線性代數/高斯消元法/解

解

建議所有讀者練習此題。

問題 1

使用高斯消元法求解每個系統的唯一解。

1. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}2x&+&3y&=&13\\x&-&y&=&-1\end{array}}$
   
   
2. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&&&-&z&=&0\\3x&+&y&&&=&1\\-x&+&y&+&z&=&4\end{array}}$

答案

高斯消元法可以以不同的方式執行，所以這些只是展示了一種獲得答案的可能方法。

1. 高斯消元法

   ${\xrightarrow[{}]{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}2x&+&3y&=&13\\&-&(5/2)y&=&-15/2\end{array}}$

   得到解為 $y=3$ 和 $x=2$.
2. 這裡的高斯消元法

   ${\xrightarrow[{\rho _{1}+\rho _{3}}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&&&-&z&=&0\\&&y&+&3z&=&1\\&&y&&&=&4\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&&&-&z&=&0\\&&y&+&3z&=&1\\&&&&-3z&=&3\end{array}}$

   得到 $x=-1$，$y=4$，和 $z=-1$.

建議所有讀者練習此題。

問題 2

使用高斯消元法求解每個系統，或得出“多個解”或“無解”的結論。

1. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}2x&+&2y&=&5\\x&-&4y&=&0\end{array}}$
2. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}-x&+&y&=&1\\x&+&y&=&2\end{array}}$
3. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&-&3y&+&z&=&1\\x&+&y&+&2z&=&14\end{array}}$
4. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}-x&-&y&=&1\\-3x&-&3y&=&2\end{array}}$
5. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}&&4y&+&z&=&20\\2x&-&2y&+&z&=&0\\x&&&+&z&=&5\\x&+&y&-&z&=&10\end{array}}$
6. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}2x&&&+&z&+&w&=&5\\&&y&&&-&w&=&-1\\3x&&&-&z&-&w&=&0\\4x&+&y&+&2z&+&w&=&9\end{array}}$

答案

1. 高斯消元法

   ${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}2x&+&2y&=&5\\&&-5y&=&-5/2\end{array}}\end{array}}$

   表明 $y=1/2$ 並且 $x=2$ 是唯一的解。
2. 高斯消元法

   ${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}-x&+&y&=&1\\&&2y&=&3\end{array}}\end{array}}$

   得到 $y=3/2$ 和 $x=1/2$ 作為唯一解。
3. 行變換

   ${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&-&3y&+&z&=&1\\&&4y&+&z&=&13\end{array}}\end{array}}$

   表明，因為變數 $z$ 不是任何行的主元變數，所以存在無限多個解。
4. 行變換

   ${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}-x&-&y&=&1\\&&0&=&-1\end{array}}\end{array}}$

   表明不存在解。
5. 高斯消元法

   ${\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{4}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&y&-&z&=&10\\2x&-&2y&+&z&=&0\\x&&&+&z&=&5\\&&4y&+&z&=&20\end{array}}\;{\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&y&-&z&=&10\\&&-4y&+&3z&=&-20\\&&-y&+&2z&=&-5\\&&4y&+&z&=&20\end{array}}\;{\xrightarrow[{\rho _{2}+\rho _{4}}]{-(1/4)\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&y&-&z&=&10\\&&-4y&+&3z&=&-20\\&&&&(5/4)z&=&0\\&&&&4z&=&0\end{array}}$

   給出唯一解 $(x,y,z)=(5,5,0)$.
6. 這裡高斯消元法給出

   ${\xrightarrow[{-2\rho _{1}+\rho _{4}}]{-(3/2)\rho _{1}+\rho _{3}}}\;{\begin{array}{*{4}{rc}r}2x&&&+&z&+&w&=&5\\&&y&&&-&w&=&-1\\&&&-&(5/2)z&-&(5/2)w&=&-15/2\\&&y&&&-&w&=&-1\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{4}}}\;{\begin{array}{*{4}{rc}r}2x&&&+&z&+&w&=&5\\&&y&&&-&w&=&-1\\&&&-&(5/2)z&-&(5/2)w&=&-15/2\\&&&&&&0&=&0\end{array}}$

   這表明存在許多解。

建議所有讀者練習此題。

問題 3

除了高斯消元法之外，還有其他方法可以用來解線性方程組。在高中時，一種常見的解法是解出其中一個方程中的某個變數，然後將得到的表示式代入其他方程。重複此步驟，直到得到一個只含有一個變數的方程。由此，可以得到解的第一個數字，然後進行回代。這種方法比高斯消元法花費的時間更長，因為它涉及更多的算術運算，也更容易出錯。為了說明這種方法如何導致錯誤的結論，我們將使用以下方程組：

${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&3y&=&1\\2x&+&y&=&-3\\2x&+&2y&=&0\end{array}}$

來自示例 1.12。

1. 解第一個方程求 $x$ 並將該表示式代入第二個方程。找到結果 $y$.
2. 再次解第一個方程求 $x$，但這次將該表示式代入第三個方程。找到這個 $y$.

使用此方法的使用者必須採取哪些額外的步驟來避免錯誤地得出方程組有解的結論？

答案

1. 從 $x=1-3y$ 我們得到 $2(1-3y)+y=-3$，得到 $y=1$.
2. 從 $x=1-3y$ 我們得到 $2(1-3y)+2y=0$，導致得出結論 $y=1/2$.

使用這種方法的使用者必須將所有可能的解代回所有方程中進行檢驗。

建議所有讀者練習此題。

問題 4

對於哪些 $k$ 的值，此方程組沒有解、有無數個解，還是有唯一解？

${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&-&y&=&1\\3x&-&3y&=&k\end{array}}$

答案

進行以下化簡

${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&-&y&=&1\\&&0&=&-3+k\end{array}}\end{array}}$

得出結論，如果 $k\neq 3$，則此方程組無解；如果 $k=3$，則此方程組有無窮多個解。它永遠不會有唯一解。

建議所有讀者練習此題。

問題 5

從某種意義上說，此方程組不是線性的，

${\begin{array}{*{3}{rc}r}2\sin \alpha &-&\cos \beta &+&3\tan \gamma &=&3\\4\sin \alpha &+&2\cos \beta &-&2\tan \gamma &=&10\\6\sin \alpha &-&3\cos \beta &+&\tan \gamma &=&9\end{array}}$

儘管如此，我們仍然可以應用高斯消元法。請進行操作，該系統是否有解？

答案

令 $x=\sin \alpha$，$y=\cos \beta$，以及 $z=\tan \gamma$

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&-&y&+&3z&=&3\\4x&+&2y&-&2z&=&10\\6x&-&3y&+&z&=&9\end{array}}&{\xrightarrow[{-3\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&-&y&+&3z&=&3\\&&4y&-&8z&=&4\\&&&&-8z&=&0\end{array}}\end{array}}$

得到 $z=0$，$y=1$，以及 $x=2$。請注意，沒有 $\alpha$ 滿足該要求。

建議所有讀者練習此題。

問題 6

為了使這些系統中的每一個都存在解，常數 $b$ 必須滿足什麼條件？提示 應用高斯消元法，看看右側發生了什麼 (Anton 1987)。

1. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&-&3y&=&b_{1}\\3x&+&y&=&b_{2}\\x&+&7y&=&b_{3}\\2x&+&4y&=&b_{4}\end{array}}$
2. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}x_{1}&+&2x_{2}&+&3x_{3}&=&b_{1}\\2x_{1}&+&5x_{2}&+&3x_{3}&=&b_{2}\\x_{1}&&&+&8x_{3}&=&b_{3}\end{array}}$

答案

1. 高斯消元法

   ${\xrightarrow[{\begin{array}{c}\\[-19pt]\scriptstyle -\rho _{1}+\rho _{3}\\[-5pt]\scriptstyle -2\rho _{1}+\rho _{4}\end{array}}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&-&3y&=&b_{1}\\&&10y&=&-3b_{1}+b_{2}\\&&10y&=&-b_{1}+b_{3}\\&&10y&=&-2b_{1}+b_{4}\end{array}}\;{\xrightarrow[{-\rho _{2}+\rho _{4}}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&-&3y&=&b_{1}\\&&10y&=&-3b_{1}+b_{2}\\&&0&=&2b_{1}-b_{2}+b_{3}\\&&0&=&b_{1}-b_{2}+b_{4}\end{array}}$

   表明該系統僅當 $b_{3}=-2b_{1}+b_{2}$ 且 $b_{4}=-b_{1}+b_{2}$ 時才一致。
2. 化簡

   ${\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}x_{1}&+&2x_{2}&+&3x_{3}&=&b_{1}\\&&x_{2}&-&3x_{3}&=&-2b_{1}+b_{2}\\&&-2x_{2}&+&5x_{3}&=&-b_{1}+b_{3}\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{2\rho _{2}+\rho _{3}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}x_{1}&+&2x_{2}&+&3x_{3}&=&b_{1}\\&&x_{2}&-&3x_{3}&=&-2b_{1}+b_{2}\\&&&&-x_{3}&=&-5b_{1}++2b_{2}+b_{3}\end{array}}$

   表明每個 $b_{1}$，$b_{2}$ 和 $b_{3}$ 都可以是任何實數——這個系統總是有唯一的解。

問題 7

判斷真假：未知數多於方程式的系統至少有一個解。 (如往常一樣，要說是“真”，你必須證明它，而要說是“假”，你必須提供一個反例。)

答案

這個未知數多於方程式的系統

${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&y&+&z&=&0\\x&+&y&+&z&=&1\end{array}}$

無解。

問題 8

任何像本小節開頭的平衡反應問題這樣的化學問題都必須有無數個解嗎？

答案

是的。例如，同一個反應可以在兩個不同的燒瓶中進行的事實表明，任何解的兩倍都是另一個不同的解（如果發生物理反應，那麼至少要有一個非零解）。

建議所有讀者練習此題。

問題 9

找到係數 $a$、$b$ 和 $c$，使得函式 $f(x)=ax^{2}+bx+c$ 的影像經過點 $(1,2)$、$(-1,6)$ 和 $(2,3)$。

答案

因為 $f(1)=2$、$f(-1)=6$ 和 $f(2)=3$，我們得到一個線性方程組。

${\begin{array}{*{3}{rc}r}1a&+&1b&+&c&=&2\\1a&-&1b&+&c&=&6\\4a&+&2b&+&c&=&3\end{array}}$

高斯消元法

${\begin{array}{rcl}{\xrightarrow[{-4\rho _{1}+\rho _{2}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}a&+&b&+&c&=&2\\&&-2b&&&=&4\\&&-2b&-&3c&=&-5\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}a&+&b&+&c&=&2\\&&-2b&&&=&4\\&&&&-3c&=&-9\end{array}}\end{array}}$

表明解是 $f(x)=1x^{2}-2x+3$。

問題 10

高斯消元法透過對方程組中的方程進行組合來生成新的方程。

1. 方程 $3x-2y=5$ 能否透過一系列高斯消元步驟從該方程組中的方程推匯出來？

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&1\\4x&-&y&=&6\end{array}}$

2. 方程 $5x-3y=2$ 能否透過一系列高斯消元步驟從該方程組中推匯出來？

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}2x&+&2y&=&5\\3x&+&y&=&4\end{array}}$

3. 方程 $6x-9y+5z=-2$ 能否透過一系列高斯消元步驟從該方程組中推匯出來？

   ${\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&+&y&-&z&=&4\\6x&-&3y&+&z&=&5\end{array}}$

答案

1. 是的，透過觀察，給定方程來自 $-\rho _{1}+\rho _{2}$.
2. 否。給定方程被對 $(1,1)$ 滿足。但是，該對不滿足方程組中的第一個方程。
3. 是的。要檢視給定行是否為 $c_{1}\rho _{1}+c_{2}\rho _{2}$，求解關於 $x$、$y$、$z$ 以及常數的係數的方程組

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}2c_{1}&+&6c_{2}&=&6\\c_{1}&-&3c_{2}&=&-9\\-c_{1}&+&c_{2}&=&5\\4c_{1}&+&5c_{2}&=&-2\end{array}}$

   並得到 $c_{1}=-3$ 和 $c_{2}=2$，所以給定行是 $-3\rho _{1}+2\rho _{2}$.

問題 11

證明，當 $a,b,\ldots ,e$ 是實數，並且 $a\neq 0$，如果

$ax+by=c$

與

$ax+dy=e$

具有相同的解集，那麼它們是同一個方程。如果 $a=0$ 會怎樣？

答案

如果 $a\neq 0$，那麼第一個方程的解集為 $\{(x,y)\,{\big |}\,x=(c-by)/a\}$。令 $y=0$，得到解 $(c/a,0)$，由於第二個方程應該有相同的解集，所以代入得到 $a(c/a)+d\cdot 0=e$，所以 $c=e$。然後令 $y=1$ 代入 $x=(c-by)/a$，得到 $a((c-b)/a)+d\cdot 1=e$，從而得到 $b=d$。因此，它們是同一個方程。

當 $a=0$ 時，方程可以不同但仍然有相同的解集：例如，$0x+3y=6$ 和 $0x+6y=12$。

建議所有讀者練習此題。

問題 12

證明，如果 $ad-bc\neq 0$ 那麼

${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&by&=&j\\cx&+&dy&=&k\end{array}}$

有唯一解。

答案

我們分三種情況討論：當 $a\neq 0$，當 $a=0$ 且 $c\neq 0$，以及當 $a=0$ 且 $c=0$。

對於第一種情況，我們假設 $a\neq 0$。那麼化簡後得到

${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-(c/a)\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&by&=&j\\&&(-{\frac {cb}{a}}+d)y&=&-{\frac {cj}{a}}+k\end{array}}\end{array}}$

表明該系統有唯一解當且僅當 $-(cb/a)+d\neq 0$；記住 $a\neq 0$，所以回代可以得到唯一的一個 $x$（順便觀察一下，$j$ 和 $k$ 對結論是否有唯一解沒有影響，雖然如果存在唯一解，那麼它們會影響解的值）。但是 $-(cb/a)+d=(ad-bc)/a$，分數不等於 $0$ 當且僅當它的分子不等於 $0$。因此，在第一種情況下，有唯一解當且僅當 $ad-bc\neq 0$。

在第二種情況下，如果 $a=0$ 但 $c\neq 0$，則交換

${\begin{array}{*{2}{rc}r}cx&+&dy&=&k\\&&by&=&j\end{array}}$

得出結論，當且僅當 $b\neq 0$ 時，該系統具有唯一解（我們使用 $c\neq 0$ 的情況假設，以獲得唯一 $x$ 進行回代)。 但是，在 $a=0$ 且 $c\neq 0$ 時，條件 "$b\neq 0$" 等價於條件 "$ad-bc\neq 0$"。 這就完成了第二種情況。

最後，對於第三種情況，如果 $a$ 和 $c$ 都是 $0$，則該系統

${\begin{array}{*{2}{rc}r}0x&+&by&=&j\\0x&+&dy&=&k\end{array}}$

可能無解（如果第二個方程不是第一個方程的倍數），也可能具有無窮多個解（如果第二個方程是第一個方程的倍數，則對於滿足兩個方程的每個 $y$，任何對 $(x,y)$ 都可以），但它永遠不會有唯一解。 注意，$a=0$ 且 $c=0$ 導致 $ad-bc=0$.

建議所有讀者練習此題。

問題 13

在系統

${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&by&=&c\\dx&+&ey&=&f\end{array}}$

每個方程都在 $xy$-平面上描述了一條直線。通過幾何推理，證明存在三種可能性：存在唯一解，不存在解，存在無窮多解。

答案

回想一下，如果一對直線共享兩個不同的點，那麼它們是同一條直線。這是因為兩點確定一條直線，所以這兩個點確定了這兩條直線中的每一條，因此它們是同一條直線。

因此，直線可以共享一個點（給出唯一解），不共享任何點（給出無解），或至少共享兩個點（這使得它們是同一條直線）。

問題 14

完成對 定理 1.4 的證明。

答案

對於將 $\rho _{i}$ 乘以非零實數 $k$ 的約簡操作，我們有 $(s_{1},\ldots ,s_{n})$ 滿足該系統

${\begin{array}{*{4}{rc}r}a_{1,1}x_{1}&+&a_{1,2}x_{2}&+&\cdots &+&a_{1,n}x_{n}&=&d_{1}\\&&&&&&&\vdots \\ka_{i,1}x_{1}&+&ka_{i,2}x_{2}&+&\cdots &+&ka_{i,n}x_{n}&=&kd_{i}\\&&&&&&&\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+&a_{m,2}x_{2}&+&\cdots &+&a_{m,n}x_{n}&=&d_{m}\end{array}}$

當且僅當

${\begin{array}{rl}a_{1,1}s_{1}+a_{1,2}s_{2}+\cdots +a_{1,n}s_{n}&=d_{1}\\&\vdots \\{\text{and }}ka_{i,1}s_{1}+ka_{i,2}s_{2}+\cdots +ka_{i,n}s_{n}&=kd_{i}\\&\vdots \\{\text{and }}a_{m,1}s_{1}+a_{m,2}s_{2}+\cdots +a_{m,n}s_{n}&=d_{m}\end{array}}$

根據“滿足”的定義。但是，因為 $k\neq 0$，這在當且僅當

${\begin{array}{rl}a_{1,1}s_{1}+a_{1,2}s_{2}+\cdots +a_{1,n}s_{n}&=d_{1}\\&\vdots \\{\text{and }}a_{i,1}s_{1}+a_{i,2}s_{2}+\cdots +a_{i,n}s_{n}&=d_{i}\\&\vdots \\{\text{and }}a_{m,1}s_{1}+a_{m,2}s_{2}+\cdots +a_{m,n}s_{n}&=d_{m}\end{array}}$

(這在$i$方程的兩邊直接約去) 是顯而易見的，這說明 $(s_{1},\ldots ,s_{n})$ 是方程組的解。

${\begin{array}{*{4}{rc}r}a_{1,1}x_{1}&+&a_{1,2}x_{2}&+&\cdots &+&a_{1,n}x_{n}&=&d_{1}\\&&&&&&&\vdots \\a_{i,1}x_{1}&+&a_{i,2}x_{2}&+&\cdots &+&a_{i,n}x_{n}&=&d_{i}\\&&&&&&&\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+&a_{m,2}x_{2}&+&\cdots &+&a_{m,n}x_{n}&=&d_{m}\end{array}}$

正如所要求的。

對於樞軸操作 $k\rho _{i}+\rho _{j}$，我們有 $(s_{1},\ldots ,s_{n})$ 滿足

${\begin{array}{*{4}{rc}r}a_{1,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{1,n}x_{n}&=&d_{1}\\&&&&&\vdots \\a_{i,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{i,n}x_{n}&=&d_{i}\\&&&&&\vdots \\(ka_{i,1}+a_{j,1})x_{1}&+&\cdots &+&(ka_{i,n}+a_{j,n})x_{n}&=&kd_{i}+d_{j}\\&&&&&\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{m,n}x_{n}&=&d_{m}\end{array}}$

當且僅當

${\begin{array}{rl}a_{1,1}s_{1}+\cdots +a_{1,n}s_{n}&=d_{1}\\&\vdots \\{\text{and }}a_{i,1}s_{1}+\cdots +a_{i,n}s_{n}&=d_{i}\\&\vdots \\{\text{and }}(ka_{i,1}+a_{j,1})s_{1}+\cdots +(ka_{i,n}+a_{j,n})s_{n}&=kd_{i}+d_{j}\\&\vdots \\{\text{and }}a_{m,1}s_{1}+a_{m,2}s_{2}+\cdots +a_{m,n}s_{n}&=d_{m}\end{array}}$

根據“滿足”的定義，從第 $j$ 個等式中減去 $k$ 倍的第 $i$ 個等式（注：這裡需要 $i\neq j$ ；如果 $i=j$ ，則上面兩個 $d_{i}$ 不相等），得到前述複合語句成立當且僅當

${\begin{array}{rl}a_{1,1}s_{1}+\cdots +a_{1,n}s_{n}&=d_{1}\\&\vdots \\{\text{and }}a_{i,1}s_{1}+\cdots +a_{i,n}s_{n}&=d_{i}\\&\vdots \\{\text{and }}(ka_{i,1}+a_{j,1})s_{1}+\cdots +(ka_{i,n}+a_{j,n})s_{n}\\\quad -(ka_{i,1}s_{1}+\cdots +ka_{i,n}s_{n})&=kd_{i}+d_{j}-kd_{i}\\&\vdots \\{\text{and }}a_{m,1}s_{1}+\cdots +a_{m,n}s_{n}&=d_{m}\end{array}}$

哪個，在取消後，說$(s_{1},\ldots ,s_{n})$ 解決

${\begin{array}{*{4}{rc}r}a_{1,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{1,n}x_{n}&=&d_{1}\\&&&&&\vdots \\a_{i,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{i,n}x_{n}&=&d_{i}\\&&&&&\vdots \\a_{j,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{j,n}x_{n}&=&d_{j}\\&&&&&\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{m,n}x_{n}&=&d_{m}\end{array}}$

正如所要求的。

問題 15

是否存在一個解集為整個$\mathbb {R} ^{2}$ 的二元一次方程組？

答案

是的，這個一元一次方程組

$0x+0y=0$

由每個 $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ 滿足。

建議所有讀者練習此題。

問題 16

高斯消元法中使用的任何運算都是多餘的嗎？也就是說，任何運算都可以由其他運算合成嗎？

答案

是的。這一步運算交換了行$i$ 和$j$

${\xrightarrow[{}]{\rho _{i}+\rho _{j}}}\quad {\xrightarrow[{}]{-\rho _{j}+\rho _{i}}}\quad {\xrightarrow[{}]{\rho _{i}+\rho _{j}}}\quad {\xrightarrow[{}]{-1\rho _{i}}}$

因此，在其他兩個運算存在的情況下，行交換運算是多餘的。

問題 17

證明高斯消元法的每個運算都是可逆的。也就是說，顯示如果兩個系統透過一個行運算$S_{1}\rightarrow S_{2}$ 相關聯，則存在一個行運算可以返回$S_{2}\rightarrow S_{1}$。

答案

交換行由交換回來逆轉。

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{3}{rc}r}a_{1,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{1,n}x_{n}&=&d_{1}\\&&&&&\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{m,n}x_{n}&=&d_{m}\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{\rho _{i}\leftrightarrow \rho _{j}}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{j}\leftrightarrow \rho _{i}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}a_{1,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{1,n}x_{n}&=&d_{1}\\&&&&&\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{m,n}x_{n}&=&d_{m}\end{array}}\end{array}}$

將一行兩邊都乘以$k\neq 0$ 可以透過除以$k$ 來逆轉。

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{3}{rc}r}a_{1,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{1,n}x_{n}&=&d_{1}\\&&&&&\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{m,n}x_{n}&=&d_{m}\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}}}\;{\xrightarrow[{}]{(1/k)\rho _{i}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}a_{1,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{1,n}x_{n}&=&d_{1}\\&&&&&\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{m,n}x_{n}&=&d_{m}\end{array}}\end{array}}$

將一行乘以$k$ 並加到另一行，可以透過將該行乘以$-k$ 來逆轉。

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{3}{rc}r}a_{1,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{1,n}x_{n}&=&d_{1}\\&&&&&\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{m,n}x_{n}&=&d_{m}\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}+\rho _{j}}}\;{\xrightarrow[{}]{-k\rho _{i}+\rho _{j}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}a_{1,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{1,n}x_{n}&=&d_{1}\\&&&&&\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+&\cdots &+&a_{m,n}x_{n}&=&d_{m}\end{array}}\end{array}}$

備註：觀察第三種情況，如果我們允許 $i=j$，那麼結果將不成立。

${\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&+&2y&=&7\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{2\rho _{1}+\rho _{1}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}9x&+&6y&=&21\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{1}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}-9x&-&6y&=&-21\end{array}}$

？ 問題 18

一個裝有便士、鎳幣和一角硬幣的盒子，裡面有 13 個硬幣，總價值為 $83$ 美分。盒子裡每種硬幣有多少個？ (Anton 1987)

答案

設 $p$、$n$ 和 $d$ 分別代表便士、鎳幣和一角硬幣的數量。對於作為實數的變數，這個系統

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{3}{rc}r}p&+&n&+&d&=&13\\p&+&5n&+&10d&=&83\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}p&+&n&+&d&=&13\\&&4n&+&9d&=&70\end{array}}\end{array}}$

有無窮多個解。但是，只有有限多個解，其中$p$、$n$ 和 $d$ 是非負整數。遍歷 $d=0$，...，$d=8$ 表明 $(p,n,d)=(3,4,6)$ 是唯一合理的解。

? 問題 19

給出四個正整數。選擇其中三個整數，找到它們的算術平均值，並將該結果加到第四個整數上。因此，得到數字 29、23、21 和 17。一個原始整數是

1. 19
2. 21
3. 23
4. 29
5. 17

(Salkind 1975, 1955 年問題 38)

答案

求解系統

${\begin{array}{*{2}{rc}r}(1/3)(a+b+c)&+&d&=&29\\(1/3)(b+c+d)&+&a&=&23\\(1/3)(c+d+a)&+&b&=&21\\(1/3)(d+a+b)&+&c&=&17\end{array}}$

我們得到 $a=12$、$b=9$、$c=3$、$d=21$。因此，第二項 21 是正確答案。

建議所有讀者練習此題。

? 問題 20

嘲笑一下這個：${\mbox{AHAHA}}+{\mbox{TEHE}}={\mbox{TEHAW}}$。它是透過用一個程式碼字母替換簡單加法例題中每個數字的數字而得到的，需要識別這些字母並證明解是唯一的 (Ransom & Gupta 1935)。

答案

這是答案在引用的來源中給出的方式。

比較該加法算式中個位和百位的數字，可以看出十位數必須進位。然後，十位數告訴我們 $A<H$，因此個位和百位不可能進位。那麼，這五個數字列可以得到以下五個等式。

${\begin{array}{rl}A+E&=W\\2H&=A+10\\H&=W+1\\H+T&=E+10\\A+1&=T\end{array}}$

如果同時解這五個未知數的五個線性方程，可以得到唯一的解：$A=4$，$T=5$，$H=7$，$W=6$ 和 $E=2$，因此原始加法的例子是 $47474+5272=52746$.

? 問題 21

沃哈斯庫姆縣委員會由 20 名成員組成，最近需要選舉主席。共有三位候選人 ($A$, $B$, 和 $C$)；在每張選票上，三位候選人都要按優先順序排列，不得棄權。結果發現，11 名成員（多數）更喜歡 $A$ 勝過 $B$（因此，其餘 9 人更喜歡 $B$ 勝過 $A$）。同樣，結果還發現，12 名成員更喜歡 $C$ 勝過 $A$。鑑於這些結果，有人建議 $B$ 應該退出，以便在 $A$ 和 $C$ 之間進行決選。然而，$B$ 提出抗議，隨後發現，14 名成員更喜歡 $B$ 勝過 $C$！委員會至今尚未從由此造成的混亂中恢復過來。鑑於 $A$, $B$, $C$ 的所有可能排列順序至少在一張選票上出現，有多少名成員將 $B$ 作為首選投票（吉爾伯特、克魯斯邁耶和拉森 1993，問題編號 2）？

答案

這是答案在引用的來源中給出的方式。

八名委員投票支援 $B$。為了證明這一點，我們將利用給定的資訊來研究有多少投票者選擇了每個 $A$、$B$、$C$的順序。

六個優先順序是： $ABC$、$ACB$、$BAC$、$BCA$、$CAB$、$CBA$；假設它們分別收到 $a$、$b$、$c$、$d$、$e$、$f$票。我們知道

${\begin{array}{*{3}{rc}r}a&+&b&+&e&=&11\\d&+&e&+&f&=&12\\a&+&c&+&d&=&14\end{array}}$

從喜歡 $A$ 超過 $B$ 的人數中，喜歡 $C$ 超過 $A$ 的人數，以及喜歡 $B$ 超過 $C$ 的人數。由於共計 20 票，我們也知道

${\begin{array}{*{3}{rc}r}c&+&d&+&f&=&9\\a&+&b&+&c&=&8\\b&+&e&+&f&=&6\end{array}}$

從喜歡 $B$ 超過 $A$ 的偏好中，對於 $A$ 超過 $C$ 的偏好，以及對於 $C$ 超過 $B$ 的偏好。

解為 $a=6$，$b=1$，$c=1$，$d=7$，$e=4$ 和 $f=1$。因此，將 $B$ 作為首選投票的委員人數為 $c+d=1+7=8$。

評論。 如果我們只知道 至少 14 位委員更喜歡 $B$ 超過 $C$，這個問題的答案將相同。

評委偏好的看似矛盾的本質（$A$優於$B$，$B$優於$C$，$C$優於$A$），這種“非傳遞優勢”的例子在彙總個人選擇時並不少見。

？ 問題 22

“這個包含$n$個線性方程和$n$個未知數的系統，”偉大的數學家說，“有一個奇妙的性質。”

“天哪！”可憐的堅果說，“是什麼？”

“請注意，”偉大的數學家說，“常數是算術級數。”

“當你解釋的時候，一切都如此清楚！”可憐的堅果說。“你是指像$6x+9y=12$和$15x+18y=21$這樣嗎？”

“沒錯，”偉大的數學家說著，掏出他的大提琴。“事實上，這個系統有一個唯一的解。你能找到它嗎？”

“天哪！”可憐的堅果喊道，“我感到困惑。”

你呢？ (Dudley, Lebow & Rothman 1963)

答案

這是答案在引用的來源中給出的方式。

我們還沒有使用“依賴”這個詞；這裡它意味著高斯方法表明沒有唯一的解。如果$n\geq 3$，則該系統是依賴的，解不唯一。因此$n<3$。但“系統”這個詞意味著$n>1$。因此$n=2$。如果這些方程是

${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&(a+d)y&=&a+2d\\(a+3d)x&+&(a+4d)y&=&a+5d\end{array}}$

那麼$x=-1$，$y=2$。

參考資料

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra, John Wiley & Sons.
• Dudley, Underwood（提出者）；Lebow, Arnold（提出者）；Rothman, David（解題者）（1963），“Elemantary problem 1151”，American Mathematical Monthly，70（1）：93 {{citation}}: 未知引數 |month= 被忽略 (幫助).
• Gilbert, George T.；Krusemeyer, Mark；Larson, Loren C.（1993），The Wohascum County Problem Book，美國數學協會.
• Ransom, W. R.（提出者）；Gupta, Hansraj（解題者）（1935），“Elementary problem 105”，American Mathematical Monthly，42（1）：47 {{citation}}: 未知引數 |month= 被忽略 (幫助).
• Salkind, Charles T.（1975），Contest Problem Book No 1: Annual High School Mathematics Examinations 1950-1960.