c(x)$ 的根，那麼 $x-\lambda$ 能整除 $c(x)$，也就是說 $x-\lambda$ 是 $c(x)$ 的因式。

找到高次多項式的根和因式可能很困難。但對於二次多項式，我們有二次公式：$ax^{2}+bx+c$ 的根是

$\lambda _{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\qquad \lambda _{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

(如果判別式 $b^{2}-4ac$ 為負，則該多項式沒有實數根)。一個不能分解為兩個具有實數係數的低次多項式的多項式被稱為 **在實數上不可約**。

定理 1.5

任何常數或線性多項式在實數上都是不可約的。一個二次多項式在實數上不可約當且僅當它的判別式為負。沒有三次或更高次的多項式在實數上不可約。

推論 1.6

任何具有實數係數的多項式都可以分解成線性多項式和不可約二次多項式。該分解是唯一的；任何兩個分解都具有相同的因子的相同冪。

注意與整數的素因子分解的類比。在這兩種情況下，唯一性條款都非常有用。

例 1.7

由於唯一性，我們知道，無需將其乘開， $(x+3)^{2}(x^{2}+1)^{3}$ 不等於 $(x+3)^{4}(x^{2}+x+1)^{2}$。

例 1.8

根據唯一性，如果 $c(x)=m(x)\cdot q(x)$，那麼當 $c(x)=(x-3)^{2}(x+2)^{3}$ 且 $m(x)=(x-3)(x+2)^{2}$ 時，我們知道 $q(x)=(x-3)(x+2)$.

雖然 $x^{2}+1$ 在實數範圍內沒有實根，因此無法分解成實數上的因式。但是，如果我們假設一個根，通常用 $i$ 表示，使得 $i^{2}+1=0$，那麼 $x^{2}+1$ 可以分解成兩個一次因式的乘積，即 $(x-i)(x+i)$.

因此，我們將這個根 $i$ 新增到實數，並對新的體系進行封閉，使其滿足加法、乘法等運算（例如，我們還添加了 $3+i$、$2i$ 和 $3+2i$ 等，並將所有 $1$ 和 $i$ 的線性組合都包含在內）。然後，我們得到一個新的結構，稱為 **複數**，用 $\mathbb {C}$ 表示。

在 $\mathbb {C}$ 中，我們可以對（顯然，至少是一些）在實數範圍內不可約的二次方程進行因式分解。令人驚訝的是，在 $\mathbb {C}$ 中，我們不僅可以對 $x^{2}+1$ 及其近似表示式進行因式分解，我們還可以對任何二次方程進行因式分解。

$ax^{2}+bx+c=a\cdot {\big (}x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}{\big )}\cdot {\big (}x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}{\big )}$

例 1.9

二次多項式 $x^{2}+x+1$ 在複數範圍內可以分解成兩個一次多項式的乘積。

${\big (}x-{\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}{\big )}{\big (}x-{\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}{\big )}={\big (}x-(-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i){\big )}{\big (}x-(-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i){\big )}$

推論 1.10（代數基本定理）

具有復係數的多項式可以分解成具有復係數的線性多項式。這種分解是唯一的。

參考文獻

• Ebbinghaus, H. D. (1990), Numbers, Springer-Verlag.
• Birkhoff, Garrett; MacLane, Saunders (1965), Survey of Modern Algebra (Third ed.), Macmillian.