線性代數/導論
本書幫助學生掌握標準本科線性代數課程的材料。
材料是標準的，因為涵蓋的主題包括高斯消元法、向量空間、線性對映、行列式以及特徵值和特徵向量。受眾也是標準的：大二或大三學生，通常至少有一學期微積分的背景，可能多達三個學期。
它對學生的幫助來自於採取發展性方法——本書的呈現強調動機和自然性，透過各種各樣的例子和廣泛、仔細的練習來強化。發展性方法是本書與眾不同之處，因此在這裡對該術語進行一些擴充套件是合適的。
大多數數學課程開頭的課程更看重學生正確應用公式和演算法，而不是理解理論。後來的課程則要求數學成熟度：能夠遵循不同型別的論證，熟悉許多數學研究（如初等集合和函式事實）的基礎主題，以及具有一定的獨立閱讀和思考能力。線性代數是練習這兩種課程之間過渡的理想場所。它出現在課程的早期，因此這裡取得的進步可以在以後得到回報，但同時也出現在足夠晚的時候，學生通常是專業或輔修學生。材料連貫、易懂且優雅。有多種論證風格——例如，反證法、當且僅當語句以及歸納法證明——並且例子很多。
因此，本書闡述的目的是幫助學生從目前水平的成功（在大多數成員主要對科學或工程中的應用感興趣的課堂上）發展到下一水平的成功，即認真學習數學學科本身的學生。
幫助學生完成這一轉變意味著認真對待數學，因此本書中的所有結果都得到了證明。另一方面，我們不能假設學生已經到達了這個水平，因此與更抽象的文字相比，我們提供了許多例子，而且這些例子通常非常詳細。
過去，線性代數教材通常會突然進行這種轉變。它們從線性系統的廣泛計算、矩陣乘法和行列式開始。當概念（向量空間和線性對映）最終出現，並且定義和證明開始時，這種變化往往會讓學生止步不前。在這本書中，雖然我們從一個計算主題線性約簡開始，但從一開始我們就不僅僅是計算。我們快速但完整地處理線性系統，包括證明我們正在計算的內容所需的證明。然後，以線性系統工作作為動機，並在線性組合的研究看起來很自然的時候，第二章從實向量空間的定義開始。這發生在第三週結束的時候。
我們強調動機和自然性的另一個例子是，關於線性對映的第三章並沒有從同態的定義開始，而是從同構的定義開始。這是因為這個定義很容易透過觀察一些空間“就像”其他空間一樣來激發。之後，下一節透過分離操作保持的想法來採取合理的步驟來定義同態。這種方法失去了數學的流暢性，但這是一個好的權衡，因為它換來了學生對理性的極大提高。
發展性方法的一個目標是，學生在整個過程中都應該感覺到他們能夠看到這些想法是如何產生的，並且也許能夠想象自己做同樣型別的工作。
這裡採取的發展性方法最明顯的例子——也是最推薦本書的特點——是練習。學生在做練習時進步最快，因此練習的選擇非常謹慎。每個習題集的範圍從簡單的檢查到相當複雜的證明不等。由於教師通常在每次講座後佈置大約十幾個習題，因此每個部分的結尾都提供了大約兩倍的習題，從而提供了一種選擇。甚至還有一些來自各種期刊、競賽或習題集的具有挑戰性的難題。（這些用“？”標記，作為趣味的一部分，儘可能保留了原文。）總的來說，這些練習旨在培養學生的能力，並幫助學生體驗做數學的樂趣。
這裡採取的觀點，即線性代數是關於向量空間和線性對映的，並不是完全排斥其他觀點。應用和計算機的作用是該學科的重要和至關重要的方面。因此，本書的每一章都以一些應用或與計算機相關的主題結束。其中一些是：網路流、計算機線性約簡的速度和精度、列昂惕夫投入產出分析、量綱分析、馬爾可夫鏈、投票悖論、解析射影幾何以及差分方程。
這些主題簡短到可以在一天的課堂上完成，或者可以作為個人或小組的獨立專案。大多數只是讓讀者瞭解該主題，討論線性代數是如何介入的，指出一些進一步閱讀的材料，並給出一些練習。簡而言之，這些主題邀請讀者自己去了解線性代數是專業人士必須掌握的工具。
本書強調動機和發展，使其成為自學的良好選擇。但是，雖然專業教師可以判斷什麼節奏和主題適合課堂，但如果您是獨立學習的學生，那麼您可能會發現一些建議很有幫助。
這裡有兩個學期的課程時間表。第一個專注於核心材料。
| 周 | 週一 | 週三 | 週五 |
| 1 | 一.I.1 | 一.I.1, 2 | 一.I.2, 3 |
| 2 | 一.I.3 | 一.II.1 | 一.II.2 |
| 3 | 一.III.1, 2 | 一.III.2 | 二.I.1 |
| 4 | 二.I.2 | 二.II | 二.III.1 |
| 5 | 二.III.1, 2 | 二.III.2 | 考試 |
| 6 | 二.III.2, 3 | 二.III.3 | 三.I.1 |
| 7 | 三.I.2 | 三.II.1 | 三.II.2 |
| 8 | 三.II.2 | 三.II.2 | 三.III.1 |
| 9 | 三.III.1 | 三.III.2 | 三.IV.1, 2 |
| 10 | 三.IV.2, 3, 4 | 三.IV.4 | 考試 |
| 11 | 三.IV.4, 三.V.1 | 三.V.1, 2 | 四.I.1, 2 |
| 12 | 四.I.3 | 四.II | 四.II |
| 13 | 四.III.1 | 五.I | 五.II.1 |
| 14 | 五.II.2 | 五.II.3 | 複習 |
第二個時間表更雄心勃勃（假設您知道一.II，向量元素，通常在第三學期微積分中涵蓋）。
| 周 | 週一 | 週三 | 週五 |
| 1 | 一.I.1 | 一.I.2 | 一.I.3 |
| 2 | 一.I.3 | 一.III.1, 2 | 一.III.2 |
| 3 | 二.I.1 | 二.I.2 | 二.II |
| 4 | 二.III.1 | 二.III.2 | 二.III.3 |
| 5 | 二.III.4 | 三.I.1 | 考試 |
| 6 | 三.I.2 | 三.II.1 | 三.II.2 |
| 7 | 三.III.1 | 三.III.2 | 三.IV.1, 2 |
| 8 | 三.IV.2 | 三.IV.3 | 三.IV.4 |
| 9 | 三.V.1 | 三.V.2 | 三.VI.1 |
| 10 | 三.VI.2 | 四.I.1 | 考試 |
| 11 | 四.I.2 | 四.I.3 | 四.I.4 |
| 12 | 四.II | 四.II, 四.III.1 | 四.III.2, 3 |
| 13 | 五.II.1, 2 | 五.II.3 | 五.III.1 |
| 14 | 五.III.2 | 五.IV.1, 2 | 五.IV.2 |
請參閱目錄以瞭解這些小節的標題。
為了幫助您進行時間權衡，在目錄中，如果一些教師會為了在其他地方花費更多時間而跳過這些小節，我將它們標記為可選。您還可以嘗試從每一章的末尾選擇一個或兩個您感興趣的主題。如果您有權訪問可以進行大型計算的計算機軟體，那麼您將從中獲得更多收益。
最重要的建議是：做很多練習。推薦的練習貫穿始終。（答案可用。）但是，您應該意識到，很少有經驗不足的人能夠寫出正確的證明。嘗試找一個知識淵博的人與您一起研究這個問題。
最後，如果可以的話，對所有學生（無論是否獨立）的一個警告：我無法過分強調我偶爾聽到的這句話“我理解這些材料，但只是我在問題上遇到了麻煩”揭示了對我們所做的事情的理解不足。能夠用這些想法做事情是它們的意義所在。下面的引語出色地表達了這種情感。它們陳述了我認為是數學和科學（特別是線性代數）的美麗和力量的關鍵（我冒昧地將它們格式化為詩歌）。
我所知道的最好的策略
就是用精心挑選的細節
來說明令人興奮的原則。
--史蒂芬·傑伊·古爾德
如果你真的想學習
那麼你必須登上機器
並透過實際嘗試
熟悉它的技巧。
--威爾伯·萊特
吉姆·赫弗倫
數學，聖邁克爾學院
美國佛蒙特州科爾切斯特 05439
http://joshua.smcvt.edu
2006年5月20日
作者注。發明一個好的練習，一個既能啟發又能測試的練習，是一項創造性的行為，也是一項艱苦的工作。
發明者應該得到認可。但由於某種原因，教材傳統上沒有對問題進行歸因。在這裡，如果我確定了來源，我就會改變這一點。如果您能幫助我正確地歸因於其他問題，我將不勝感激。