線性代數/解線性方程組

線性方程組在科學和數學中很常見。以下兩個例子來自高中科學 (O'Nan 1990)，展示了它們是如何出現的。

第一個例子來自物理學。假設我們得到了三個物體，其中一個的質量已知為2 kg，要求我們找到未知質量。假設進一步，透過使用米尺進行實驗，獲得了兩個平衡 (其中一個如下圖所示)。

由於順時針力的力矩大小之和等於逆時針力的力矩大小之和 (物體繞固定原點旋轉的力矩是作用在物體上的力和它相對於原點的位移向量之間的叉積；重力加速度是均勻的，我們可以將兩邊同時除以它)。這兩個平衡給出了以下兩個方程組。

${\begin{array}{rl}40h+15c&=100\\25c&=50+50h\end{array}}$

你能完成解嗎？

c = kg

h = kg

線性方程組的第二個例子來自化學。在可控條件下，我們可以混合甲苯 ${\hbox{C}}_{7}{\hbox{H}}_{8}$ 和硝酸 ${\hbox{H}}{\hbox{N}}{\hbox{O}}_{3}$ 來生成三硝基甲苯 ${\hbox{C}}_{7}{\hbox{H}}_{5}{\hbox{O}}_{6}{\hbox{N}}_{3}$ 以及副產物水 (條件必須非常嚴格地控制，事實上 - 三硝基甲苯被稱為TNT)。這些成分應該以什麼比例混合？反應前每種元素的原子數量。

$x\,{\rm {C}}_{7}{\rm {H}}_{8}\ +\ y\,{\rm {H}}{\rm {N}}{\rm {O}}_{3}\quad \longrightarrow \quad z\,{\rm {C}}_{7}{\rm {H}}_{5}{\rm {O}}_{6}{\rm {N}}_{3}\ +\ w\,{\rm {H}}_{2}{\rm {O}}$

必須等於反應後的數量。將該原理依次應用於元素 C、H、N 和 O，得到以下系統。

${\begin{array}{rl}7x&=7z\\8x+1y&=5z+2w\\1y&=3z\\3y&=6z+1w\end{array}}$

你能平衡方程嗎？

${\rm {C}}_{7}{\rm {H}}_{8}\ +\$ ${\rm {H}}{\rm {N}}{\rm {O}}_{3}\quad \longrightarrow \quad$ ${\rm {C}}_{7}{\rm {H}}_{5}{\rm {O}}_{6}{\rm {N}}_{3}\ +\$ ${\rm {H}}_{2}{\rm {O}}$

要完成這些例子中的每一個，都需要求解一個方程組。在每個例子中，方程只包含變數的一次冪。本章將介紹如何求解任何此類方程組。

參考文獻

• O'Nan, Micheal (1990), Linear Algebra (第三版), Harcourt College Pub.