線性代數/探索

本小節為可選內容。它簡要描述了調查人員如何得出一般定義，該定義將在下一小節中給出。

以上三種情況並沒有顯示出明顯的模式來用於一般$n\!\times \!n$ 公式。我們可以發現，$1\!\times \!1$ 項 $a$ 只有一個字母，$2\!\times \!2$ 項 $ad$ 和 $bc$ 有兩個字母，而 $3\!\times \!3$ 項 $aei$ 等，有三個字母。我們還可以觀察到，在這些項中，矩陣的每一行和每一列都有一個字母，例如，$cdh$ 項的字母

${\begin{pmatrix}&&c\\d\\&h\end{pmatrix}}$

每一行和每一列都來自一個。但這些觀察結果可能比啟發更令人費解。例如，我們可能會想知道為什麼有些項相加而另一些項相減。

一個好的解決問題策略是看看解決方案必須具備哪些屬性，然後尋找具有這些屬性的東西。所以，我們將從詢問我們對公式有哪些要求開始。

在這一點上，我們判斷矩陣是否奇異的主要方法是進行高斯消元，然後檢查結果梯形矩陣的對角線是否有任何零（也就是說，檢查對角線上的乘積是否為零）。所以，我們可以預期，證明一個公式確定奇異性的證明將涉及將高斯方法應用於矩陣，以表明最後對角線上的乘積為零當且僅當行列式公式給出零。這表明了我們的初步計劃：我們將尋找一組函式，它們具有不受行操作影響的性質，並且具有梯形矩陣的行列式是其對角線元素的乘積的性質。在這個計劃下，證明這些函式確定奇異性的證明將是，“其中$T\rightarrow \cdots \rightarrow {\hat {T}}$ 是高斯消元，$T$ 的行列式等於 ${\hat {T}}$ 的行列式（因為行列式不受行操作的影響），它是對角線上的乘積，該乘積為零當且僅當矩陣為奇異的”。在本小節的其餘部分，我們將在這個計劃中測試$2\!\times \!2$ 和 $3\!\times \!3$ 行列式，我們知道。我們最終將修改“不受行操作影響”的部分，但不會改變太多。

檢查計劃的第一步是測試$2\!\times \!2$和$3\!\times \!3$公式是否受主元旋轉的行操作影響：如果

$T{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}+\rho _{j}}}{\hat {T}}$

那麼$\det({\hat {T}})=\det(T)$？這個$2\!\times \!2$行列式在$k\rho _{1}+\rho _{2}$操作後的檢查

$\det({\begin{pmatrix}a&b\\ka+c&kb+d\\\end{pmatrix}})=a(kb+d)-(ka+c)b=ad-bc$

表明它確實沒有改變，另一個$2\!\times \!2$主元$k\rho _{2}+\rho _{1}$給出了相同的結果。這個$3\!\times \!3$主元$k\rho _{3}+\rho _{2}$使行列式保持不變

${\begin{array}{rl}\det({\begin{pmatrix}a&b&c\\kg+d&kh+e&ki+f\\g&h&i\end{pmatrix}})&={\begin{array}{l}a(kh+e)i+b(ki+f)g+c(kg+d)h\\\ -h(ki+f)a-i(kg+d)b-g(kh+e)c\end{array}}\\&=aei+bfg+cdh-hfa-idb-gec\end{array}}$

其他$3\!\times \!3$主元操作也是如此。

所以計劃似乎很有希望。當然，也許$4\!\times \!4$行列式公式會受到主元旋轉的影響。我們正在探索一種可能性，我們還沒有掌握所有事實。儘管如此，到目前為止，進展順利。

下一步是比較$\det({\hat {T}})$ 與 $\det(T)$，對應於

$T{\xrightarrow[{}]{{\rho }_{i}\leftrightarrow {\rho }_{j}}}{\hat {T}}$

交換兩行操作。對於 $2\!\times \!2$ 的行交換 $\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}$

$\det({\begin{pmatrix}c&d\\a&b\end{pmatrix}})=cb-ad$

並沒有得到 $ad-bc$。在 $3\!\times \!3$ 矩陣內進行 $\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{3}$ 交換

$\det({\begin{pmatrix}g&h&i\\d&e&f\\a&b&c\end{pmatrix}})=gec+hfa+idb-bfg-cdh-aei$

同樣沒有得到交換前相同的行列式 - 再次發生了符號改變。嘗試一個不同的 $3\!\times \!3$ 交換 $\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}$

$\det({\begin{pmatrix}d&e&f\\a&b&c\\g&h&i\end{pmatrix}})=dbi+ecg+fah-hcd-iae-gbf$

同樣導致符號改變。

因此，行交換似乎會改變行列式的符號。這改變了我們的計劃，但沒有破壞它。我們打算透過僅考慮行列式是否為零來確定非奇異性，而不考慮它的符號。因此，我們不再期望行列式完全不受行操作的影響，而是希望在交換時行列式會改變符號。

最後，我們將 $\det({\hat {T}})$ 與 $\det(T)$ 進行比較，對應於

$T{\xrightarrow[{}]{k{\rho }_{i}}}{\hat {T}}$

將一行乘以一個標量 $k\neq 0$。其中一個 $2\!\times \!2$ 的情況是

$\det({\begin{pmatrix}a&b\\kc&kd\end{pmatrix}})=a(kd)-(kc)b=k\cdot (ad-bc)$

另一個情況也是同樣的結果。下面是一個 $3\!\times \!3$ 的情況

${\begin{array}{rl}\det({\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\kg&kh&ki\end{pmatrix}})&={\begin{array}{l}ae(ki)+bf(kg)+cd(kh)\\\quad -(kh)fa-(ki)db-(kg)ec\end{array}}\\&=k\cdot (aei+bfg+cdh-hfa-idb-gec)\end{array}}$

另外兩個情況類似。這些讓我們懷疑將一行乘以 $k$ 會將行列式乘以 $k$。這與我們修改後的計劃相符，因為我們只要求行列式的零性保持不變，而不關注行列式的符號或大小。

總之，為了開發計算行列式的公式方案，我們尋找在旋轉操作下保持不變的行列式函式，在行交換時改變符號，並且在行重新縮放時進行重新縮放。在接下來的兩個小節中，我們將發現，對於每一個 $n$ 這樣的函式都存在且是唯一的。

對於下一個小節，請注意，如上所述，標量從每一行中提取出來，而不影響其他行。例如，在以下等式中

$\det({\begin{pmatrix}3&3&9\\2&1&1\\5&10&-5\end{pmatrix}})=3\cdot \det({\begin{pmatrix}1&1&3\\2&1&1\\5&10&-5\end{pmatrix}})$

這 $3$ 沒有從所有三行中提取出來，只從最上面的行中提取出來。行列式對每一行都獨立地起作用。當我們要利用行列式的這種性質時，我們將行列式寫成行的函式: "$\det({\vec {\rho }}_{1},{\vec {\rho }}_{2},\dots {\vec {\rho }}_{n})$"，而不是 "$\det(T)$" 或 "$\det(t_{1,1},\dots ,t_{n,n})$"。下一小節開始的行列式定義就是以這種方式寫成的。

練習

建議所有讀者做這道練習。

問題 1

計算每個矩陣的行列式。

1. ${\begin{pmatrix}3&1\\-1&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&0&1\\3&1&1\\-1&0&1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}4&0&1\\0&0&1\\1&3&-1\end{pmatrix}}$

問題 2

計算每個矩陣的行列式。

1. ${\begin{pmatrix}2&0\\-1&3\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&1&1\\0&5&-2\\1&-3&4\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2&3&4\\5&6&7\\8&9&1\end{pmatrix}}$

建議所有讀者做這道練習。

問題 3

驗證一個上三角 $3\!\times \!3$ 矩陣的行列式是主對角線元素的乘積。

$\det({\begin{pmatrix}a&b&c\\0&e&f\\0&0&i\end{pmatrix}})=aei$

下三角矩陣是否也一樣？

建議所有讀者做這道練習。

問題 4

使用行列式判斷每個矩陣是否為奇異矩陣或非奇異矩陣。

1. ${\begin{pmatrix}2&1\\3&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}4&2\\2&1\end{pmatrix}}$

問題 5

奇異或非奇異？使用行列式來判斷。

1. ${\begin{pmatrix}2&1&1\\3&2&2\\0&1&4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&1\\4&1&3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2&1&0\\3&-2&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$

建議所有讀者做這道練習。

問題 6

每對矩陣都透過一次行操作而有所不同。使用此操作來比較 $\det(A)$ 和 $\det(B)$.

1. $A={\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}$ $B={\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}}$
2. $A={\begin{pmatrix}3&1&0\\0&0&1\\0&1&2\end{pmatrix}}$ $B={\begin{pmatrix}3&1&0\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}}$
3. $A={\begin{pmatrix}1&-1&3\\2&2&-6\\1&0&4\end{pmatrix}}$ $B={\begin{pmatrix}1&-1&3\\1&1&-3\\1&0&4\end{pmatrix}}$

問題 7

證明這一點。

$\det({\begin{pmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^{2}&b^{2}&c^{2}\end{pmatrix}})=(b-a)(c-a)(c-b)$

建議所有讀者做這道練習。

問題 8

哪些實數 $x$ 使該矩陣奇異？

${\begin{pmatrix}12-x&4\\8&8-x\end{pmatrix}}$

問題 9

使用高斯消元法驗證本節前言中給出的 $3\!\times \!3$ 矩陣的公式。

${\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}$ 非奇異當且僅當 $aei+bfg+cdh-hfa-idb-gec\neq 0$

問題 10

證明 $\mathbb {R} ^{2}$ 中經過 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ 的直線方程可以用以下行列式表示。

$\det({\begin{pmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{pmatrix}})=0\qquad x_{1}\neq x_{2}$

建議所有讀者做這道練習。

問題 11

許多人知道這個用來計算 $3\!\times \!3$ 矩陣行列式的助記符：首先重複前兩列，然後將前對角線上的乘積之和減去後對角線上的乘積之和。也就是說，首先寫出

$\left({\begin{array}{ccc|cc}h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,3}&h_{1,1}&h_{1,2}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}&h_{2,1}&h_{2,2}\\h_{3,1}&h_{3,2}&h_{3,3}&h_{3,1}&h_{3,2}\end{array}}\right)$

然後計算這個。

${\begin{array}{l}h_{1,1}h_{2,2}h_{3,3}+h_{1,2}h_{2,3}h_{3,1}+h_{1,3}h_{2,1}h_{3,2}\\\quad -h_{3,1}h_{2,2}h_{1,3}-h_{3,2}h_{2,3}h_{1,1}-h_{3,3}h_{2,1}h_{1,2}\end{array}}$

1. 檢查此結果是否與本節引言中給出的公式一致。
2. 該公式是否適用於其他尺寸的行列式？

問題 12

向量

${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\qquad {\vec {y}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}$

的叉積是由以下行列式計算得到的向量。

${\vec {x}}\times {\vec {y}}=\det({\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{2}&{\vec {e}}_{3}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{pmatrix}})$

注意，第一行由向量組成，這些向量來自 $\mathbb {R} ^{3}$ 的標準基。證明兩個向量的叉積垂直於每個向量。

問題 13

證明每個語句都適用於 $2\!\times \!2$ 矩陣。

1. 積的行列式等於行列式的積 $\det(ST)=\det(S)\cdot \det(T)$.
2. 如果 $T$ 是可逆的，那麼逆矩陣的行列式等於行列式的逆 $\det(T^{-1})=(\,\det(T)\,)^{-1}$.

矩陣 $T$ 和 $T^{\prime }$ 是相似的，如果存在一個非奇異矩陣 $P$ 使得 $T^{\prime }=PTP^{-1}$。（這個定義在第五章）。證明相似 $2\!\times \!2$ 矩陣具有相同的行列式。

建議所有讀者做這道練習。

問題 14

證明這個平面區域的面積

等於這個行列式的值。

$\det({\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}\end{pmatrix}})$

與這個比較。

$\det({\begin{pmatrix}x_{2}&x_{1}\\y_{2}&y_{1}\end{pmatrix}})$

問題 15

證明對於 $2\!\times \!2$ 矩陣，矩陣的行列式等於其轉置的行列式。這對於 $3\!\times \!3$ 矩陣也成立嗎？

建議所有讀者做這道練習。

問題 16

行列式函式是線性的嗎——是 $\det(x\cdot T+y\cdot S)=x\cdot \det(T)+y\cdot \det(S)$ 嗎？

問題 17

證明如果 $A$ 是 $3\!\times \!3$，那麼 $\det(c\cdot A)=c^{3}\cdot \det(A)$ 對於任何標量 $c$ 成立。

問題 18

哪些實數 $\theta$ 使得

${\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

奇異？從幾何角度解釋。

? 問題 19

如果一個三階行列式包含元素 $1$，$2$，...，$9$，它可能達到的最大值是多少？ (Haggett & Saunders 1955)

解決方案

參考資料

• Haggett, Vern (proposer); Saunders, F. W. (solver) (1955), "Elementary problem 1135", American Mathematical Monthly, American Mathematical Society, 62 (5): 257 {{citation}}: 未知引數 |month= 被忽略 (幫助).