線性代數/描述解集

一個具有唯一解的線性系統具有一個元素的解集。一個無解的線性系統具有一個空的解集。在這些情況下，解集很容易描述。只有當解集包含多個元素時，解集才具有挑戰性。

例2.1

這個系統有許多解，因為在行階梯形中

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&&&+&z&=&3\\x&-&y&-&z&=&1\\3x&-&y&&&=&4\end{array}}&{\xrightarrow[{-\left({\frac {3}{2}}\right)\rho _{1}+\rho _{3}}]{-\left({\frac {1}{2}}\right)\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&&&+&z&=&3\\&&-y&-&\left({\frac {3}{2}}\right)z&=&-{\frac {1}{2}}\\&&-y&-&\left({\frac {3}{2}}\right)z&=&-{\frac {1}{2}}\end{array}}\\[3em]&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&&&+&z&=&3\\&&-y&-&\left({\frac {3}{2}}\right)z&=&-{\frac {1}{2}}\\&&&&0&=&0\end{array}}\end{array}}$

並非所有變數都是主變數。高斯消元法定理表明，一個三元組滿足第一個系統當且僅當它滿足第三個系統。因此，解集 ${\Big \{}(x,y,z){\Big |}2x+z=3{\text{ and }}x-y-z=1{\text{ and }}3x-y=4{\Big \}}$ 也可以描述為 $\left\{(x,y,z){\Big |}2x+z=3{\text{ and }}-y-{\frac {3z}{2}}=-{\frac {1}{2}}\right\}$。但是，這種第二個描述並沒有多大改善。它有兩個方程而不是三個，但它仍然涉及變數之間一些難以理解的互動作用。

為了得到一個不包含任何互動項的描述，我們選取不作為任何等式引導項的變數，$z$，並用它來描述作為引導項的變數，$x$ 和 $y$。第二個等式給出 $y={\frac {1}{2}}-{\frac {3}{2}}z$，第一個等式給出 $x={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}z$。因此，解集可以描述為 $\left\{(x,y,z)=\left({\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}z,{\frac {1}{2}}-{\frac {3}{2}}z,z\right){\Big |}z\in \mathbb {R} \right\}$。例如，$\left({\frac {1}{2}},-{\frac {5}{2}},2\right)$ 是一個解，因為取 $z=2$ 會得到第一個分量為 ${\frac {1}{2}}$，第二個分量為 $-{\frac {5}{2}}$。

這種描述相對於上面提到的描述的優勢在於，唯一齣現的變數，$z$，是無限制的——它可以是任何實數。

定義 2.2

在階梯形線性方程組中，不作為引導項的變數被稱為自由變數。

在上面例子中得到的階梯形方程組中，$x$ 和 $y$ 是引導變數，而 $z$ 是自由變數。

例子 2.3

一個線性方程組可以有多個自由變數。以下是一個行化簡過程

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&y&+&z&-&w&=&1\\&&y&-&z&+&w&=&-1\\3x&&&+&6z&-&6w&=&6\\&&-y&+&z&-&w&=&1\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{1}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&y&+&z&-&w&=&1\\&&y&-&z&+&w&=&-1\\&&-3y&+&3z&-&3w&=&3\\&&-y&+&z&-&w&=&1\end{array}}\\[3em]&{\xrightarrow[{\rho _{2}+\rho _{4}}]{3\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&y&+&z&-&w&=&1\\&&y&-&z&+&w&=&-1\\&&&&&&0&=&0\\&&&&&&0&=&0\end{array}}\end{array}}$

以 $x$ 和 $y$ 結尾，並且 $z$ 和 $w$ 均為自由變數。為了得到我們想要的描述，我們將從底部開始。首先，我們將 $y$ 用自由變數 $z$ 和 $w$ 表示，即 $y=-1+z-w$ 。然後，向上移動到頂部的等式，用 $y$ 代入第一個等式 $x+(-1+z-w)+z-w=1$ 並解得 $x$ ，得到 $x=2-2z+2w$ 。因此，解集為 ${\Big \{}(2-2z+2w,-1+z-w,z,w){\Big |}z,w\in \mathbb {R} {\Big \}}$ 。

我們更喜歡這種描述，因為出現的唯一變數是 $z$ 和 $w$ ，是無限制的。這使得判斷哪些四元組是系統解變得容易。例如，取 $z=1$ 和 $w=2$ 會得到解 $(4,-2,1,2)$ 。相反， $(3,-2,1,2)$ 不是解，因為任何解的第一項必須是 $2$ 減去第三項的兩倍加上第四項的兩倍。

示例 2.4

在進行這種簡化之後

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{4}{rc}r}2x&-&2y&&&&&=&0\\&&&&z&+&3w&=&2\\3x&-&3y&&&&&=&0\\x&-&y&+&2z&+&6w&=&4\end{array}}&{\xrightarrow[{-({\frac {1}{2}})\rho _{1}+\rho _{4}}]{-({\frac {3}{2}})\rho _{1}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}2x&-&2y&&&&&=&0\\&&&&z&+&3w&=&2\\&&&&&&0&=&0\\&&&&2z&+&6w&=&4\end{array}}\\[3em]&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{2}+\rho _{4}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}2x&-&2y&&&&&=&0\\&&&&z&+&3w&=&2\\&&&&&&0&=&0\\&&&&&&0&=&0\end{array}}\end{array}}$

$x,z$ 為主元，$y,w$ 為自由元。解集是 ${\Big \{}(y,y,2-3w,w){\Big |}y,w\in \mathbb {R} {\Big \}}$。例如，$(1,1,2,0)$ 滿足該方程組——取 $y=1$ 和 $w=0$。四元組 $(1,0,5,4)$ 不是解，因為它的第一個座標不等於第二個座標。

我們將用於描述一組解的變數稱為引數，並說上面的集合用 $y$ 和 $w$ 進行引數化。（“引數”和“自由變數”這兩個詞的意思並不相同。在上面，$y$ 和 $w$ 是自由的，因為在梯形形式系統中，它們沒有引導任何行。它們是引數，因為它們被用於解集描述中。我們也可以用 $y$ 和 $z$ 進行引數化，方法是將第二個方程改寫為 $w={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{3}}z$。在這種情況下，自由變數仍然是 $y$ 和 $w$，但引數是 $y$ 和 $z$。請注意，我們不能用 $x$ 和 $y$ 進行引數化，因此在引數的選擇上有時會有一些限制。術語“引數”和“自由”是相關的，因為正如我們將在本章後面展示的那樣，系統的解集總是可以用自由變數進行引數化。因此，我們將以這種方式對我們所有的描述進行引數化。）

示例 2.5

這是一個具有無窮多個解的另一個系統。

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&&&&&=&1\\2x&&&+&z&&&=&2\\3x&+&2y&+&z&-&w&=&4\end{array}}&{\xrightarrow[{-3\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&&&&&=&1\\&&-4y&+&z&&&=&0\\&&-4y&+&z&-&w&=&1\end{array}}\\[3em]&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&&&&&=&1\\&&-4y&+&z&&&=&0\\&&&&&&-w&=&1\end{array}}\end{array}}$

領先變數是$x,y,w$ 。變數$z$ 是自由的。(注意，雖然有無限多個解，但其中一個變數的值是固定的——$w=-1$ )。用$z$ 表示$w$ ，有$w=-1+0z$ 。然後$y={\frac {1}{4}}z$ 。為了用$z$ 表示$x$ ，將$y$ 代入第一個方程，得到$x=1-{\frac {1}{2}}z$ 。解集是$\left\{\left(1-{\frac {1}{2}}z,{\frac {1}{4}}z,z,-1\right){\Bigg |}z\in \mathbb {R} \right\}$ 。

在本節的最後，我們將介紹線性系統及其解集的記號，這些記號將在本書的其餘部分使用。

定義 2.6

一個$m\times n$ 矩陣是一個矩形的數字陣列，包含$m$ 行和$n$ 列。矩陣中的每個數字都是一個元素。

矩陣通常用大寫羅馬字母命名，例如$A$ 。每個元素都用相應的 lowercase letter 表示，例如$a_{i,j}$ 是陣列的第$i$ 行第$j$ 列的數字。例如，

$A={\begin{pmatrix}1&2.2&5\\3&4&-7\end{pmatrix}}$

它有兩行三列，因此是一個 $2\times 3$ 矩陣。（讀作“二乘三”；行數始終排在前面。）第二行第一列的元素是 $a_{2,1}=3$ 。請注意，下標的順序很重要：$a_{1,2}\neq a_{2,1}$ ，因為 $a_{1,2}=2.2$ 。（陣列周圍的括號是一個排版裝置，以便當兩個矩陣並排時，我們可以辨別出一個矩陣的結束位置和另一個矩陣的開始位置。）

矩陣在本書中隨處可見。我們將使用 ${\mathcal {M}}_{n\times m}$ 來表示所有 $n\times m$ 矩陣的集合。

示例 2.7

我們可以用這個矩陣來簡化這個線性方程組。

${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&2y&&&=&4\\&&y&-&z&=&0\\x&&&+&2z&=&4\end{array}}$

用這個矩陣。

$\left({\begin{array}{ccc|c}1&2&0&4\\0&1&-1&0\\1&0&2&4\end{array}}\right)$

垂直線只是提醒讀者，系統左側的係數與右側的常數之間的區別。當使用一條線將矩陣分成幾部分時，我們稱之為**增廣**矩陣。在這個表示法中，高斯消元法是這樣進行的。

$\left({\begin{array}{ccc|c}1&2&0&4\\0&1&-1&0\\1&0&2&4\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{3}}}\left({\begin{array}{ccc|c}1&2&0&4\\0&1&-1&0\\0&-2&2&0\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{2\rho _{2}+\rho _{3}}}\left({\begin{array}{ccc|c}1&2&0&4\\0&1&-1&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)$

第二行代表 $y-z=0$，第一行代表 $x+2y=4$，因此解集為 ${\Big \{}(4-2z,z,z){\Big |}z\in \mathbb {R} {\Big \}}$。新符號的一個優點是，高斯消元法的文書工作量——變數的複製，$+$ 和 $=$ 等的書寫——減輕了。

我們還將使用陣列符號來闡明解集描述。像 $\{(2-2z+2w,-1+z-w,z,w){\big |}z,w\in \mathbb {R} \}$ 來自 例 2.3 的描述很難閱讀。我們將重寫它，將所有常數放在一起，將所有 $z$ 的係數放在一起，以及所有 $w$ 的係數放在一起。我們將它們垂直寫入，在一列寬的矩陣中。

$\left\{{\begin{pmatrix}2\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-2\\1\\1\\0\end{pmatrix}}z+{\begin{pmatrix}2\\-1\\0\\1\end{pmatrix}}w{\Bigg |}z,w\in \mathbb {R} \right\}$

例如，最上面一行表示 $x=2-2z+2w$。下一節將給出幾何解釋，這將幫助我們以這種方式寫出解集時對其進行視覺化。

定義 2.8

向量（或列向量）是一個只有一列的矩陣。只有一行的矩陣是一個行向量。向量中的元素是它的分量。

向量是矩陣用大寫羅馬字母表示的慣例的例外。我們使用帶箭頭的下標羅馬字母或希臘字母：${\vec {a}},{\vec {b}}$ ... 或 ${\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}$ ... （黑體字也很常見：$\mathbf {a}$ 或 ${\boldsymbol {\alpha }}$）。例如，這是一個列向量，其第三個分量為 $7$。

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\3\\7\end{pmatrix}}$

定義 2.9

線性方程 $a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=d$，其中未知數為 $x_{1},\ldots \,,x_{n}$，由

${\vec {s}}={\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}$

如果 $a_{1}s_{1}+\cdots +a_{n}s_{n}=d$。如果一個向量滿足線性系統中的每個方程，則該向量滿足該線性系統。

我們用來描述解集的風格包括新增向量，以及將它們乘以實數，例如 $z$ 和 $w$。我們需要定義這些操作。

定義 2.10

${\vec {u}}$ 和 ${\vec {v}}$ 的**向量和**是這樣的。

${\vec {u}}+{\vec {v}}={\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{1}+v_{1}\\\vdots \\u_{n}+v_{n}\end{pmatrix}}$

一般來說，兩個具有相同行數和相同列數的矩陣以這種方式逐項相加。

定義 2.11

實數 $r$ 和向量 ${\vec {v}}$ 的**標量乘法**定義如下。

$r\cdot {\vec {v}}=r\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rv_{1}\\\vdots \\rv_{n}\end{pmatrix}}$

一般來說，任何矩陣都以這種逐項的方式乘以一個實數。

標量乘法可以以任何順序寫：$r\cdot {\vec {v}}$ 或 ${\vec {v}}\cdot r$，或者不帶 “$\cdot$” 符號：$r{\vec {v}}$。（不要將標量乘法稱為“標量積”，因為該名稱用於不同的運算。）

示例 2.12

${\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2+3\\3-1\\1+4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\2\\5\end{pmatrix}}\qquad 7\cdot {\begin{pmatrix}1\\4\\-1\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7\\28\\-7\\-21\end{pmatrix}}$

請注意，向量加法和標量乘法的定義在它們重疊的地方是一致的，例如，${\vec {v}}+{\vec {v}}=2{\vec {v}}$。

使用定義的符號，我們現在可以用我們在本書中一直使用的這種方式來求解方程組。

示例 2.13

這個系統

${\begin{array}{*{5}{rc}r}2x&+&y&&&-&w&&&=&4\\&&y&&&+&w&+&u&=&4\\x&&&-&z&+&2w&&&=&0\end{array}}$

用這種方式簡化。

${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{ccccc|c}2&1&0&-1&0&4\\0&1&0&1&1&4\\1&0&-1&2&0&0\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{}]{-\left({\frac {1}{2}}\right)\rho _{1}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{ccccc|c}2&1&0&-1&0&4\\0&1&0&1&1&4\\0&-{\frac {1}{2}}&-1&{\frac {5}{2}}&0&-2\end{array}}\right)\\[3em]&{\xrightarrow[{}]{\left({\frac {1}{2}}\right)\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{ccccc|c}2&1&0&-1&0&4\\0&1&0&1&1&4\\0&0&-1&3&{\frac {1}{2}}&0\end{array}}\right)\end{array}}$

解集為 $\left\{(w+{\frac {1}{2}}u,4-w-u,3w+{\frac {1}{2}}u,w,u){\Bigg |}w,u\in \mathbb {R} \right\}$。我們將它寫成向量形式。

$\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\\u\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\4\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\-1\\3\\1\\0\end{pmatrix}}w+{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\\-1\\{\frac {1}{2}}\\0\\1\end{pmatrix}}u{\Bigg |}w,u\in \mathbb {R} \right\}$

再次注意向量符號如何很好地將每個引數的係數區分開來。例如，向量形式的第三行清楚地表明，如果 $u$ 保持固定，那麼 $z$ 的增長速度是 $w$ 的三倍。

這種格式也清楚地表明存在無限多個解。例如，我們可以固定 $u$ 為 $0$，令 $w$ 在實數範圍內變化，並考慮第一個分量 $x$。我們將得到無限多個第一個分量，因此有無限多個解。

另一個清楚地表明的結論是，將 $w,u$ 都設為 0，則此

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\\u\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\4\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$

是線性方程組的特解。

例 2.14

同理，這個方程組

${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&-&y&+&z&=&1\\3x&&&+&z&=&3\\5x&-&2y&+&3z&=&5\end{array}}$

化簡為

$\left({\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&1\\3&0&1&3\\5&-2&3&5\end{array}}\right){\xrightarrow[{-5\rho _{1}+\rho _{3}}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&1\\0&3&-2&0\\0&3&-2&0\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\left({\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&1\\0&3&-2&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)$

得到一個引數解集。

$\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{3}}\\{\frac {2}{3}}\\1\end{pmatrix}}z{\Bigg |}z\in \mathbb {R} \right\}$

在進行練習之前，我們暫停一下，指出一些我們尚未解決的問題。

前兩個小節主要講解高斯消元法的步驟。除了一個結果—— 定理 1.4——如果沒有這個定理，整個方法就無法成立，因為它表明該方法能給出正確答案。我們並沒有停下來考慮由此產生的任何有趣問題。

例如，我們能否始終如上描述解集，即某個特定的解向量加上其他一些向量的無限制線性組合？我們用無限制引數描述的解集很容易看出有無窮多個解，因此這個問題的答案可以告訴我們一些關於解集大小的資訊。這個問題的答案還可以幫助我們描繪解集，例如在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中，或在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，等等。

觀察到高斯消元法可以用多種方式進行（例如，交換行時，我們可能可以選擇與哪一行交換），由此產生了許多問題。 定理 1.4 指出無論我們如何進行，都必須得到相同的解集，但是如果我們用兩種不同的方式進行高斯消元法，我們必須在兩次都得到相同數量的自由變數嗎？這樣，任何兩個解集描述就都具有相同數量的引數。這些變數必須相同嗎（例如，是否不可能用一種方式解決問題並得到 $y$ 和 $w$ 自由，或者用另一種方式解決並得到 $y$ 和 $z$ 自由)？

在本章的其餘部分，我們將回答這些問題。每個問題的答案都是“是”。第一個問題在本節的最後一個小節中得到解答。在第二節中，我們將對解集進行幾何描述。在本章的最後一節中，我們將解決最後一組問題。因此，到本章結束時，我們不僅將對高斯消元法的實踐有紮實的理解，而且對理論也具有紮實的理解。我們將確定在降階中可能發生和不可能發生的事情。

練習

建議所有讀者完成本練習。

問題 1

如果定義了矩陣的指定條目，請找到該條目。

$A={\begin{pmatrix}1&3&1\\2&-1&4\end{pmatrix}}$

1. $a_{2,1}$
2. $a_{1,2}$
3. $a_{2,2}$
4. $a_{3,1}$

建議所有讀者完成本練習。

問題 2

給出每個矩陣的大小。

1. ${\begin{pmatrix}1&0&4\\2&1&5\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\\3&-1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}5&10\\10&5\end{pmatrix}}$

建議所有讀者完成本練習。

問題 3

如果定義了向量運算，請執行該運算。

1. ${\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}}$
2. $5{\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1\\5\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}}$
4. $7{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}+9{\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}$
6. $6{\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}}-4{\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}}$

建議所有讀者完成本練習。

問題 4

使用矩陣符號求解每個系統。用向量表示解。

1. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&+&6y&=&18\\x&+&2y&=&6\end{array}}$
2. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&1\\x&-&y&=&-1\end{array}}$
3. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}x_{1}&&&+&x_{3}&=&4\\x_{1}&-&x_{2}&+&2x_{3}&=&5\\4x_{1}&-&x_{2}&+&5x_{3}&=&17\end{array}}$
4. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}2a&+&b&-&c&=&2\\2a&&&+&c&=&3\\a&-&b&&&=&0\end{array}}$
5. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&-&z&&&=&3\\2x&+&y&&&+&w&=&4\\x&-&y&+&z&+&w&=&1\end{array}}$
6. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&+&z&+&w&=&4\\2x&+&y&&&-&w&=&2\\3x&+&y&+&z&&&=&7\end{array}}$

建議所有讀者完成本練習。

問題 5

使用矩陣表示法求解每個系統。將每個解集用向量表示法給出。

1. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&+&y&-&z&=&1\\4x&-&y&&&=&3\end{array}}$
2. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&-&z&&&=&1\\&&y&+&2z&-&w&=&3\\x&+&2y&+&3z&-&w&=&7\end{array}}$
3. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&+&z&&&=&0\\&&y&&&+&w&=&0\\3x&-&2y&+&3z&+&w&=&0\\&&-y&&&-&w&=&0\end{array}}$
4. ${\begin{array}{*{5}{rc}r}a&+&2b&+&3c&+&d&-&e&=&1\\3a&-&b&+&c&+&d&+&e&=&3\end{array}}$

建議所有讀者完成本練習。

問題 6

向量在該集合中。引數的什麼值會產生該向量？

1. ${\begin{pmatrix}5\\-5\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$
2. ${\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}}i+{\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}}j\,{\big |}\,i,j\in \mathbb {R} \}$
3. ${\begin{pmatrix}0\\-4\\2\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}n\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}$

問題 7

判斷向量是否在集合中。

1. ${\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}-6\\2\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$
2. ${\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}5\\-4\end{pmatrix}}j\,{\big |}\,j\in \mathbb {R} \}$
3. ${\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}0\\3\\-7\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}}r\,{\big |}\,r\in \mathbb {R} \}$
4. ${\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}j+{\begin{pmatrix}-3\\-1\\1\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,j,k\in \mathbb {R} \}$

問題 8

對這個一元方程組的解集進行引數化。

$x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=0$

建議所有讀者完成本練習。

問題 9

1. 將高斯消元法應用於左側以求解

   ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&&&-&w&=&a\\2x&&&+&z&&&=&b\\x&+&y&&&+&2w&=&c\end{array}}$

   對於 $x$，$y$，$z$ 和 $w$，用常數 $a$，$b$ 和 $c$ 表示。請注意，$w$ 將是一個自由變數。
2. 使用上一部分的答案來解決這個問題。

   ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&&&-&w&=&3\\2x&&&+&z&&&=&1\\x&+&y&&&+&2w&=&-2\end{array}}$

建議所有讀者完成本練習。

問題 10

為什麼矩陣元素的表示法 "$a_{i,j}$" 需要逗號？

建議所有讀者完成本練習。

問題 11

給出 $4\!\times \!4$ 矩陣，它的第 $i,j$ 個元素是

1. $i+j$;
2. $-1$ 的 $i+j$ 次方。

問題 12

對於任何矩陣 $A$，$A$ 的 **轉置**（記為 ${{A}^{\rm {trans}}}$）是將 $A$ 的行變成列的矩陣。求出以下矩陣的轉置。

1. ${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&-3\\1&1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}5&10\\10&5\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$

建議所有讀者完成本練習。

問題 13

1. 描述所有函式 $f(x)=ax^{2}+bx+c$ 使得 $f(1)=2$ 並且 $f(-1)=6$.
2. 描述所有函式 $f(x)=ax^{2}+bx+c$ 使得 $f(1)=2$.

問題 14

證明從平面 $\mathbb {R} ^{2}$ 中選出的任意五個點都落在同一個圓錐截面上，也就是說，它們都滿足以下形式的方程 $ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f=0$，其中一些 $a,\,\ldots \,,f$ 不為零。

問題 15

構造一個具有以下特徵的四個方程/四個未知數的方程組：

1. 一個引數解集；
2. 兩個引數解集；
3. 三個引數解集。

? 問題 16

1. 解方程組。

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&y&=&a^{2}\\x&+&ay&=&1\end{array}}$

   對於哪些 $a$ 的值，該方程組沒有解？對於哪些 $a$ 的值，該方程組有無窮多個解？
2. 對方程組回答上述問題。

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&y&=&a^{3}\\x&+&ay&=&1\end{array}}$

(蘇聯奧林匹克競賽 #174)

? 問題 17

在空氣中，一個鍍金球體重 $7588$ 克。已知它可能包含一種或多種金屬，包括鋁、銅、銀或鉛。當在標準條件下分別在水、苯、酒精和甘油中稱重時，其重量分別為 $6588$、$6688$、$6778$ 和 $6328$ 克。如果指定物質的比重如下，那麼它包含多少（如果有）上述金屬？

鋁	2.7			酒精	0.81
銅	8.9			苯	0.90
金	19.3			甘油	1.26
鉛	11.3			水	1.00
銀	10.8

(Duncan & Quelch 1952)

解答

參考文獻

• 蘇聯數學奧林匹克競賽，第 174 號。
• Duncan, Dewey (提案者)； Quelch, W. H. (解答者) (1952), 數學雜誌, 26 (1): 48 {{citation}}: 缺少或為空 |title= (幫助); 未知引數 |month= 被忽略 (幫助)