線性代數/高斯消元法

定義 1.1

線性方程 在變數 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ 中的形式為

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+\cdots +a_{n}x_{n}=d$

其中數字 $a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R}$ 是方程的係數，$d\in \mathbb {R}$ 是常數。一個 $n$-元組 $(s_{1},s_{2},\dots ,s_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ 是該方程的解，或滿足該方程，如果將數字 $s_{1},\dots ,s_{n}$ 代入變數得到一個真命題：$a_{1}s_{1}+a_{2}s_{2}+\ldots +a_{n}s_{n}=d$.

線性方程組

${\begin{array}{*{4}{rc}r}a_{1,1}x_{1}&+&a_{1,2}x_{2}&+&\cdots &+&a_{1,n}x_{n}&=&d_{1}\\a_{2,1}x_{1}&+&a_{2,2}x_{2}&+&\cdots &+&a_{2,n}x_{n}&=&d_{2}\\&&&&&&&\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+&a_{m,2}x_{2}&+&\cdots &+&a_{m,n}x_{n}&=&d_{m}\end{array}}$

的解是 $(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})$ 如果該 $n$-元組是系統中所有方程的解。

示例 1.2

有序對 $(-1,5)$ 是該系統的解。

${\begin{array}{*{2}{rc}r}4x_{1}&+&2x_{2}&=&6\\-x_{1}&+&x_{2}&=&6\end{array}}$

相反地，$(5,-1)$ 不是一個解。

找到所有解的集合就是 **求解** 該方程組。不需要猜測或好運來求解線性方程組。存在一個始終有效的演算法。以下示例介紹該演算法，稱為 **高斯消元法**。它逐步將系統轉換為一種易於求解的形式。

例 1.3

要解此方程組

${\begin{array}{*{3}{rc}r}&&&&3x_{3}&=&9\\x_{1}&+&5x_{2}&-&2x_{3}&=&2\\{\frac {1}{3}}x_{1}&+&2x_{2}&&&=&3\end{array}}$

我們重複變換它，直到它變成一種易於求解的形式。

${\begin{array}{rcl}\quad &{\xrightarrow[{}]{\text{swap row 1 with row 3}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}{\frac {1}{3}}x_{1}&+&2x_{2}&&&=&3\\x_{1}&+&5x_{2}&-&2x_{3}&=&2\\&&&&3x_{3}&=&9\end{array}}\\&{\xrightarrow[{}]{\text{multiply row 1 by 3}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}x_{1}&+&6x_{2}&&&=&9\\x_{1}&+&5x_{2}&-&2x_{3}&=&2\\&&&&3x_{3}&=&9\end{array}}\\&{\xrightarrow[{}]{{\text{add }}-1{\text{ times row 1 to row 2}}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}x_{1}&+&6x_{2}&&&=&9\\&&-x_{2}&-&2x_{3}&=&-7\\&&&&3x_{3}&=&9\end{array}}\end{array}}$

第三步是唯一一個非平凡的步驟。我們已經用$-1$ 乘以第一行兩邊，用它加上舊的第二行，並將結果寫為新的第二行。

現在我們可以求出每個變數的值。底部的方程式表明 $x_{3}=3$。將 $3$ 代入 $x_{3}$ 中間的方程式表明 $x_{2}=1$。將這兩個值代入頂部的方程式，得到 $x_{1}=3$，因此該系統有一個唯一的解：解集為 $\{\,(3,1,3)\,\}$。

本節的大部分內容和下一節內容都是關於用高斯消元法解線性方程組的示例。我們將在本書中一直使用它。它又快又簡單。但是，在我們開始這些例子之前，我們首先要證明這種方法也是安全的，它永遠不會丟失解，也不會產生多餘的解。

定理 1.4（高斯消元法）

如果線性方程組透過以下操作之一轉換為另一個方程組

1. 一個方程式與另一個方程式交換
2. 一個方程式的兩邊乘以一個非零常數
3. 一個方程被它自身與另一個方程的倍數的和替換

那麼這兩個系統具有相同的解集。

這三種操作都有一定的限制。將一行乘以 $0$ 是不允許的，因為這顯然會改變系統的解集。類似地，將一行與自身的倍數相加也是不允許的，因為將 $-1$ 倍的自身相加的效果是將該行乘以 $0$。最後，不允許將一行與自身交換，這是為了使第四章中的一些結果更易於陳述和記憶（此外，自身交換沒有意義）。

證明

我們將在這裡介紹行交換操作，並將其他兩種情況留到 習題 14。

考慮將第 $i$ 行與第 $j$ 行交換。

如果僅交換 $n$-元組 $(s_{1},\ldots ,s_{n})$ 能滿足交換前的方程組，當且僅當將 $s$ 值代入變數 $x$ 後得到真命題： $a_{1,1}s_{1}+a_{1,2}s_{2}+\cdots +a_{1,n}s_{n}=d_{1}$ 以及 ... $a_{i,1}s_{1}+a_{i,2}s_{2}+\cdots +a_{i,n}s_{n}=d_{i}$ 以及 ... $a_{j,1}s_{1}+a_{j,2}s_{2}+\cdots +a_{j,n}s_{n}=d_{j}$ 以及 ... $a_{m,1}s_{1}+a_{m,2}s_{2}+\cdots +a_{m,n}s_{n}=d_{m}$.

在一個由“與”連線的語句組成的需求中，我們可以重新排列語句的順序，使得該需求滿足當且僅當 $a_{1,1}s_{1}+a_{1,2}s_{2}+\cdots +a_{1,n}s_{n}=d_{1}$ 且 ... $a_{j,1}s_{1}+a_{j,2}s_{2}+\cdots +a_{j,n}s_{n}=d_{j}$ 且 ... $a_{i,1}s_{1}+a_{i,2}s_{2}+\cdots +a_{i,n}s_{n}=d_{i}$ 且 ... $a_{m,1}s_{1}+a_{m,2}s_{2}+\cdots +a_{m,n}s_{n}=d_{m}$。這與在行交換之後，$(s_{1},\ldots ,s_{n})$ 是該方程組的解完全一致。

定義 1.5

來自 定理 1.4 的三個操作是 **基本約簡操作**，或者 **行操作**，或者 **高斯操作**。它們是 **交換**、**乘以一個標量** 或 **縮放**，以及 **主元操作**。

在寫出計算時，我們用 “行 $i$" 表示 “$\rho _{i}$"。例如，我們將主元操作表示為 $k\rho _{i}+\rho _{j}$，其中發生改變的行寫在後面。為了節省寫作，當多個主元操作使用相同的 $\rho _{i}$ 時，我們也會將它們一起列出。

示例 1.6

高斯方法的一個典型應用是解決這個方程組。

${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&y&&&=&0\\2x&-&y&+&3z&=&3\\x&-&2y&-&z&=&3\end{array}}$

對方程組進行第一次變換，需要使用第一行消去第二行中的 $x$ 和第三行中的 $x$。為了消除第二行中的 $2x$，我們將第一行乘以 $-2$，將結果加到第二行，並將結果寫成新的第二行。為了消除第三行中的 $x$，我們將第一行乘以 $-1$，將結果加到第三行，並將結果寫成新的第三行。

${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&y&&&=&0\\&&-3y&+&3z&=&3\\&&-3y&-&z&=&3\end{array}}\end{array}}$

(注意兩個 $\rho _{1}$ 步驟 $-2\rho _{1}+\rho _{2}$ 和 $-\rho _{1}+\rho _{3}$ 被寫成一個操作。) 在這個第二個系統中，最後兩個方程只包含兩個未知數。為了完成，我們將第二個系統轉換為第三個系統，其中最後一個方程只包含一個未知數。這個變換利用第二行消去 $y$ 從第三行。

${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&y&&&=&0\\&&-3y&+&3z&=&3\\&&&&-4z&=&0\end{array}}\end{array}}$

現在我們已經準備好求解。第三行表明 $z=0$。 將它代入第二行得到 $y=-1$，然後代入第一行得到 $x=1$。

示例 1.7

對於本章開頭提到的物理問題，高斯消元法給出瞭如下結果。

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{2}{rc}r}40h&+&15c&=&100\\-50h&+&25c&=&50\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{5/4\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}40h&+&15c&=&100\\&&(175/4)c&=&175\end{array}}\end{array}}$

所以 $c=4$，回代後可得 $h=1$。（化學問題將在後面解決。）

例 1.8

化簡

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&y&+&z&=&9\\2x&+&4y&-&3z&=&1\\3x&+&6y&-&5z&=&0\end{array}}&{\xrightarrow[{-3\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&y&+&z&=&9\\&&2y&-&5z&=&-17\\&&3y&-&8z&=&-27\end{array}}\\&{\xrightarrow[{}]{-(3/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&y&+&z&=&9\\&&2y&-&5z&=&-17\\&&&&-(1/2)z&=&-(3/2)\end{array}}\end{array}}$

表明 $z=3$，$y=-1$，以及 $x=7$。

如這些例子所示，高斯消元法使用基本行變換來設定回代。

定義 1.9

在每一行中，第一個具有非零係數的變數稱為該行的**主元變數**。如果每個主元變數都位於它上一行主元變數的右邊（第一行主元變數除外），則該系統處於**階梯形**。

例 1.10

上面的例子中唯一需要的操作是主元變換。下面是一個線性系統，它需要交換方程的操作。經過第一次主元變換

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&&&&&=&0\\2x&-&2y&+&z&+&2w&=&4\\&&y&&&+&w&=&0\\&&&&2z&+&w&=&5\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&&&&&=&0\\&&&&z&+&2w&=&4\\&&y&&&+&w&=&0\\&&&&2z&+&w&=&5\end{array}}\end{array}}$

第二個方程沒有主元變數 $y$。為了獲得一個，我們向下尋找系統中具有主元變數 $y$ 的行，並將其交換進來。

${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}\leftrightarrow \rho _{3}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&&&&&=&0\\&&y&&&+&w&=&0\\&&&&z&+&2w&=&4\\&&&&2z&+&w&=&5\end{array}}\end{array}}$

(如果第二行下面還有其他行以$y$開頭，我們可以交換其中任意一行。）高斯消元法的其他步驟與之前相同。

${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{3}+\rho _{4}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&&&&&=&0\\&&y&&&+&w&=&0\\&&&&z&+&2w&=&4\\&&&&&&-3w&=&-3\end{array}}\end{array}}$

回代得到$w=1$，$z=2$，$y=-1$，以及$x=-1$。

嚴格來說，對行進行縮放的操作並不是求解線性方程組所必需的。我們之所以包含它，是因為我們將在本章後面將其用作高斯消元法的一種變體，即高斯-若爾當消元法。

到目前為止，我們看到的線性方程組都具有與未知數數量相同的方程。這些方程組都有解，而且對於所有方程組，只有一個解。在本小節的最後，我們透過一些對比的情況，來了解其他可能出現的現象。

例 1.11

線性方程組不需要具有與未知數數量相同的方程。這個方程組

${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&3y&=&1\\2x&+&y&=&-3\\2x&+&2y&=&-2\end{array}}$

具有比變數更多的方程。高斯消元法有助於我們理解這個方程組，因為這個

${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{-2\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&3y&=&1\\&&-5y&=&-5\\&&-4y&=&-4\end{array}}\end{array}}$

表明其中一個方程是多餘的。階梯形

${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-(4/5)\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&3y&=&1\\&&-5y&=&-5\\&&0&=&0\end{array}}\end{array}}$

得出 $y=1$ 以及 $x=-2$。 “$0=0$” 是由冗餘推匯出來的。

該例子的系統方程數多於變數數。高斯消元法也適用於變數數多於方程數的系統。下一節將給出許多示例。

線性系統與之前示例的另一個區別在於一些線性系統沒有唯一解。這種情況以兩種方式出現。

第一種情況是它可能根本沒有解。

例 1.12

將上例中的系統與以下系統進行對比。

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&3y&=&1\\2x&+&y&=&-3\\2x&+&2y&=&0\end{array}}&{\xrightarrow[{-2\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&3y&=&1\\&&-5y&=&-5\\&&-4y&=&-2\end{array}}\end{array}}$

該系統是不一致的：沒有一對數字能同時滿足所有方程。梯形形式清楚地顯示了這種不一致性。

${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-(4/5)\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&3y&=&1\\&&-5y&=&-5\\&&0&=&2\end{array}}\end{array}}$

解集為空。

例 1.13

前面的系統方程數多於未知數，但這並非導致不一致的原因——例 1.11 中方程數多於未知數，但它是相容的。方程數多於未知數也不足以導致不一致，這一點可以透過以下具有相同方程數和未知數的不一致系統說明。

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&2y&=&8\\2x&+&4y&=&8\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&2y&=&8\\&&0&=&-8\end{array}}\end{array}}$

線性系統沒有唯一解的另一種情況是它有多個解。

例 1.14

在此係統中

${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&4\\2x&+&2y&=&8\end{array}}$

任何滿足第一個方程的數字對都會自動滿足第二個方程。解集 $\{(x,y)\,{\big |}\,x+y=4\}$ 是無限的；其中一些成員是 $(0,4)$, $(-1,5)$, 以及 $(2.5,1.5)$。在此應用高斯方法的結果與前面的例子形成對比，因為我們沒有得到矛盾的方程。

${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&4\\&&0&=&0\end{array}}\end{array}}$

不要被該例子中的“$0=0$”方程所迷惑。它不是系統具有多個解的訊號。

示例 1.15

沒有“$0=0$”並不意味著系統沒有許多不同的解。該系統處於階梯形式

${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&y&+&z&=&0\\&&y&+&z&=&0\end{array}}$

沒有“$0=0$”，但它有無窮多個解。（例如，以下每一個都是解：$(0,1,-1)$, $(0,1/2,-1/2)$, $(0,0,0)$, 以及 $(0,-\pi ,\pi )$。有無窮多個解，因為任何第一項為 $0$ 且第二項為第三項負數的三元組都是解。）

“$0=0$”的存在並不意味著該系統必須具有多個解。示例 1.11 說明了這一點。該系統也是如此，它沒有多個解——實際上它沒有解——儘管它在被帶到階梯形式時具有“$0=0$”行。

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&&&-&2z&=&6\\&&y&+&z&=&1\\2x&+&y&-&z&=&7\\&&3y&+&3z&=&0\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&&&-&2z&=&6\\&&y&+&z&=&1\\&&y&+&z&=&1\\&&3y&+&3z&=&0\end{array}}\\&{\xrightarrow[{-3\rho _{2}+\rho _{4}}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&&&-&2z&=&6\\&&y&+&z&=&1\\&&&&0&=&0\\&&&&0&=&-3\end{array}}\end{array}}$

我們將用本小節對我們迄今為止關於高斯消元法所學內容做一個總結。

高斯消元法使用三種行操作來將一個線性方程組設定為適合回代法。如果任何步驟顯示了一個矛盾的方程式，那麼我們可以停止，並得出結論，該線性方程組沒有解。如果我們在沒有矛盾方程式的的情況下達到階梯形矩陣，並且每個變數都是其所在行的主元變數，那麼該線性方程組只有一個解，我們可以透過回代法找到它。最後，如果我們在沒有矛盾方程式的的情況下達到階梯形矩陣，並且沒有唯一解（至少一個變數不是主元變數），那麼該線性方程組就有多個解。

下一小節將討論第三種情況——我們將看到如何描述具有多個解的線性方程組的解集。

習題

此練習建議所有讀者嘗試。

問題 1

使用高斯消元法求解以下每個線性方程組的唯一解。

1. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}2x&+&3y&=&13\\x&-&y&=&-1\end{array}}$
   

   
   

2. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&&&-&z&=&0\\3x&+&y&&&=&1\\-x&+&y&+&z&=&4\end{array}}$

此練習建議所有讀者嘗試。

問題 2

使用高斯消元法求解以下每個線性方程組，或得出結論“有多個解”或“無解”。

1. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}2x&+&2y&=&5\\x&-&4y&=&0\end{array}}$
   

   
   

2. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}-x&+&y&=&1\\x&+&y&=&2\end{array}}$
   

   
   

3. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&-&3y&+&z&=&1\\x&+&y&+&2z&=&14\end{array}}$
   

   
   

4. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}-x&-&y&=&1\\-3x&-&3y&=&2\end{array}}$
   

   
   

5. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}&&4y&+&z&=&20\\2x&-&2y&+&z&=&0\\x&&&+&z&=&5\\x&+&y&-&z&=&10\end{array}}$
   

   
   

6. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}2x&&&+&z&+&w&=&5\\&&y&&&-&w&=&-1\\3x&&&-&z&-&w&=&0\\4x&+&y&+&2z&+&w&=&9\end{array}}$

此練習建議所有讀者嘗試。

問題 3

除了高斯消元法之外，還有其他方法可以解線性方程組。高中通常會教的一種方法是解出其中一個方程中的一個變數，然後將所得的表示式代入其他方程。重複此步驟，直到得到一個只有一個變數的方程。由此可以得到解中的第一個數字，然後進行回代。這種方法比高斯消元法需要更長時間，因為它涉及更多算術運算，並且更容易導致錯誤。為了說明這種方法如何導致錯誤的結論，我們將使用這個方程組

${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&3y&=&1\\2x&+&y&=&-3\\2x&+&2y&=&0\end{array}}$

來自 示例 1.12。

1. 解出第一個方程中的 $x$ 並將該表示式代入第二個方程。找到所得的 $y$。
2. 再次解出第一個方程中的 $x$，但這次將該表示式代入第三個方程。找到這個 $y$。

使用這種方法的使用者必須採取什麼額外的步驟才能避免錯誤地得出方程組有解的結論？

此練習建議所有讀者嘗試。

問題 4

對於哪些值 $k$，這個方程組沒有解、有無數個解或有唯一解？

${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&-&y&=&1\\3x&-&3y&=&k\end{array}}$

此練習建議所有讀者嘗試。

問題 5

這個方程組在某種程度上是非線性的，

${\begin{array}{*{3}{rc}r}2\sin \alpha &-&\cos \beta &+&3\tan \gamma &=&3\\4\sin \alpha &+&2\cos \beta &-&2\tan \gamma &=&10\\6\sin \alpha &-&3\cos \beta &+&\tan \gamma &=&9\end{array}}$

但我們仍然可以應用高斯消元法。請這樣做。這個方程組有解嗎？

此練習建議所有讀者嘗試。

問題 6

為了使這些方程組都存在解，常數 $b$ 必須滿足什麼條件？提示：應用高斯消元法，看看右側發生了什麼（Anton 1987）。

1. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&-&3y&=&b_{1}\\3x&+&y&=&b_{2}\\x&+&7y&=&b_{3}\\2x&+&4y&=&b_{4}\end{array}}$
   

   
   

2. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}x_{1}&+&2x_{2}&+&3x_{3}&=&b_{1}\\2x_{1}&+&5x_{2}&+&3x_{3}&=&b_{2}\\x_{1}&&&+&8x_{3}&=&b_{3}\end{array}}$

問題 7

判斷對錯：一個未知數個數多於方程個數的方程組至少有一個解。（像往常一樣，要證明“正確”，你需要證明它，而要證明“錯誤”，你需要提供一個反例。）

問題 8

任何像本節開頭的平衡反應問題這樣的化學問題是否一定有無窮多個解？

此練習建議所有讀者嘗試。

問題 9

求係數$a$, $b$, 和 $c$ 使得 $f(x)=ax^{2}+bx+c$ 的影像經過點 $(1,2)$, $(-1,6)$, 和 $(2,3)$.

問題 10

高斯消元法透過組合方程組中的方程來生成新的方程。

1. 方程$3x-2y=5$ 可以透過一系列高斯消元步驟，從這個方程組中的方程推匯出來嗎？

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&1\\4x&-&y&=&6\end{array}}$

2. 方程$5x-3y=2$ 可以透過一系列高斯消元步驟，從這個方程組中的方程推匯出來嗎？

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}2x&+&2y&=&5\\3x&+&y&=&4\end{array}}$

3. 方程式 $6x-9y+5z=-2$ 能否透過一系列高斯消元步驟從該系統的方程式推匯出？

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&+&y&-&z&=&4\\6x&-&3y&+&z&=&5\end{array}}$

問題 11

證明：當 $a,b,\ldots ,e$ 為實數且 $a\neq 0$ 時，如果

$ax+by=c$

與

$ax+dy=e$

具有相同的解集，那麼它們是同一個方程式。如果 $a=0$ 呢？

此練習建議所有讀者嘗試。

問題 12

證明：如果 $ad-bc\neq 0$，那麼

${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&by&=&j\\cx&+&dy&=&k\end{array}}$

有唯一解。

此練習建議所有讀者嘗試。

問題 13

在系統

${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&by&=&c\\dx&+&ey&=&f\end{array}}$

中，每個方程式在 $xy$ 平面中描述一條直線。通過幾何推理，證明存在三種可能性：存在唯一解，不存在解和存在無限多個解。

問題 14

完成 定理 1.4 的證明。

問題 15

是否存在一個二元線性系統，其解集是整個 $\mathbb {R} ^{2}$？

此練習建議所有讀者嘗試。

問題 16

高斯消元法中使用的任何操作都是多餘的嗎？也就是說，任何操作都可以從其他操作合成嗎？

問題 17

證明：高斯消元法的每個操作都是可逆的。也就是說，證明：如果兩個系統透過行操作 $S_{1}\rightarrow S_{2}$ 相關聯，那麼存在一個行操作可以返回 $S_{2}\rightarrow S_{1}$。

? 問題 18

一個裝有便士、鎳幣和角分的盒子包含 13 個硬幣，總價值為 $83$ 美分。盒子裡每種硬幣有多少枚？(Anton 1987)

? 問題 19

給出四個正整數。選擇其中任意三個整數，求其算術平均值，並將此結果加到第四個整數上。這樣就得到了數字 29、23、21 和 17。其中一個原始整數是

1. 19
2. 21
3. 23
4. 29
5. 17

(Salkind 1975，1955 年問題 38)

此練習建議所有讀者嘗試。

? 問題 20

看看這個：${\mbox{AHAHA}}+{\mbox{TEHE}}={\mbox{TEHAW}}$。它是將一個簡單的加法例子中的每個數字替換成一個程式碼字母得到的，要求識別這些字母並證明解的唯一性（Ransom & Gupta 1935）。

? 問題 21

Wohascum 縣委員會共有 20 名成員，最近需要選舉一名主席。共有三名候選人（$A$，$B$，和$C$）；每張選票都必須按優先順序列出三名候選人，不得棄權。發現有 11 名成員（多數）更喜歡 $A$ 比 $B$ （因此其他 9 名成員更喜歡 $B$ 比 $A$）。同樣，發現有 12 名成員更喜歡 $C$ 比 $A$。根據這些結果，有人建議 $B$ 應該退出，以便在 $A$ 和 $C$ 之間進行決選。然而，$B$ 抗議，之後發現有 14 名成員更喜歡 $B$ 比 $C$！委員會還沒有從由此產生的混亂中恢復過來。鑑於 $A$，$B$，$C$ 的每種可能順序至少出現在一張選票上，有多少名成員投票給 $B$ 作為他們的首選（Gilbert, Krusemeyer & Larson 1993，問題編號 2）？

? 問題 22

"這個有 $n$ 個未知數的 $n$ 個線性方程組，”偉大的數學家說，“它有一個奇特的性質。”

"天哪！"可憐的堅果說，“是什麼？”

"注意，”偉大的數學家說，“常數是等差數列。”

"當你解釋的時候，一切都變得如此清晰！"可憐的堅果說，“你是說像 $6x+9y=12$ 和 $15x+18y=21$ 這樣嗎？”

"沒錯，”偉大的數學家說著，拿出了他的巴松管。“事實上，即使更大的系統也能被解決，無論它們的級數如何。你能找到它們的解嗎？”

"天哪！"可憐的堅果喊道，“我被難住了。”

是嗎？（Dudley, Lebow & Rothman 1963)

解決方案

參考文獻

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra, John Wiley & Sons.
• Dudley, Underwood (proposer); Lebow, Arnold (proposer); Rothman, David (solver) (1963), "Elemantary problem 1151", American Mathematical Monthly, 70 (1): 93 {{citation}}: 未知引數 |month= 被忽略 (幫助).
• Gilbert, George T.; Krusemeyer, Mark; Larson, Loren C. (1993), The Wohascum County Problem Book, The Mathematical Association of America.
• Ransom, W. R. (proposer); Gupta, Hansraj (solver) (1935), "Elementary problem 105", American Mathematical Monthly, 42 (1): 47 {{citation}}: 未知引數 |month= 被忽略 (幫助).
• Salkind, Charles T. (1975), Contest Problem Book No 1: Annual High School Mathematics Examinations 1950-1960.