線性代數/維度刻畫同構

在上一小節中，在給出同構定義後，我們給出了一些結果來支援這樣的直覺：這種對映將空間描述為“相同”。在這裡，我們將使這種直覺形式化。雖然兩個同構的空間並不相等，但我們認為它們幾乎相等——作為等價的。在本小節中，我們將證明關係“與…同構”是等價關係。

定理 2.1

同構是向量空間之間的等價關係。

證明

我們必須證明這種關係具有對稱、自反和傳遞這三個性質。對於這三個中的每一個，我們將使用引理 1.9的第 2 項，並透過證明它保持兩個域成員的線性組合來證明對映保持結構。

為了檢查自反性，即任何空間都與其自身同構，請考慮恆等對映。它顯然是一對一的且滿射的。證明它保持線性組合的計算很容易。

${\mbox{id}}(c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {v}}_{2})=c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}=c_{1}\cdot {\mbox{id}}({\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot {\mbox{id}}({\vec {v}}_{2})$

為了檢查對稱性，即如果$V$ 透過某個對映$f:V\to W$ 與$W$ 同構，那麼也存在一個反向的同構，考慮逆對映$f^{-1}:W\to V$。如附錄中所述，這樣的逆函式存在，並且它也是一個對應關係。因此，我們將對稱性問題簡化為檢查，因為$f$ 保持線性組合，所以$f^{-1}$ 也保持線性組合。假設${\vec {w}}_{1}=f({\vec {v}}_{1})$ 且 ${\vec {w}}_{2}=f({\vec {v}}_{2})$，即$f^{-1}({\vec {w}}_{1})={\vec {v}}_{1}$ 且 $f^{-1}({\vec {w}}_{2})={\vec {v}}_{2}$。

${\begin{array}{rl}f^{-1}(c_{1}\cdot {\vec {w}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {w}}_{2})&=f^{-1}{\bigl (}\,c_{1}\cdot f({\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot f({\vec {v}}_{2})\,{\bigr )}\\&=f^{-1}(\,f{\bigl (}c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2})\,{\bigr )}\\&=c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}\\&=c_{1}\cdot f^{-1}({\vec {w}}_{1})+c_{2}\cdot f^{-1}({\vec {w}}_{2})\end{array}}$

最後，我們必須檢查傳遞性，即如果$V$ 透過某個對映$f$ 與$W$ 同構，並且如果$W$ 透過某個對映$g$ 與$U$ 同構，那麼$V$ 也與$U$ 同構。考慮複合對映$g\circ f:V\to U$。附錄指出兩個對應關係的複合是一個對應關係，因此我們只需要檢查複合是否保持線性組合。

${\begin{array}{rl}g\circ f\,{\bigl (}c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {v}}_{2}{\bigr )}&=g{\bigl (}\,f(c_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {v}}_{2})\,{\bigr )}\\&=g{\bigl (}\,c_{1}\cdot f({\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot f({\vec {v}}_{2})\,{\bigr )}\\&=c_{1}\cdot g{\bigl (}f({\vec {v}}_{1}))+c_{2}\cdot g(f({\vec {v}}_{2}){\bigr )}\\&=c_{1}\cdot (g\circ f)\,({\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot (g\circ f)\,({\vec {v}}_{2})\end{array}}$

因此，$g\circ f:V\to U$ 是一個同構。

作為該結果的推論，我們知道向量空間的全集被劃分為若干類：每個空間都屬於且僅屬於一個同構類。

所有有限維的 向量空間

$V\cong W$

定理 2.2

向量空間是同構的當且僅當它們具有相同的維數。

這由以下兩個引理得出。

引理 2.3

如果空間是同構的，那麼它們具有相同的維數。

證明

我們將證明兩個空間的同構給出了它們基之間的一個對應關係。也就是說，當$f:V\to W$ 是一個同構，且定義域$V$ 的一個基為$B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$，那麼像集$D=\langle f({\vec {\beta }}_{1}),\dots ,f({\vec {\beta }}_{n})\rangle$ 是陪域$W$ 的一個基。（對應關係的另一半——對於$W$ 的任意基，其原像是$V$ 的一個基——可以透過回憶如果$f$ 是一個同構，那麼$f^{-1}$ 也是一個同構，並將前一句應用於$f^{-1}$ 來得到。）

為了證明$D$ 張成$W$，固定任意${\vec {w}}\in W$，注意到$f$ 是滿射的，因此存在一個${\vec {v}}\in V$ 使得${\vec {w}}=f({\vec {v}})$，並把${\vec {v}}$ 展開為基向量的線性組合。

${\vec {w}}=f({\vec {v}})=f(v_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +v_{n}{\vec {\beta }}_{n})=v_{1}\cdot f({\vec {\beta }}_{1})+\dots +v_{n}\cdot f({\vec {\beta }}_{n})$

對於$D$的線性無關性，如果

${\vec {0}}_{W}=c_{1}f({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}f({\vec {\beta }}_{n})=f(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})$

那麼，由於$f$是一對一的，因此唯一對映到${\vec {0}}_{W}$的向量是${\vec {0}}_{V}$，我們有${\vec {0}}_{V}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$，這意味著所有的$c$都為零。

引理 2.4

如果兩個空間的維數相同，則它們是同構的。

證明

為了證明任何兩個維數為$n$的空間是同構的，我們只需證明其中任何一個空間與$\mathbb {R} ^{n}$同構。然後，根據同構的傳遞性（在定理 2.1中已證明），我們就證明了它們彼此同構。

令$V$為$n$維空間。為定義域$V$固定一個基$B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$。考慮將該定義域的成員相對於基的表示作為從$V$到$\mathbb {R} ^{n}$的一個函式。

${\vec {v}}=v_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +v_{n}{\vec {\beta }}_{n}\,{\stackrel {{\text{Rep}}_{B}}{\longmapsto }}\,{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}$

（它是良定義的，因為每個${\vec {v}}$都只有一個這樣的表示——參見下面備註 2.5）。

此函式是一對一的，因為如果

${\text{Rep}}_{B}(u_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +u_{n}{\vec {\beta }}_{n})={\text{Rep}}_{B}(v_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +v_{n}{\vec {\beta }}_{n})$

那麼

${\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}$

因此$u_{1}=v_{1}$，…，$u_{n}=v_{n}$，因此原始引數$u_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +u_{n}{\vec {\beta }}_{n}$和$v_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +v_{n}{\vec {\beta }}_{n}$是相等的。

此函式是滿射的；任何$n$維向量

${\vec {w}}={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}$

是某個${\vec {v}}\in V$的像，即${\vec {w}}={\rm {Rep}}_{B}(w_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +w_{n}{\vec {\beta }}_{n})$。

最後，此函式保持結構。

${\begin{array}{rl}{\rm {Rep}}_{B}(r\cdot {\vec {u}}+s\cdot {\vec {v}})&={\rm {Rep}}_{B}(\,(ru_{1}+sv_{1}){\vec {\beta }}_{1}+\dots +(ru_{n}+sv_{n}){\vec {\beta }}_{n}\,)\\&={\begin{pmatrix}ru_{1}+sv_{1}\\\vdots \\ru_{n}+sv_{n}\end{pmatrix}}\\&=r\cdot {\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\\&=r\cdot {\rm {Rep}}_{B}({\vec {u}})+s\cdot {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})\end{array}}$

因此，${\mbox{Rep}}_{B}$函式是一個同構，因此任何$n$維空間都與$n$維空間$\mathbb {R} ^{n}$同構。因此，任何兩個具有相同維度的空間都是同構的。

備註 2.5

該證明中關於“唯一表示”結果所起作用的括號註釋需要一些解釋。我們需要證明（對於固定的$B$）域中的每個向量都由${\mbox{Rep}}_{B}$關聯到陪域中唯一的一個向量。

一個對比的例子，其中一個關聯沒有這個屬性，是很有啟發的。考慮這個${\mathcal {P}}_{2}$的子集，它不是一個基。

$A=\{1+0x+0x^{2},0+1x+0x^{2},0+0x+1x^{2},1+1x+2x^{2}\}$

將這四個多項式稱為${\vec {\alpha }}_{1}$，…，${\vec {\alpha }}_{4}$。如果，模仿上面的證明，我們嘗試將${\mathcal {P}}_{2}$的成員寫成${\vec {p}}=c_{1}{\vec {\alpha }}_{1}+c_{2}{\vec {\alpha }}_{2}+c_{3}{\vec {\alpha }}_{3}+c_{4}{\vec {\alpha }}_{4}$的形式，並將${\vec {p}}$與一個四維向量關聯，其分量為$c_{1}$，…，$c_{4}$，那麼就會出現問題。因為，考慮${\vec {p}}(x)=1+x+x^{2}$。集合$A$生成空間${\mathcal {P}}_{2}$，因此至少存在一個與${\vec {p}}$關聯的四維向量。但是$A$不是線性無關的，因此向量沒有唯一的分解。在這種情況下，兩者都有

${\vec {p}}(x)=1{\vec {\alpha }}_{1}+1{\vec {\alpha }}_{2}+1{\vec {\alpha }}_{3}+0{\vec {\alpha }}_{4}\quad {\text{and}}\quad {\vec {p}}(x)=0{\vec {\alpha }}_{1}+0{\vec {\alpha }}_{2}-1{\vec {\alpha }}_{3}+1{\vec {\alpha }}_{4}$

因此，與${\vec {p}}$相關的四維向量不止一個。

${\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}0\\0\\-1\\1\end{pmatrix}}$

也就是說，當輸入為${\vec {p}}$時，這種關聯沒有明確定義（即唯一的）輸出值。

任何定義可能存在歧義的對映都必須檢查其是否定義良好。對於上述證明中的${\mbox{Rep}}_{B}$，該檢查對應於習題11。

這結束了定理2.2的證明。我們說同構類由維度**刻畫**，因為我們可以簡單地透過給出該類中所有空間的維數來描述每個類。

本小節的結果為我們提供了一系列同構類的代表。^[3]

推論2.6

有限維向量空間與唯一的某個$\mathbb {R} ^{n}$同構。

上面的證明將許多思想壓縮到很小的空間內。在本章的其餘部分，我們將再次考慮這些思想，並對其進行擴充套件。作為示例，我們將在此擴充套件引理2.4的證明。

例2.7

$2\!\times \!2$矩陣的空間${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$與$\mathbb {R} ^{4}$同構。對於定義域的這個基

$B=\langle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\rangle$

引理中給出的同構，表示對映$f_{1}={\mbox{Rep}}_{B}$，只是簡單地將條目複製過去。

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\stackrel {f_{1}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}}$

理解對映$f_{1}$的一種方式是：固定定義域的基$B$和陪域的基${\mathcal {E}}_{4}$，並將${\vec {\beta }}_{1}$與${\vec {e}}_{1}$關聯，並將${\vec {\beta }}_{2}$與${\vec {e}}_{2}$關聯，等等。然後將這種關聯擴充套件到兩個空間的所有成員。

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=a{\vec {\beta }}_{1}+b{\vec {\beta }}_{2}+c{\vec {\beta }}_{3}+d{\vec {\beta }}_{4}\;\;{\stackrel {f_{1}}{\longmapsto }}\;\;a{\vec {e}}_{1}+b{\vec {e}}_{2}+c{\vec {e}}_{3}+d{\vec {e}}_{4}={\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}}$

我們說這個對映已從基擴充套件到空間線性擴充套件。

我們可以使用不同的基做同樣的事情，例如，為定義域取這個基。

$A=\langle {\begin{pmatrix}2&0\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&2\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\2&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\0&2\end{pmatrix}}\rangle$

將$A$和${\mathcal {E}}_{4}$的對應元素關聯起來，併線性擴充套件。

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=(a/2){\vec {\alpha }}_{1}+(b/2){\vec {\alpha }}_{2}+(c/2){\vec {\alpha }}_{3}+(d/2){\vec {\alpha }}_{4}$

${\stackrel {f_{2}}{\longmapsto }}\;\;(a/2){\vec {e}}_{1}+(b/2){\vec {e}}_{2}+(c/2){\vec {e}}_{3}+(d/2){\vec {e}}_{4}={\begin{pmatrix}a/2\\b/2\\c/2\\d/2\end{pmatrix}}$

產生了與$f_{1}$不同的同構。

先前的對映是透過改變定義域的基底得到的。我們也可以改變陪域的基底。從以下開始：

$B\quad {\text{and}}\quad D=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\rangle$

將${\vec {\beta }}_{1}$與${\vec {\delta }}_{1}$等關聯起來，然後將這種對應關係線性擴充套件到這兩個空間的全部。

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=a{\vec {\beta }}_{1}+b{\vec {\beta }}_{2}+c{\vec {\beta }}_{3}+d{\vec {\beta }}_{4}\;\;{\stackrel {f_{3}}{\longmapsto }}\;\;a{\vec {\delta }}_{1}+b{\vec {\delta }}_{2}+c{\vec {\delta }}_{3}+d{\vec {\delta }}_{4}={\begin{pmatrix}a\\b\\d\\c\end{pmatrix}}$

給出了另一個同構。

因此，空間之間的對映與這些空間的基之間存在聯絡。後面的章節將探討這種聯絡。

我們將以總結結束本節。

回想一下，在第一章中，我們定義了兩個矩陣，如果它們可以透過初等行運算相互推匯出來，則稱它們為行等價（這是那裡感興趣的“相同性”的含義）。我們證明了它是一個等價關係，因此矩陣的集合被劃分為多個類，其中所有行等價的矩陣都歸屬於同一個類。然後，為了深入瞭解每個類中包含哪些矩陣，我們給出了類的代表，即行最簡形矩陣。

在本節中，除了這裡適當的“相同性”的概念是向量空間同構之外，我們遵循了大致相同的提綱。首先我們定義了同構，給出了一些例子，並建立了一些性質。然後我們證明了它是一個等價關係，現在我們有一組類代表，即實向量空間$\mathbb {R} ^{1}$，$\mathbb {R} ^{2}$等。

所有有限維的 向量空間

每個類的一個代表 每個類

和以前一樣，代表列表有助於我們理解分割槽。它只是按維度對空間進行分類。

在第二章中，隨著向量空間的定義，我們似乎將研究範圍擴充套件到了許多新的結構示例，除了熟悉的$\mathbb {R} ^{n}$。我們現在知道情況並非如此。任何有限維向量空間實際上都與一個實空間“相同”。因此，我們正在考慮我們確實需要考慮的結構。

本章的其餘部分補充了本節中的工作。特別是，在下一節中，我們將考慮保留結構但並非一定是對應關係的對映。

練習

建議所有讀者完成此練習。

問題 1

確定這些空間是否同構。

1. $\mathbb {R} ^{2}$，$\mathbb {R} ^{4}$
2. ${\mathcal {P}}_{5}$，$\mathbb {R} ^{5}$

3. M_2×3，R⁶
4. P₅，M_2×3
5. M_2×k，C^k

答案

如果且僅當兩個空間的維度相同，這兩個空間才是同構的。當存在同構時，我們可以說明對映，但這不是嚴格必要的。

1. 否，它們的維度不同。
2. 否，它們的維度不同。
3. 是，它們的維度相同。一個同構如下。

   ${\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a\\\vdots \\f\end{pmatrix}}$

4. 是，它們的維度相同。這是一個同構。

   $a+bx+\cdots +fx^{5}\mapsto {\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}}$

5. 是，兩者都具有維度2k。

建議所有讀者完成此練習。

問題2

考慮同構Rep_B(·)：P₁→R²，其中B=⟨1, 1+x⟩。求出域中每個元素的像。

1. 3-2x;
2. 2+2x;
3. x

答案

1. Rep_B(3-2x)=${\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$

建議所有讀者完成此練習。

問題3

證明如果$m\neq n$，則$\mathbb {R} ^{m}\not \cong \mathbb {R} ^{n}$。

答案

它們的維數不同。

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問題 4

是否${\mathcal {M}}_{m\!\times \!n}\cong {\mathcal {M}}_{n\!\times \!m}$？

答案

是的，兩者都是$mn$維的。

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問題 5

$\mathbb {R} ^{3}$中過原點的任意兩個平面是否同構？

答案

是的，任意兩個（非退化）平面都是二維向量空間。

問題 6

找到一組等價類代表，而不是$\mathbb {R} ^{n}$的集合。

答案

有很多答案，其中一個是${\mathcal {P}}_{k}$的集合（將${\mathcal {P}}_{-1}$視為平凡向量空間）。

問題 7

判斷真假：在任意$n$維空間和$\mathbb {R} ^{n}$之間恰好存在一個同構。

答案

假（除非$n=0$）。例如，如果$f:V\to \mathbb {R} ^{n}$是一個同構，則乘以任何非零標量都會得到另一個不同的同構。（在平凡空間之間，同構是唯一的；唯一可能的對映是${\vec {0}}_{V}\mapsto 0_{W}$。）

問題 8

向量空間可以與其（真）子空間同構嗎？

答案

否。一個真子空間的維數嚴格小於其母空間的維數；如果$U$ 是 $V$ 的一個真子空間，那麼 $U$ 的任何線性無關子集必須少於 $\dim(V)$ 個元素，否則該集合將是 $V$ 的一個基，並且 $U$ 不會是真子空間。

建議所有讀者完成此練習。

問題 9

本小節說明對於任何同構，其逆對映也是同構。本小節還說明，對於n維向量空間$V$ 的一個固定基$B$，對映${\text{Rep}}_{B}:V\to \mathbb {R} ^{n}$ 是一個同構。求此對映的逆。

答案

其中$B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$，逆對映如下。

${\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\mapsto c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$

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問題 10

證明關於矩陣的以下事實。

1. 矩陣的行空間與其轉置的列空間同構。
2. 矩陣的行空間與其列空間同構。

答案

所有三個空間的維數都等於矩陣的秩。

問題 11

證明來自定理 2.2 的函式是良定義的。

答案

我們必須證明，如果${\vec {a}}={\vec {b}}$，則$f({\vec {a}})=f({\vec {b}})$。因此，假設$a_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +a_{n}{\vec {\beta }}_{n}=b_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +b_{n}{\vec {\beta }}_{n}$。向量空間（此處為定義域空間）中的每個向量都具有唯一表示為基向量的線性組合，因此我們可以得出結論$a_{1}=b_{1}$，…，$a_{n}=b_{n}$。因此，

$f({\vec {a}})={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}=f({\vec {b}})$

因此，該函式是良定義的。

問題 12

當$n=0$時，定理 2.2 的證明是否有效？

答案

是的，因為零維空間是一個平凡空間。

問題 13

對於每個問題，判斷它是否是一組同構類代表。

1. $\{\mathbb {C} ^{k}\,{\big |}\,k\in \mathbb {N} \}$
2. $\{{\mathcal {P}}_{k}\,{\big |}\,k\in \{-1,0,1,\ldots \}\}$
3. $\{{\mathcal {M}}_{m\!\times \!n}\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {N} \}$

答案

1. 否，這個集合沒有奇數維度的空間。
2. 是，因為${\mathcal {P}}_{k}\cong \mathbb {R} ^{k+1}$。

3. 不，例如，${\mathcal {M}}_{2\!\times \!3}\cong {\mathcal {M}}_{3\!\times \!2}$。

問題 14

令$f$ 為向量空間$V$ 和$W$ 之間的對應關係（即一一對應且滿射的對映）。證明空間$V$ 和$W$ 透過$f$ 同構當且僅當存在基$B\subset V$ 和$D\subset W$ 使得對應向量具有相同的座標：${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\rm {Rep}}_{D}(f({\vec {v}}))$。

答案

一個方向很容易：如果這兩個空間透過$f$ 同構，那麼對於任何基$B\subseteq V$，集合$D=f(B)$ 也是一個基（這在引理 2.3 中得到證明）。對應向量具有相同座標的檢驗：$f(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})=c_{1}f({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}f({\vec {\beta }}_{n})=c_{1}{\vec {\delta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\delta }}_{n}$ 是常規的。

對於另一半，假設存在一些基，使得對應向量在這組基下具有相同的座標。因為$f$是一個對應關係，為了證明它是一個同構，我們只需要證明它保持結構。因為${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}}\,)={\rm {Rep}}_{D}(f({\vec {v}}\,))$，對映$f$保持結構當且僅當表示保持加法：${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})={\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}}_{1})+{\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}}_{2})$和標量乘法：${\rm {Rep}}_{B}(r\cdot {\vec {v}}\,)=r\cdot {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}}\,)$加法計算如下：$(c_{1}+d_{1}){\vec {\beta }}_{1}+\dots +(c_{n}+d_{n}){\vec {\beta }}_{n}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}+d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}$，標量乘法的計算類似。

習題 15

考慮同構${\text{Rep}}_{B}:{\mathcal {P}}_{3}\to \mathbb {R} ^{4}$。

1. 實數空間中的向量正交當且僅當它們的點積為零。給出多項式正交性的定義。

2. 來自${\mathcal {P}}_{3}$ 中的一個元素的導數也在 ${\mathcal {P}}_{3}$ 中。給出$\mathbb {R} ^{4}$ 中向量的導數的定義。

答案

1. 將定義從$\mathbb {R} ^{4}$ 映射回 ${\mathcal {P}}_{3}$ 得到 $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}$ 與 $b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3}$ 正交當且僅當 $a_{0}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=0$。
2. 一個自然的定義是這樣的。

   $D({\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}a_{1}\\2a_{2}\\3a_{3}\\0\end{pmatrix}}$

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問題 16

當擴充套件到空間時，基之間的每一個對應關係都會產生一個同構嗎？

答案

是的。

假設$V$ 是一個向量空間，其基為 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$，並且 $W$ 是另一個向量空間，使得對映 $f:B\to W$ 是一個對應關係。考慮 $f$ 的擴充套件 ${\hat {f}}:V\to W$。

${\hat {f}}(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})=c_{1}f({\vec {\beta }}_{1})+\cdots +c_{n}f({\vec {\beta }}_{n}).$

對映 ${\hat {f}}$ 是一個同構。

首先，${\hat {f}}$ 是良定義的，因為 $V$ 中的每個成員都只有一個表示形式，可以表示為 $B$ 中元素的線性組合。

其次，${\hat {f}}$ 是單射的，因為 $W$ 中的每個成員都只有一個表示形式，可以表示為 $\langle f({\vec {\beta }}_{1}),\dots ,f({\vec {\beta }}_{n})\rangle$ 中元素的線性組合。對映 ${\hat {f}}$ 是滿射的，因為 $W$ 中的每個成員至少有一個表示形式，可以表示為 $\langle f({\vec {\beta }}_{1}),\dots ,f({\vec {\beta }}_{n})\rangle$ 中成員的線性組合。

最後，結構的保持是常規檢查。例如，以下是加法運算的保持計算。

${\begin{array}{rl}{\hat {f}}(\,(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})+(d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n})\,)&={\hat {f}}(\,(c_{1}+d_{1}){\vec {\beta }}_{1}+\dots +(c_{n}+d_{n}){\vec {\beta }}_{n}\,)\\&=(c_{1}+d_{1})f({\vec {\beta }}_{1})+\dots +(c_{n}+d_{n})f({\vec {\beta }}_{n})\\&=c_{1}f({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}f({\vec {\beta }}_{n})+d_{1}f({\vec {\beta }}_{1})+\dots +d_{n}f({\vec {\beta }}_{n})\\&={\hat {f}}(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})++{\hat {f}}(d_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +d_{n}{\vec {\beta }}_{n}).\end{array}}$

標量乘法的保持類似。

問題 17

（需要可選的“子空間的合併”小節。）假設$V=V_{1}\oplus V_{2}$ 並且$V$ 在對映$f$下與空間$U$ 同構。證明$U=f(V_{1})\oplus f(U_{2})$。

答案

因為$V_{1}\cap V_{2}=\{{\vec {0}}_{V}\}$ 且 $f$ 為一對一對映，我們有 $f(V_{1})\cap f(V_{2})=\{{\vec {0}}_{U}\}$。最後，計算維度：$\dim(U)=\dim(V)=\dim(V_{1})+\dim(V_{2})=\dim(f(V_{1}))+\dim(f(V_{2}))$，如要求所示。

問題 18

證明這不是一個從有理數到整數的良定義函式：對每個分數，關聯其分子值。

答案

有理數有多種表示形式，例如 $1/2=3/6$，並且分子在不同的表示形式中可能不同。