線性代數/行列式作為尺寸函式/解答

解答

問題 1

求所形成區域的體積。

$\langle {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}}\rangle$
$\langle {\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}8\\-3\\8\end{pmatrix}}\rangle$
$\langle {\begin{pmatrix}1\\2\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\\2\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\3\\0\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\7\end{pmatrix}}\rangle$

答案

對於每個，求行列式並取絕對值。

$7$
$0$
$58$

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問題 2

是否

{\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix}}

位於這三個向量形成的盒子的內部？

{\begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}2\\6\\1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}1\\0\\5\end{pmatrix}}

答案

求解

c_{1}{\begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}2\\6\\1\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}1\\0\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix}}

給出了唯一的解 $c_{3}=11/57$ ， $c_{2}=-40/57$ 和 $c_{1}=99/57$ 。因為 $c_{1}>1$ ，該向量不在方框內。

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問題 3

求該區域的體積。

答案

將平行六面體移動到原點開始，使其成為由以下內容組成的方框：

\langle {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\rangle

現在，該行列式的絕對值很容易計算為 $3$ 。

{\begin{vmatrix}3&2\\0&1\end{vmatrix}}=3

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問題 4

假設 $\left|A\right|=3$ 。這些變換使體積變化了多少倍？

$A$
$A^{2}$
$A^{-2}$

答案

$3$
$9$
$1/9$

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問題 5

每個變換使方框的大小變化了多少倍？

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}2x\\3y\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}3x-y\\-2x+y\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x-y\\x+y+z\\y-2z\end{pmatrix}}$

答案

用標準基表示每個變換並求出行列式。

$6$
$-1$
$-5$

問題 6

在這個矩陣的作用下，矩形 $[2..4]\times [2..5]$ 的像的面積是多少？

{\begin{pmatrix}2&3\\4&-1\end{pmatrix}}

答案

初始面積為 $6$ ，矩陣將大小改變了 $-14$ 。因此，像的面積為 $84$ 。

問題 7

如果 $t:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ 將體積改變了 $7$ 倍，而 $s:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ 將體積改變了 $3/2$ 倍，那麼它們的複合函式將體積改變多少倍？

答案

改變了 $21/2$ 倍。

問題 8

盒子的定義與跨度的定義有何不同？

答案

對於一個盒，我們取一系列向量（如備註中所述，向量的取順序很重要），而對於一個線性空間，我們取一組向量。此外，對於一個盒子，它是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的子集，必須有 $n$ 個向量；當然，對於一個線性空間，可以有任意數量的向量。最後，對於一個盒，係數 $t_{1}$ ，…， $t_{n}$ 被限制在區間 $[0..1]$ 內，而對於一個線性空間，係數可以在整個 $\mathbb {R}$ 上取值。

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問題 9

為什麼這張圖不與定理 1.5矛盾？

	${\xrightarrow[{}]{\scriptstyle {\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}}}}$
面積是 $2$	行列式是 $2$	面積是 $5$

答案

這張圖是為了誤導而繪製的。左邊的圖不是由兩個向量形成的盒。如果我們將其滑動到原點，那麼它就變成了由這個序列形成的盒。

\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\rangle

然後矩陣作用下的像是由這個序列形成的盒。

\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}\rangle

其面積為 $4$ 。

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問題 10

答案

問題 11

假設 $\left|A\right|=3$ 且 $\left|B\right|=2$ 。求 $\left|A^{2}\cdot {{B}^{\rm {trans}}}\cdot B^{-2}\cdot {{A}^{\rm {trans}}}\right|$ 。
假設 $\left|A\right|=0$ 。證明 $\left|6A^{3}+5A^{2}+2A\right|=0$ 。

答案

如果其定義存在，則結果為 $(3^{2})\cdot (2)\cdot (2^{-2})\cdot (3)$ 。
$\left|6A^{3}+5A^{2}+2A\right|=\left|A\right|\cdot \left|6A^{2}+5A+2I\right|$ .

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問題 12

令 $T$ 為表示（相對於標準基）將平面向量逆時針旋轉 $\theta$ 弧度的對映的矩陣。 $T$ 將大小改變多少倍？

答案

${\begin{vmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{vmatrix}}=1$

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問題 13

保持面積的變換 $t:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 一定也保持長度嗎？

答案

不，例如，

T={\begin{pmatrix}2&0\\0&1/2\end{pmatrix}}

的行列式

是 $1$ ，因此它保持面積不變，但向量 $T{\vec {e}}_{1}$ 的長度為 $2$ 。

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問題 14

在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，由線性相關集合限定的平行六面體的體積是多少？

答案

是零。

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問題 15

求 $\mathbb {R} ^{3}$ 中三角形的面積，其端點為 $(1,2,1)$ 、 $(3,-1,4)$ 和 $(2,2,2)$ 。（面積，而不是體積。三角形定義了一個平面——該平面中三角形的面積是多少？）

答案

三角形的三個邊中有兩個是由這些向量形成的。

{\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-3\\3\end{pmatrix}}

找到該三角形面積的一種方法是生成一個與這兩個向量正交的單位向量。從這兩個關係

{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}2\\-3\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}

我們得到一個系統

{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&&&+&z&=&0\\2x&-&3y&+&3z&=&0\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&&&+&z&=&0\\&&-3y&+&z&=&0\end{array}}

以及該解集。

\{{\begin{pmatrix}-1\\1/3\\1\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \},

長度為1的一個解如下所示。

{\frac {1}{\sqrt {19/9}}}{\begin{pmatrix}-1\\1/3\\1\end{pmatrix}}

因此，三角形的面積為此行列式的絕對值。

{\begin{vmatrix}1&2&-3/{\sqrt {19}}\\0&-3&1/{\sqrt {19}}\\1&3&3/{\sqrt {19}}\end{vmatrix}}=-12/{\sqrt {19}}

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習題 16

對定理 1.5 的另一種證明使用了行列式函式的定義。

請注意，形成 $S$ 的向量僅當 $\left|S\right|=0$ 時構成線性相關的集合，並檢查結果在這種情況下是否成立。
對於 $\left|S\right|\neq 0$ 的情況，為了證明對所有變換 $\left|TS\right|/\left|S\right|=\left|T\right|$ 都成立，請考慮由 $T\mapsto \left|TS\right|/\left|S\right|$ 給出的函式 $d:{\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}\to \mathbb {R}$ 。請證明 $d$ 具有行列式的第一個性質。
證明 $d$ 具有行列式函式的其他三個性質。
由此得出 $\left|TS\right|=\left|T\right|\cdot \left|S\right|$ 。

答案

因為線性相關集的像也是線性相關的，如果構成 $S$ 的向量構成一個線性相關集，使得 $\left|S\right|=0$ ，那麼構成 $t(S)$ 的向量構成一個線性相關集，使得 $\left|TS\right|=0$ ，在這種情況下，等式成立。
我們必須檢查如果 $T[b]{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}+\rho _{j}}}{\hat {T}}$ ，則 $d(T)=\left|TS\right|/\left|S\right|=\left|{\hat {T}}S\right|/\left|S\right|=d({\hat {T}})$ 。我們可以透過檢查先進行主元運算，然後進行乘法得到 ${\hat {T}}S$ 是否與先進行乘法得到 $TS$ ，然後進行主元運算得到的結果相同（因為行列式 $\left|TS\right|$ 不受主元運算的影響，因此我們將得到 $\left|{\hat {T}}S\right|=\left|TS\right|$ ，因此 $d({\hat {T}})=d(T)$ ）。此檢查執行如下：在將 $k$ 倍的第 $i$ 行的 $TS$ 加到第 $j$ 行的 $TS$ 後，第 $j,p$ 個元素是 $(kt_{i,1}+t_{j,1})s_{1,p}+\dots +(kt_{i,r}+t_{j,r})s_{r,p}$ ，這正是 ${\hat {T}}S$ 的第 $j,p$ 個元素。
對於第二個性質，我們只需要檢查交換 $T[b]{\xrightarrow[{}]{\rho _{i}\leftrightarrow \rho _{j}}}{\hat {T}}$ ，然後相乘得到 ${\hat {T}}S$ 的結果是否與先將 $T$ 與 $S$ 相乘，然後再交換（因為行列式 $\left|TS\right|$ 在行交換時會改變符號，那麼我們將有 $\left|{\hat {T}}S\right|=-\left|TS\right|$ ，因此 $d({\hat {T}})=-d(T)$ ）相同。這個檢查與第一個性質的檢查一樣。對於第三個性質，我們只需要證明執行 $T[b]{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}}}{\hat {T}}$ ，然後計算 ${\hat {T}}S$ 的結果是否與先計算 $TS$ ，然後再執行標量乘法（因為行列式 $\left|TS\right|$ 按 $k$ 進行重新縮放，我們將有 $\left|{\hat {T}}S\right|=k\left|TS\right|$ ，因此 $d({\hat {T}})=k\,d(T)$ ）相同。這裡，論證也與上面一樣。第四個性質，如果 $T$ 是 $I$ ，則結果為 $1$ ，是顯而易見的。
行列式函式是唯一的，因此 $\left|TS\right|/\left|S\right|=d(T)=\left|T\right|$ ，因此 $\left|TS\right|=\left|T\right|\left|S\right|$ 。

問題 17

給出一個非單位矩陣，該矩陣具有 ${{A}^{\rm {trans}}}=A^{-1}$ 的性質。證明如果 ${{A}^{\rm {trans}}}=A^{-1}$ ，則 $\left|A\right|=\pm 1$ 。反之是否成立？

答案

任何置換矩陣都具有其轉置矩陣等於其逆矩陣的性質。

對於蘊含關係，我們知道 $\left|{{A}^{\rm {trans}}}\right|=\left|A\right|$ 。然後 $1=\left|A\cdot A^{-1}\right|=\left|A\cdot {{A}^{\rm {trans}}}\right|=\left|A\right|\cdot \left|{{A}^{\rm {trans}}}\right|=\left|A\right|^{2}$ 。

反之不成立；以下是一個例子。

{\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}}

問題 18

行列式的代數性質表明，從單行中提取一個標量會將行列式乘以該標量，其中 $H$ 是 $3\!\times \!3$ ，則 $cH$ 的行列式是 $c^{3}$ 倍於 $H$ 的行列式。從幾何上解釋這一點，即使用定理 1.5。

答案

當盒子的邊長變為原來的 $c$ 倍時，盒子的體積將變為原來的 $c^{3}$ 倍。

建議所有讀者完成此練習。

習題 19

如果存在一個非奇異矩陣 $P$ 使得 $H=P^{-1}GP$ ，則稱矩陣 $H$ 和 $G$ **相似**（我們在第五章會詳細研究這種關係）。證明相似矩陣具有相同的行列式。

答案

如果 $H=P^{-1}GP$ ，那麼 $\left|H\right|=\left|P^{-1}\right|\left|G\right|\left|P\right|=\left|P^{-1}\right|\left|P\right|\left|G\right|=\left|P^{-1}P\right|\left|G\right|=\left|G\right|$ 。

習題 20

我們通常使用標準基來表示 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的向量，因此第一象限的向量兩個座標都為正。

${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}+3\\+2\end{pmatrix}}$

逆時針繞原點旋轉，我們會依次經過四個區域

\cdots \;\longrightarrow {\begin{pmatrix}+\\+\end{pmatrix}}\;\longrightarrow {\begin{pmatrix}-\\+\end{pmatrix}}\;\longrightarrow {\begin{pmatrix}-\\-\end{pmatrix}}\;\longrightarrow {\begin{pmatrix}+\\-\end{pmatrix}}\;\longrightarrow \cdots \,.

使用這個基

$B=\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}\rangle$

也會得到相同的逆時針迴圈。我們說這兩個基具有相同的**方向**。

為什麼它們會產生相同的迴圈？
軸上單位向量的哪些其他配置會產生相同的迴圈？
求由這些（有序）基形成的矩陣的行列式。
還可能有哪些其他逆時針迴圈，以及它們對應的行列式是多少？
在 $\mathbb {R} ^{1}$ 中會發生什麼情況？
在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中會發生什麼？

關於方向的一篇引人入勝的通俗討論見於（Gardner 1990）。

答案

新的基是舊的基旋轉了 $\pi /4$ 。
$\langle {\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}\rangle$ ， $\langle {\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rangle$
在每種情況下，行列式都為 $+1$ （據說這些基具有正方向）。
因為一次只能改變一個符號，所以唯一可能的另一個迴圈是
$\cdots \;\longrightarrow {\begin{pmatrix}+\\+\end{pmatrix}}\;\longrightarrow {\begin{pmatrix}+\\-\end{pmatrix}}\;\longrightarrow {\begin{pmatrix}-\\-\end{pmatrix}}\;\longrightarrow {\begin{pmatrix}-\\+\end{pmatrix}}\;\longrightarrow \cdots \,.$
這裡每個相關的行列式都是 $-1$ （據說這樣的基具有負方向）。
有一個正方向的基 $\langle (1)\rangle$ 和一個負方向的基 $\langle (-1)\rangle$ 。
有 $48$ 個基（第一個單位向量有 $6$ 種半軸選擇，第二個有 $4$ 種，最後一個有 $2$ 種）。一半像下面左邊所示的標準基一樣具有正方向，一半像右邊一樣具有負方向。

在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，正方向有時被稱為“右手方向”，因為如果將一個人的右手放置，手指從 ${\vec {e}}_{1}$ 彎曲到 ${\vec {e}}_{2}$ ，那麼拇指將指向 ${\vec {e}}_{3}$ 的方向。

習題 21

本題使用“行列式函式存在”小節中的選修內容。利用行列式的排列展開公式證明定理 1.5。

答案

我們將比較 $\det({\vec {s}}_{1},\dots ,{\vec {s}}_{n})$ 與 $\det(t({\vec {s}}_{1}),\dots ,t({\vec {s}}_{n}))$ ，以證明第二個與第一個相差 $\left|T\right|$ 倍。我們用標準基表示 ${\vec {s}}\,$ 。

{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{n}}({\vec {s}}_{i})={\begin{pmatrix}s_{1,i}\\s_{2,i}\\\vdots \\s_{n,i}\end{pmatrix}}

然後我們用矩陣向量乘法表示對映應用。

{\begin{array}{rl}{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{n}}(\,t({\vec {s}}_{i})\,)&=\left({\begin{array}{cccc}t_{1,1}&t_{1,2}&\ldots &t_{1,n}\\t_{2,1}&t_{2,2}&\ldots &t_{2,n}\\&\vdots \\t_{n,1}&t_{n,2}&\ldots &t_{n,n}\end{array}}\right){\begin{pmatrix}s_{1,j}\\s_{2,j}\\\vdots \\s_{n,j}\end{pmatrix}}\\&=s_{1,j}{\begin{pmatrix}t_{1,1}\\t_{2,1}\\\vdots \\t_{n,1}\end{pmatrix}}+s_{2,j}{\begin{pmatrix}t_{1,2}\\t_{2,2}\\\vdots \\t_{n,2}\end{pmatrix}}+\dots +s_{n,j}{\begin{pmatrix}t_{1,n}\\t_{2,n}\\\vdots \\t_{n,n}\end{pmatrix}}\\&=s_{1,j}{\vec {t}}_{1}+s_{2,j}{\vec {t}}_{2}+\dots +s_{n,j}{\vec {t}}_{n}\end{array}}

其中 ${\vec {t}}_{i}$ 是 $T$ 的第 $i$ 列。那麼 $\det(t({\vec {s}}_{1}),\,\dots ,\,t({\vec {s}}_{n}))$ 等於 $\det(s_{1,1}{\vec {t}}_{1}\!+\!s_{2,1}{\vec {t}}_{2}\!+\!\dots \!+\!s_{n,1}{\vec {t}}_{n},\,\dots ,\,s_{1,n}{\vec {t}}_{1}\!+\!s_{2,n}{\vec {t}}_{2}\!+\!\dots \!+\!s_{n,n}{\vec {t}}_{n})$ 。

如同在排列展開公式推導中一樣，我們首先應用多線性性質，沿著第一個引數的和進行分解

\det(s_{1,1}{\vec {t}}_{1},\,\dots ,\,s_{1,n}{\vec {t}}_{1}+s_{2,n}{\vec {t}}_{2}+\dots +s_{n,n}{\vec {t}}_{n})+\cdots {}+\det(s_{n,1}{\vec {t}}_{n},\,\ldots ,\,s_{1,n}{\vec {t}}_{1}+s_{2,n}{\vec {t}}_{2}+\dots +s_{n,n}{\vec {t}}_{n})

然後將每個 $n$ 個加數沿著第二個引數中的和進行分解，等等。最後，如同排列展開式的推導中一樣，我們得到 $n^{n}$ 個加數行列式，每個行列式都具有 $\det(s_{i_{1},1}{\vec {t}}_{i_{1}},s_{i_{2},2}{\vec {t}}_{i_{2}},\,\dots ,\,s_{i_{n},n}{\vec {t}}_{i_{n}})$ 的形式。將每個 $s_{i,j}$ 因子提取出來 $=s_{i_{1},1}s_{i_{2},2}\dots s_{i_{n},n}\cdot \det({\vec {t}}_{i_{1}},{\vec {t}}_{i_{2}},\,\dots ,\,{\vec {t}}_{i_{n}})$ 。

如同排列展開推導中所述，只要 $i_{1}$ ，…， $i_{n}$ 中的任意兩個索引相等，則行列式將有兩個相同的引數，並計算結果為 $0$ 。因此，我們只需要考慮 $i_{1}$ ，…， $i_{n}$ 構成數字 $1$ ，…， $n$ 的一個排列的情況。因此，我們有

\det(t({\vec {s}}_{1}),\dots ,t({\vec {s}}_{n}))=\sum _{{\text{permutations }}\phi }s_{\phi (1),1}\dots s_{\phi (n),n}\det({\vec {t}}_{\phi (1)},\dots ,{\vec {t}}_{\phi (n)}).

交換 $\det({\vec {t}}_{\phi (1)},\ldots ,{\vec {t}}_{\phi (n)})$ 中的列以得到矩陣 $T$ ，這會使符號改變一個因子 $\operatorname {sgn} {\phi }$ ，然後提取 $T$ 的行列式。

=\sum _{\phi }s_{\phi (1),1}\dots s_{\phi (n),n}\det({\vec {t}}_{1},\dots ,{\vec {t}}_{n})\cdot \operatorname {sgn} {\phi }=\det(T)\sum _{\phi }s_{\phi (1),1}\dots s_{\phi (n),n}\cdot \operatorname {sgn} {\phi }.

如同證明矩陣的行列式等於其轉置矩陣的行列式的過程，我們將 $s$ 進行交換，使得它們按照升序的行號排列，而不是按照升序的列號排列（並且我們將 $\operatorname {sgn}(\phi ^{-1})$ 替換為 $\operatorname {sgn}(\phi )$ ）。

=\det(T)\sum _{\phi }s_{1,\phi ^{-1}(1)}\dots s_{n,\phi ^{-1}(n)}\cdot \operatorname {sgn} {\phi ^{-1}}=\det(T)\det({\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2},\dots ,{\vec {s}}_{n})

建議所有讀者完成此練習。

問題 22

證明這給出了 $\mathbb {R} ^{2}$ 中過 $(x_{2},y_{2})$ 和 $(x_{3},y_{3})$ 的直線方程。
${\begin{vmatrix}x&x_{2}&x_{3}\\y&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}=0$
（Peterson 1955）證明頂點為 $(x_{1},y_{1})$ 、 $(x_{2},y_{2})$ 和 $(x_{3},y_{3})$ 的三角形的面積是
${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}.$
(Bittinger 1973) 證明頂點在 $(x_{1},y_{1})$ ， $(x_{2},y_{2})$ ，以及 $(x_{3},y_{3})$ 的三角形的面積，其座標為整數，其面積為 $N$ 或 $N/2$ ，其中 $N$ 為某個正整數。

答案

代數檢驗很容易。
$0=xy_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y-x_{3}y_{2}-xy_{3}-x_{2}y=x\cdot (y_{2}-y_{3})+y\cdot (x_{3}-x_{2})+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}$
簡化為熟悉的形式
$y=x\cdot (x_{3}-x_{2})/(y_{3}-y_{2})+(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})/(y_{3}-y_{2})$
( $y_{3}-y_{2}=0$ 的情況很容易處理)。為了獲得幾何直觀，這張圖顯示了三個向量形成的盒子。請注意，所有三個向量都終止於 $z=1$ 平面。在右側的兩個向量下方是穿過 $(x_{2},y_{2})$ 和 $(x_{3},y_{3})$ 的直線。

除非由三個端點形成的三角形是退化的，否則該盒子的體積將不為零。只有當（假設 $(x_{2},y_{3})\neq (x_{3},y_{3})$ ) $(x,y)$ 位於其他兩點所在的直線上時，才會發生這種情況。
這是引用的來源中給出的答案。經過 $(x_{1},y_{1})$ 的三角形的高，其頂點為 $(x_{1},y_{1})$ $(x_{2},y_{2})$ 和 $(x_{3},y_{3})$ ，是根據上述法線的標準形式以通常的方式找到的。
${\frac {1}{\sqrt {(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}}}}{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}.$
另一步顯示三角形的面積為
${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}.$
這種闡述比通常證明中將一系列項與行列式等同起來的方法更清楚地揭示了操作方式。
這是引用的來源中給出的答案。令
$D={\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}$
則三角形的面積為 $(1/2)\left|D\right|$ 。現在，如果所有座標都是整數，則 $D$ 是一個整數。

參考文獻

Bittinger，Marvin（提出者）（1973），“Quickie 578”，《數學雜誌》，美國數學學會，46（5）：286，296 {{引用}}: 忽略未知引數|month=（幫助）.
Gardner，Martin（1990），《新的雙向宇宙》，W. H. Freeman 和公司 {{引用}}: 忽略未知引數|editition=（幫助）.
Peterson，G. M.（1955），“三角形的面積”，《美國數學月刊》，美國數學學會，62（4）：249 {{引用}}: 忽略未知引數|month=（幫助）.
Weston，J. D.（1959），“向量空間中的體積”，《美國數學月刊》，美國數學學會，66（7）：575–577 {{引用}}: 忽略未知引數|month=（幫助）.