線性代數/行列式的性質

線性代數
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如上所述，我們需要一個公式來確定一個 $n\!\times \!n$ 矩陣是否是非奇異的。我們不會從給出這樣的公式開始。相反，我們將從考慮這樣一個公式計算的函式開始。我們將透過它的性質來定義這個函式，然後證明具有這些性質的函式存在且唯一，並且還會描述計算這個函式的公式。（因為我們將證明這個函式存在且唯一，從一開始我們將說 " $\det(T)$ " 而不是 “如果存在一個行列式函式，那麼 $\det(T)$ " 以及 “行列式” 而不是 “任何行列式”。）

定義 2.1

一個 $n\!\times \!n$ 行列式 是一個函式 $\det :{\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}\to \mathbb {R}$ ，使得

$\det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,k\cdot {\vec {\rho }}_{i}+{\vec {\rho }}_{j},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})=\det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {\rho }}_{j},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})$ 對於 $i\neq j$
$\det({\vec {\rho }}_{1},\ldots ,{\vec {\rho }}_{j},\dots ,{\vec {\rho }}_{i},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})=-\det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {\rho }}_{i},\dots ,{\vec {\rho }}_{j},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})$ 對於 $i\neq j$
$\det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,k{\vec {\rho }}_{i},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})=k\cdot \det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {\rho }}_{i},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})$ 當 $k\neq 0$
$\det(I)=1$ 其中 $I$ 是單位矩陣

( ${\vec {\rho }}\,$ 是矩陣的行). 我們通常寫 $\left|T\right|$ 來表示 $\det(T)$ .

注 2.2

性質 (2) 是多餘的，因為

T\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{i}+\rho _{j}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{j}+\rho _{i}}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{i}+\rho _{j}}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{i}}}\;{\hat {T}}

交換了第 $i$ 行和第 $j$ 行。行列式的符號改變了，但矩陣本身沒有改變，因此它的行列式也沒有改變。所以行列式為零。

第一個結果表明，滿足這些條件的函式給出了非奇異性的判據。(它的最後一句話是，在滿足前三個條件的情況下，(4) 等價於階梯形矩陣的行列式等於對角線上的乘積的條件)。

引理 2.3

具有兩行相同的矩陣的行列式為零。具有零行的矩陣的行列式為零。矩陣非奇異當且僅當它的行列式不為零。階梯形矩陣的行列式等於其對角線上的乘積。

證明

為了驗證第一句話，交換這兩行。行列式的符號改變了，但矩陣本身沒有改變，因此它的行列式也沒有改變。所以行列式為零。

對於第二句話，我們將零行乘以 -1 並應用性質 (3)。用常數乘以零行不會改變矩陣，因此性質 (3) 意味著 $\det(T)=-\det(T)$ 。這隻有在 $\det(T)=0$ 時才成立。

對於第三句話，其中 $T\rightarrow \cdots \rightarrow {\hat {T}}$ 是高斯-約旦消元，根據定義， $T$ 的行列式為零當且僅當 ${\hat {T}}$ 的行列式為零（儘管它們在符號或大小上可能不同）。一個非奇異 $T$ 高斯-約旦消元為單位矩陣，因此具有非零行列式。一個奇異 $T$ 消元為一個 ${\hat {T}}$ 具有零行的矩陣；根據該引理的第二句話，它的行列式為零。

最後，對於第四句話，如果一個階梯形矩陣是奇異的，那麼它在對角線上有一個零，也就是說，沿其對角線的乘積為零。第三句話說，如果一個矩陣是奇異的，那麼它的行列式為零。因此，如果階梯形矩陣是奇異的，那麼它的行列式等於沿其對角線的乘積。

如果一個階梯形矩陣是非奇異的，那麼它的對角線元素都不為零，所以我們可以使用定義中的性質 (3) 將它們分解出來（同樣，豎線 $\left|\cdots \right|$ 表示行列式運算）。

{\begin{vmatrix}t_{1,1}&t_{1,2}&&t_{1,n}\\0&t_{2,2}&&t_{2,n}\\&&\ddots \\0&&&t_{n,n}\end{vmatrix}}=t_{1,1}\cdot t_{2,2}\cdots t_{n,n}\cdot {\begin{vmatrix}1&t_{1,2}/t_{1,1}&&t_{1,n}/t_{1,1}\\0&1&&t_{2,n}/t_{2,2}\\&&\ddots \\0&&&1\end{vmatrix}}

接下來，使用定義中的性質 (1) 的高斯-約旦消元的約旦部分，留下單位矩陣。

=t_{1,1}\cdot t_{2,2}\cdots t_{n,n}\cdot {\begin{vmatrix}1&0&&0\\0&1&&0\\&&\ddots \\0&&&1\end{vmatrix}}=t_{1,1}\cdot t_{2,2}\cdots t_{n,n}\cdot 1

因此，如果一個階梯形矩陣是非奇異的，那麼它的行列式就是沿其對角線的乘積。

該結果為我們提供了一種計算矩陣上的行列式函式值的方法。進行高斯消元，跟蹤由於行交換引起的任何符號變化以及分解出的任何標量，然後透過將階梯形結果的對角線向下相乘來完成。此過程與高斯方法所花費的時間相同，因此對於我們在本書中看到的矩陣大小來說足夠快，可以實際應用。

示例 2.4

進行 $2\!\times \!2$ 行列式

{\begin{vmatrix}2&4\\-1&3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&4\\0&5\end{vmatrix}}=10

使用高斯消元法不會帶來很大的節省，因為 $2\!\times \!2$ 行列式的公式非常簡單。然而，一個 $3\!\times \!3$ 行列式通常使用高斯消元法比使用前面給出的公式更容易計算。

{\begin{vmatrix}2&2&6\\4&4&3\\0&-3&5\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&2&6\\0&0&-9\\0&-3&5\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}2&2&6\\0&-3&5\\0&0&-9\end{vmatrix}}=-54

示例 2.5

大於 $3\!\times \!3$ 的矩陣的行列式幾乎總是使用高斯消元法最快速地計算。

{\begin{vmatrix}1&0&1&3\\0&1&1&4\\0&0&0&5\\0&1&0&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&0&1&3\\0&1&1&4\\0&0&0&5\\0&0&-1&-3\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}1&0&1&3\\0&1&1&4\\0&0&-1&-3\\0&0&0&5\end{vmatrix}}=-(-5)=5

前面的例子說明了一個重要點。雖然我們還沒有找到一個 $4\!\times \!4$ 行列式公式，如果存在，那麼我們知道它對矩陣返回什麼值——如果有一個具有性質 (1)-(4) 的函式，那麼在上面的矩陣上，該函式必須返回 $5$ 。

引理 2.6

對於每個 $n$ ，如果存在一個 $n\!\times \!n$ 行列式函式，那麼它是唯一的。

證明

對於任何 $n\!\times \!n$ 矩陣，我們可以對該矩陣執行高斯消元法，跟蹤行交換時符號的交替方式，然後將梯形形式結果的對角線乘下來。根據定義和引理，所有 $n\!\times \!n$ 行列式函式必須在這個矩陣上返回這個值。因此所有 $n\!\times \!n$ 行列式函式是相等的，也就是說，只存在一個輸入引數/輸出值關係滿足四個條件。

“如果存在一個 $n\!\times \!n$ 行列式函式” 強調了，儘管我們可以使用高斯消元法來計算行列式函式可能返回的唯一值，但我們還沒有證明對於所有 $n$ ，這樣的行列式函式都存在。在本節的剩餘部分，我們將生成行列式函式。

練習

對於這些，假設一個 $n\!\times \!n$ 行列式函式對於所有 $n$ 都存在。

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問題 1

使用高斯消元法求解每個行列式。

${\begin{vmatrix}3&1&2\\3&1&0\\0&1&4\end{vmatrix}}$
${\begin{vmatrix}1&0&0&1\\2&1&1&0\\-1&0&1&0\\1&1&1&0\end{vmatrix}}$

問題 2: 使用高斯消元法求解每個。

${\begin{vmatrix}2&-1\\-1&-1\end{vmatrix}}$
${\begin{vmatrix}1&1&0\\3&0&2\\5&2&2\end{vmatrix}}$

問題 3

對於哪些 $k$ 的值，此係統有唯一解？

{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&+&z&-&w&=&2\\&&y&-&2z&&&=&3\\x&&&+&kz&&&=&4\\&&&&z&-&w&=&2\end{array}}

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問題 4

用 $\left|H\right|$ 表示這些。

${\begin{vmatrix}h_{3,1}&h_{3,2}&h_{3,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\\h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,3}\end{vmatrix}}$
${\begin{vmatrix}-h_{1,1}&-h_{1,2}&-h_{1,3}\\-2h_{2,1}&-2h_{2,2}&-2h_{2,3}\\-3h_{3,1}&-3h_{3,2}&-3h_{3,3}\end{vmatrix}}$
${\begin{vmatrix}h_{1,1}+h_{3,1}&h_{1,2}+h_{3,2}&h_{1,3}+h_{3,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\\5h_{3,1}&5h_{3,2}&5h_{3,3}\end{vmatrix}}$

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問題 5

求一個對角矩陣的行列式。

問題 6

如果係數矩陣的行列式不為零，描述齊次線性方程組的解集。

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問題 7

證明這個行列式為零。

{\begin{vmatrix}y+z&x+z&x+y\\x&y&z\\1&1&1\end{vmatrix}}

問題 8

求 $1\!\times \!1$ , $2\!\times \!2$ , 和 $3\!\times \!3$ 矩陣的行列式，其 $i,j$ 元素由 $(-1)^{i+j}$ 給出。
求一個方陣的行列式，其 $i,j$ 元素為 $(-1)^{i+j}$ 。

問題 9

求 $1\!\times \!1$ , $2\!\times \!2$ , 和 $3\!\times \!3$ 矩陣的行列式，其 $i,j$ 元素由 $i+j$ 給出。
求一個方陣的行列式，其 $i,j$ 元素為 $i+j$ 。

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問題 10

問題 11

定義中的第二個條件，即行交換改變行列式的符號，有點令人討厭。這意味著我們必須跟蹤交換次數，以計算符號如何交替。我們能擺脫它嗎？我們可以用行交換使行列式保持不變的條件來代替它嗎？(如果是這樣，那麼我們需要新的 $1\!\times \!1$ , $2\!\times \!2$ ，和 $3\!\times \!3$ 公式，但這將是一個小問題。）

問題 12

證明任何三角矩陣（上三角或下三角）的行列式都是其對角線上元素的乘積。

問題 13

參考矩陣乘法機制小節中對初等矩陣的定義。

每種初等矩陣的行列式是多少？
證明如果 $E$ 是任何初等矩陣，那麼 $\left|ES\right|=\left|E\right|\left|S\right|$ 對任何大小合適的 $S$ 成立。
(這個問題與行列式無關。) 證明如果 $T$ 是奇異的，那麼乘積 $TS$ 也是奇異的。
證明 $\left|TS\right|=\left|T\right|\left|S\right|$ .
證明如果 $T$ 是非奇異的，那麼 $\left|T^{-1}\right|=\left|T\right|^{-1}$ .

問題 14

證明乘積的行列式等於行列式的乘積 $\left|TS\right|=\left|T\right|\,\left|S\right|$ ，方法如下。固定 $n\!\times \!n$ 矩陣 $S$ ，並考慮由 $T\mapsto \left|TS\right|/\left|S\right|$ 給出的函式 $d:{\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}\to \mathbb {R}$ 。