線性代數/探索/解答

解答

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問題 1

計算每個矩陣的行列式。

1. ${\begin{pmatrix}3&1\\-1&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&0&1\\3&1&1\\-1&0&1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}4&0&1\\0&0&1\\1&3&-1\end{pmatrix}}$

答案

1. $4$
2. $3$
3. $-12$

問題 2

計算每個矩陣的行列式。

1. ${\begin{pmatrix}2&0\\-1&3\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&1&1\\0&5&-2\\1&-3&4\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2&3&4\\5&6&7\\8&9&1\end{pmatrix}}$

答案

1. $6$
2. $21$
3. $27$

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問題 3

驗證一個上三角 $3\!\times \!3$ 矩陣的行列式是其對角線上元素的乘積。

$\det({\begin{pmatrix}a&b&c\\0&e&f\\0&0&i\end{pmatrix}})=aei$

下三角矩陣是否以相同的方式工作？

答案

對於第一個，應用本節中的公式，注意任何包含 $d$, $g$, 或 $h$ 為零的項，並進行化簡。下三角矩陣以相同的方式工作。

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問題 4

使用行列式判斷每個矩陣是否為奇異或非奇異。

1. ${\begin{pmatrix}2&1\\3&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}4&2\\2&1\end{pmatrix}}$

答案

1. 非奇異矩陣，行列式為 $-1$.
2. 非奇異矩陣，行列式為 $-1$.
3. 奇異矩陣，行列式為 $0$.

問題 5

奇異或非奇異？使用行列式來判斷。

1. ${\begin{pmatrix}2&1&1\\3&2&2\\0&1&4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&1\\4&1&3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2&1&0\\3&-2&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$

答案

1. 非奇異矩陣，行列式為 $3$.
2. 奇異矩陣，行列式為 $0$.
3. 奇異矩陣，行列式為 $0$.

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問題 6

每對矩陣都透過一次行操作來進行區分。使用該操作來比較 $\det(A)$ 與 $\det(B)$.

1. $A={\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}$ $B={\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}}$
2. $A={\begin{pmatrix}3&1&0\\0&0&1\\0&1&2\end{pmatrix}}$ $B={\begin{pmatrix}3&1&0\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}}$
3. $A={\begin{pmatrix}1&-1&3\\2&2&-6\\1&0&4\end{pmatrix}}$ $B={\begin{pmatrix}1&-1&3\\1&1&-3\\1&0&4\end{pmatrix}}$

答案

1. $\det(B)=\det(A)$ 透過 $-2\rho _{1}+\rho _{2}$
2. $\det(B)=-\det(A)$ 透過 $\rho _{2}\leftrightarrow \rho _{3}$
3. $\det(B)=(1/2)\cdot \det(A)$ 透過 $(1/2)\rho _{2}$

問題 7

證明這一點。

$\det({\begin{pmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^{2}&b^{2}&c^{2}\end{pmatrix}})=(b-a)(c-a)(c-b)$

答案

利用 $3\!\times \!3$ 矩陣行列式的公式，我們展開左側

$1\cdot b\cdot c^{2}+1\cdot c\cdot a^{2}+1\cdot a\cdot b^{2}-b^{2}\cdot c\cdot 1-c^{2}\cdot a\cdot 1-a^{2}\cdot b\cdot 1$

並透過分配律展開右側。

$(bc-ba-ac+a^{2})\cdot (c-b)=c^{2}b-b^{2}c-bac+b^{2}a-ac^{2}+acb+a^{2}c-a^{2}b$

現在我們可以直接檢查兩者是否相等。（注。這是 $3\!\times \!3$ 情況下的 範德蒙德行列式，它在應用中出現）。

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問題 8

哪些實數 $x$ 使這個矩陣奇異？

${\begin{pmatrix}12-x&4\\8&8-x\end{pmatrix}}$

答案

這個方程

$0=\det({\begin{pmatrix}12-x&4\\8&8-x\end{pmatrix}})=64-20x+x^{2}=(x-16)(x-4)$

有根$x=16$ 和 $x=4$.

問題 9

使用高斯消元法驗證本節前言中給出的 $3\!\times \!3$ 矩陣的公式。

${\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}$ 是非奇異的當且僅當 $aei+bfg+cdh-hfa-idb-gec\neq 0$

答案

我們首先將矩陣簡化為階梯形。首先，假設 $a\neq 0$ 且 $ae-bd\neq 0$.

${\begin{array}{rcl}{\xrightarrow[{}]{(1/a)\rho _{1}}}\;{\begin{pmatrix}1&b/a&c/a\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}&{\xrightarrow[{-g\rho _{1}+\rho _{3}}]{-d\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{pmatrix}1&b/a&c/a\\0&(ae-bd)/a&(af-cd)/a\\0&(ah-bg)/a&(ai-cg)/a\end{pmatrix}}\\&{\xrightarrow[{}]{(a/(ae-bd))\rho _{2}}}&{\begin{pmatrix}1&b/a&c/a\\0&1&(af-cd)/(ae-bd)\\0&(ah-bg)/a&(ai-cg)/a\end{pmatrix}}\end{array}}$

此步驟完成了計算。

${\xrightarrow[{}]{((ah-bg)/a)\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&b/a&c/a\\0&1&(af-cd)/(ae-bd)\\0&0&(aei+bgf+cdh-hfa-idb-gec)/(ae-bd)\end{pmatrix}}$

現在假設 $a\neq 0$ 且 $ae-bd\neq 0$，原始矩陣非奇異當且僅當上面的 $3,3$ 項非零。也就是說，在這些假設下，原始矩陣非奇異當且僅當 $aei+bgf+cdh-hfa-idb-gec\neq 0$，如預期的那樣。

最後，我們來討論一下如果前一段中為了方便所做出的假設不成立會發生什麼。首先，如果 $a\neq 0$ 但 $ae-bd=0$，那麼我們可以交換

${\begin{pmatrix}1&b/a&c/a\\0&0&(af-cd)/a\\0&(ah-bg)/a&(ai-cg)/a\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}\leftrightarrow \rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&b/a&c/a\\0&(ah-bg)/a&(ai-cg)/a\\0&0&(af-cd)/a\end{pmatrix}}$

並得出結論：矩陣非奇異當且僅當$ah-bg=0$ 或者 $af-cd=0$。 條件“$ah-bg=0$ 或者 $af-cd=0$" 等價於條件“$(ah-bg)(af-cd)=0$”。 展開並使用情況假設 $ae-bd=0$ 將 $ae$ 代入 $bd$ 得出以下結果。

$0=ahaf-ahcd-bgaf+bgcd=ahaf-ahcd-bgaf+aegc=a(haf-hcd-bgf+egc)$

由於 $a\neq 0$，矩陣非奇異當且僅當 $haf-hcd-bgf+egc=0$。因此，在這個 $a\neq 0$ 和 $ae-bd=0$ 的情況下，當 $haf-hcd-bgf+egc-i(ae-bd)=0$ 時，矩陣是非奇異的。

剩下的情況都很簡單。先做 $a=0$ 但 $d\neq 0$ 的情況，以及 $a=0$ 和 $d=0$ 但 $g\neq 0$ 的情況，首先交換行，然後按照上述方法進行。 $a=0$， $d=0$，以及 $g=0$ 的情況很容易——這個矩陣是奇異的，因為它的列構成一個線性相關的集合，並且行列式為零。

問題 10

證明 $\mathbb {R} ^{2}$ 中過 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ 的直線方程可以用這個行列式表示。

$\det({\begin{pmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{pmatrix}})=0\qquad x_{1}\neq x_{2}$

答案

計算行列式並進行一些代數運算，可以得到這個結果。

${\begin{array}{rl}0&=y_{1}x+x_{2}y+x_{1}y_{2}-y_{2}x-x_{1}y-x_{2}y_{1}\\(x_{2}-x_{1})\cdot y&=(y_{2}-y_{1})\cdot x+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}\\y&={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot x+{\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}\end{array}}$

請注意，這是一個直線的方程（特別是，它包含斜率的常用表示式），並且請注意 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ 滿足它。

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問題 11

許多人知道這個關於 $3\!\times \!3$ 矩陣行列式的記憶方法：首先重複前兩列，然後將正對角線上的乘積加起來，再減去反對角線上的乘積。也就是說，首先寫下

$\left({\begin{array}{ccc|cc}h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,3}&h_{1,1}&h_{1,2}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}&h_{2,1}&h_{2,2}\\h_{3,1}&h_{3,2}&h_{3,3}&h_{3,1}&h_{3,2}\end{array}}\right)$

然後計算這個。

${\begin{array}{l}h_{1,1}h_{2,2}h_{3,3}+h_{1,2}h_{2,3}h_{3,1}+h_{1,3}h_{2,1}h_{3,2}\\\quad -h_{3,1}h_{2,2}h_{1,3}-h_{3,2}h_{2,3}h_{1,1}-h_{3,3}h_{2,1}h_{1,2}\end{array}}$

1. 檢查一下，看看這個結果是否與本節前言中給出的公式一致。
2. 這個方法是否適用於其他大小的行列式？

答案

1. 與本節前言中給出的公式的比較很簡單。
2. 雖然它適用於 $2\!\times \!2$ 矩陣

   ${\begin{array}{rl}\left({\begin{array}{cc|c}h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,1}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,1}\end{array}}\right)&={\begin{array}{l}h_{1,1}h_{2,2}+h_{1,2}h_{2,1}\\\quad -h_{2,1}h_{1,2}-h_{2,2}h_{1,1}\end{array}}\\&=h_{1,1}h_{2,2}-h_{1,2}h_{2,1}\end{array}}$

   對於 $4\!\times \!4$ 矩陣，該法則不成立。例如，這個矩陣是奇異的，因為第二行和第三行相等。

   ${\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\-1&0&0&1\end{pmatrix}}$

   但是按照記憶技巧中的方案計算，結果並不為零。

   $\left({\begin{array}{cccc|ccc}1&0&0&1&1&0&0\\0&1&1&0&0&1&1\\0&1&1&0&0&1&1\\-1&0&0&1&-1&0&0\end{array}}\right)={\begin{array}{l}1+0+0+0\\\quad -(-1)-0-0-0\end{array}}$

問題 12

向量

${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\qquad {\vec {y}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}$

的叉積 是用以下行列式計算的向量。

${\vec {x}}\times {\vec {y}}=\det({\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{2}&{\vec {e}}_{3}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{pmatrix}})$

注意第一行由向量組成，這些向量來自 $\mathbb {R} ^{3}$ 的標準基。證明兩個向量的叉積垂直於每個向量。

答案

行列式為 $(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}){\vec {e}}_{1}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}){\vec {e}}_{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}){\vec {e}}_{3}$。為了檢查垂直性，我們檢查與第一個向量的點積是否為零。

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\\x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}}=x_{1}x_{2}y_{3}-x_{1}x_{3}y_{2}+x_{2}x_{3}y_{1}-x_{1}x_{2}y_{3}+x_{1}x_{3}y_{2}-x_{2}x_{3}y_{1}=0$

與第二個向量的點積也是零。

${\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\\x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}}=x_{2}y_{1}y_{3}-x_{3}y_{1}y_{2}+x_{3}y_{1}y_{2}-x_{1}y_{2}y_{3}+x_{1}y_{2}y_{3}-x_{2}y_{1}y_{3}=0$

問題 13

證明每個語句對於 $2\!\times \!2$ 矩陣成立。

1. 兩個矩陣乘積的行列式等於這兩個矩陣行列式的乘積 $\det(ST)=\det(S)\cdot \det(T)$.
2. 如果 $T$ 可逆，那麼逆矩陣的行列式等於原矩陣行列式的倒數 $\det(T^{-1})=(\,\det(T)\,)^{-1}$.

如果存在一個非奇異矩陣 $P$ 使得 $T^{\prime }=PTP^{-1}$，則稱矩陣 $T$ 和 $T^{\prime }$ 是相似的。(這個定義在第五章)。證明相似 $2\!\times \!2$ 矩陣有相同的行列式。

答案

1. 直接代入計算：乘積的行列式是

   ${\begin{array}{rl}\det({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}w&x\\y&z\end{pmatrix}})&=\det({\begin{pmatrix}aw+by&ax+bz\\cw+dy&cx+dz\end{pmatrix}})\\&={\begin{array}{l}acwx+adwz+bcxy+bdyz\\\quad -acwx-bcwz-adxy-bdyz\end{array}}\end{array}}$

   而兩個矩陣行列式的乘積是

   $\det({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}})\cdot \det({\begin{pmatrix}w&x\\y&z\end{pmatrix}})=(ad-bc)\cdot (wz-xy)$

   很容易驗證它們是相等的。
2. 利用上一項的結果。

從上面兩項可以立即得到相似矩陣具有相同行列式：$\det(PTP^{-1})=\det(P)\cdot \det(T)\cdot \det(P^{-1})$.

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問題 14

證明平面上的這個區域的面積

等於這個行列式的值。

$\det({\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}\end{pmatrix}})$

與這個進行比較。

$\det({\begin{pmatrix}x_{2}&x_{1}\\y_{2}&y_{1}\end{pmatrix}})$

答案

一種方法是計算這些區域

透過取整個矩形的面積，減去 $A$ 左上角矩形，$B$ 上中三角形，$D$ 右上角三角形，$C$ 左下角三角形，$E$ 下中三角形，以及 $F$ 右下角矩形 $(x_{1}+x_{2})(y_{1}+y_{2})-x_{2}y_{1}-(1/2)x_{1}y_{1}-(1/2)x_{2}y_{2}-(1/2)x_{2}y_{2}-(1/2)x_{1}y_{1}-x_{2}y_{1}$。簡化後得到行列式公式。

這個行列式是上面行列式的負數；公式區分了第二列是相對於第一列逆時針還是順時針。

問題 15

證明對於 $2\!\times \!2$ 矩陣，矩陣的行列式等於其轉置矩陣的行列式。對於 $3\!\times \!3$ 矩陣是否也成立？

答案

對於 $2\!\times \!2$ 矩陣，使用序言中引用的公式，很容易計算。它也適用於 $3\!\times \!3$ 矩陣；計算是例行的。

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問題 16

行列式函式是線性的嗎 - 是否 $\det(x\cdot T+y\cdot S)=x\cdot \det(T)+y\cdot \det(S)$？

答案

不。回想一下，常數一次只能從一行中取出。

$\det({\begin{pmatrix}2&4\\2&6\\\end{pmatrix}})=2\cdot \det({\begin{pmatrix}1&2\\2&6\\\end{pmatrix}})=2\cdot 2\cdot \det({\begin{pmatrix}1&2\\1&3\\\end{pmatrix}})$

這與線性性相矛盾（這裡我們不需要 $S$，也就是說，我們可以取 $S$ 為零矩陣）。

問題 17

證明如果 $A$ 是 $3\!\times \!3$ 矩陣，則對於任何標量 $c$，$\det(c\cdot A)=c^{3}\cdot \det(A)$。

答案

每次取出一行中的 $c$。

問題 18

哪些實數 $\theta$ 使

${\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

成為奇異矩陣？從幾何角度解釋。

答案

沒有實數 $\theta$ 使矩陣成為奇異矩陣，因為矩陣的行列式 $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta$ 永遠不等於 $0$，它對於所有 $\theta$ 等於 $1$。從幾何角度看，關於標準基，這個矩陣表示平面繞原點旋轉 $\theta$ 角。每個這樣的對映都是一對一的——一方面，它是可逆的。

? 問題 19

如果三階行列式的元素為 $1$，$2$，…，$9$，它可能的最大值是多少？（Haggett & Saunders 1955）

答案

這是引文來源中給出的答案。 令 $P$ 為行列式三個正項的和，而 $-N$ 為三個負項的和。 $P$ 的最大值為

$9\cdot 8\cdot 7+6\cdot 5\cdot 4+3\cdot 2\cdot 1=630.$

與 $P$ 一致的 $N$ 的最小值為

$9\cdot 6\cdot 1+8\cdot 5\cdot 2+7\cdot 4\cdot 3=218.$

對 $P$ 的任何改變都會導致該總和減少超過 $4$。因此 $412$ 是行列式的最大值，行列式的一種形式為

${\begin{vmatrix}9&4&2\\3&8&6\\5&1&7\end{vmatrix}}.$

參考文獻

• Haggett, Vern (proposer); Saunders, F. W. (solver) (1955), "Elementary problem 1135", American Mathematical Monthly, American Mathematical Society, 62 (5): 257 {{citation}}: 未知引數 |month= 被忽略 (幫助)