上一節定義了一個函式為行列式，如果它滿足四個條件，並表明對於每個 n × n {\displaystyle n\!\times \!n} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n}
這樣的函式怎麼會不存在呢？畢竟，我們已經做過一些計算，這些計算從一個方陣開始，遵循條件，並以一個數字結束。
困難在於，就我們所知，計算可能不會得到一個明確的結果。為了說明這種可能性，假設我們把行列式定義中的第二個條件改為行列式的值在行交換時不會改變。根據 備註 2.2 ，我們知道這與第一個和第三個條件相沖突。這裡有一個衝突的例子：以下是同一個矩陣的兩種高斯消元法，第一個沒有行交換
( 1 2 3 4 ) → − 3 ρ 1 + ρ 2 ( 1 2 0 − 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&2\\0&-2\end{pmatrix}}} 第二個進行交換。
( 1 2 3 4 ) → ρ 1 ↔ ρ 2 ( 3 4 1 2 ) → − ( 1 / 3 ) ρ 1 + ρ 2 ( 3 4 0 2 / 3 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}}}{\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-(1/3)\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}3&4\\0&2/3\end{pmatrix}}} 遵循 定義 2.1 ，這兩個計算都得到行列式 − 2 {\displaystyle -2} − 2 {\displaystyle -2} 2 {\displaystyle 2}
當然，觀察到 定義 2.1 在這個特定例子中做對了，這還不夠；我們將在本節的剩餘部分證明，永遠不會出現衝突。嘗試證明的自然方法是定義行列式函式為：“函式的值是使用高斯消元法計算的結果，跟蹤行交換，並透過對角線相乘得到最終結果”。（由於高斯消元法允許一些變體，例如選擇哪一行進行交換，我們需要固定一個明確的演算法。）然後，如果我們驗證這種計算行列式的方法滿足四個性質，我們就完成了。例如，如果 T {\displaystyle T} T ^ {\displaystyle {\hat {T}}}
我們將使用的公式基於從行列式定義的性質 (3) 中得到的洞察力。此性質表明行列式是非線性的。
示例 3.1
對於這個矩陣 det ( 2 A ) ≠ 2 ⋅ det ( A ) {\displaystyle \det(2A)\neq 2\cdot \det(A)}
A = ( 2 1 − 1 3 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&3\end{pmatrix}}} 相反，標量會從兩個行中的每一行中提取出來。
| 4 2 − 2 6 | = 2 ⋅ | 2 1 − 2 6 | = 4 ⋅ | 2 1 − 1 3 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}4&2\\-2&6\end{vmatrix}}=2\cdot {\begin{vmatrix}2&1\\-2&6\end{vmatrix}}=4\cdot {\begin{vmatrix}2&1\\-1&3\end{vmatrix}}}
由於標量一次從一行中提取出來，我們可能會猜到行列式在一次一行中是線性的。
定義 3.2
令 V {\displaystyle V} f : V n → R {\displaystyle f:V^{n}\to \mathbb {R} } 多線性的 ，如果
f ( ρ → 1 , … , v → + w → , … , ρ → n ) = f ( ρ → 1 , … , v → , … , ρ → n ) + f ( ρ → 1 , … , w → , … , ρ → n ) {\displaystyle f({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {v}}+{\vec {w}},\ldots ,{\vec {\rho }}_{n})=f({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {v}},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})+f({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {w}},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})}
f ( ρ → 1 , … , k v → , … , ρ → n ) = k ⋅ f ( ρ → 1 , … , v → , … , ρ → n ) {\displaystyle f({\vec {\rho }}_{1},\dots ,k{\vec {v}},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})=k\cdot f({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {v}},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})}
對於 v → , w → ∈ V {\displaystyle {\vec {v}},{\vec {w}}\in V} k ∈ R {\displaystyle k\in \mathbb {R} }
證明
行列式的定義給出了性質 (2) (引理 2.3 在該定義之後涵蓋了 k = 0 {\displaystyle k=0}
det ( ρ → 1 , … , v → + w → , … , ρ → n ) = det ( ρ → 1 , … , v → , … , ρ → n ) + det ( ρ → 1 , … , w → , … , ρ → n ) {\displaystyle \det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {v}}+{\vec {w}},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})=\det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {v}},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})+\det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {w}},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})} 如果集合 { ρ → 1 , … , ρ → i − 1 , ρ → i + 1 , … , ρ → n } {\displaystyle \{{\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {\rho }}_{i-1},{\vec {\rho }}_{i+1},\dots ,{\vec {\rho }}_{n}\}} n {\displaystyle n} n − 1 {\displaystyle n-1} ⟨ ρ → 1 , … , ρ → i − 1 , β → , ρ → i + 1 , … , ρ → n ⟩ {\displaystyle \langle {\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {\rho }}_{i-1},{\vec {\beta }},{\vec {\rho }}_{i+1},\dots ,{\vec {\rho }}_{n}\rangle } v → {\displaystyle {\vec {v}}} w → {\displaystyle {\vec {w}}}
v → = v 1 ρ → 1 + ⋯ + v i − 1 ρ → i − 1 + v i β → + v i + 1 ρ → i + 1 + ⋯ + v n ρ → n w → = w 1 ρ → 1 + ⋯ + w i − 1 ρ → i − 1 + w i β → + w i + 1 ρ → i + 1 + ⋯ + w n ρ → n {\displaystyle {\begin{array}{rl}{\vec {v}}&=v_{1}{\vec {\rho }}_{1}+\dots +v_{i-1}{\vec {\rho }}_{i-1}+v_{i}{\vec {\beta }}+v_{i+1}{\vec {\rho }}_{i+1}+\dots +v_{n}{\vec {\rho }}_{n}\\{\vec {w}}&=w_{1}{\vec {\rho }}_{1}+\dots +w_{i-1}{\vec {\rho }}_{i-1}+w_{i}{\vec {\beta }}+w_{i+1}{\vec {\rho }}_{i+1}+\dots +w_{n}{\vec {\rho }}_{n}\end{array}}} 得出以下結果。
v → + w → = ( v 1 + w 1 ) ρ → 1 + ⋯ + ( v i + w i ) β → + ⋯ + ( v n + w n ) ρ → n {\displaystyle {\vec {v}}+{\vec {w}}=(v_{1}+w_{1}){\vec {\rho }}_{1}+\dots +(v_{i}+w_{i}){\vec {\beta }}+\dots +(v_{n}+w_{n}){\vec {\rho }}_{n}} 根據行列式的定義， det ( ρ → 1 , … , v → + w → , … , ρ → n ) {\displaystyle \det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {v}}+{\vec {w}},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})} − ( v 1 + w 1 ) ρ → 1 {\displaystyle -(v_{1}+w_{1}){\vec {\rho }}_{1}} v → + w → {\displaystyle {\vec {v}}+{\vec {w}}}
v → + w → − ( v 1 + w 1 ) ρ → 1 = ( v 2 + w 2 ) ρ → 2 + ⋯ + ( v i + w i ) β → + ⋯ + ( v n + w n ) ρ → n {\displaystyle {\vec {v}}+{\vec {w}}-(v_{1}+w_{1}){\vec {\rho }}_{1}=(v_{2}+w_{2}){\vec {\rho }}_{2}+\cdots +(v_{i}+w_{i}){\vec {\beta }}+\dots +(v_{n}+w_{n}){\vec {\rho }}_{n}} 然後，我們可以將 − ( v 2 + w 2 ) ρ → 2 {\displaystyle -(v_{2}+w_{2}){\vec {\rho }}_{2}}
det ( ρ → 1 , … , v → + w → , … , ρ → n ) {\displaystyle \det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {v}}+{\vec {w}},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})} = det ( ρ → 1 , … , ( v i + w i ) ⋅ β → , … , ρ → n ) = ( v i + w i ) ⋅ det ( ρ → 1 , … , β → , … , ρ → n ) = v i ⋅ det ( ρ → 1 , … , β → , … , ρ → n ) + w i ⋅ det ( ρ → 1 , … , β → , … , ρ → n ) {\displaystyle {\begin{aligned}&=\det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,(v_{i}+w_{i})\cdot {\vec {\beta }},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})\\&=(v_{i}+w_{i})\cdot \det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})\\&=v_{i}\cdot \det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})+w_{i}\cdot \det({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})\end{aligned}}} (使用等式(2)得到第二步)。最後，將 v i {\displaystyle v_{i}} w i {\displaystyle w_{i}} β → {\displaystyle {\vec {\beta }}} v → {\displaystyle {\vec {v}}} w → {\displaystyle {\vec {w}}} v 1 ρ → 1 {\displaystyle v_{1}{\vec {\rho }}_{1}} v i β → {\displaystyle v_{i}{\vec {\beta }}} w 1 ρ → 1 {\displaystyle w_{1}{\vec {\rho }}_{1}} w i ρ → 1 {\displaystyle w_{i}{\vec {\rho }}_{1}}
多線性性允許我們將行列式展開成若干個行列式的和，每個行列式都包含一個簡單的矩陣。
示例 3.4
我們可以利用多線性性將這個行列式拆分成兩個，首先拆分第一行
| 2 1 4 3 | = | 2 0 4 3 | + | 0 1 4 3 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}2&1\\4&3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&0\\4&3\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&1\\4&3\end{vmatrix}}} 然後將這兩個中的每一個再拆分，沿著第二行拆分。
= | 2 0 4 0 | + | 2 0 0 3 | + | 0 1 4 0 | + | 0 1 0 3 | {\displaystyle ={\begin{vmatrix}2&0\\4&0\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}2&0\\0&3\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&1\\4&0\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&1\\0&3\end{vmatrix}}} 我們得到了四個行列式，每個矩陣的每一行都只有一個來自原始矩陣的元素。
示例 3.5
同樣地，一個 3 × 3 {\displaystyle 3\!\times \!3} 1 , 3 {\displaystyle 1,3}
| 2 1 − 1 4 3 0 _ 2 1 5 | = | 2 0 0 4 3 0 _ 2 1 5 | + | 0 1 0 4 3 0 _ 2 1 5 | + | 0 0 − 1 4 3 0 _ 2 1 5 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}2&1&-1\\4&3&{\underline {0}}\\2&1&5\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&0&0\\4&3&{\underline {0}}\\2&1&5\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&1&0\\4&3&{\underline {0}}\\2&1&5\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&0&-1\\4&3&{\underline {0}}\\2&1&5\end{vmatrix}}} 這三個中的每一個又會沿著第二行拆分成三個。最終得到的九個行列式，每一個都會沿著第三行拆分成三個，總共會得到二十七個行列式
= | 2 0 0 4 0 0 2 0 0 | + | 2 0 0 4 0 0 0 1 0 | + | 2 0 0 4 0 0 0 0 5 | + | 2 0 0 0 3 0 2 0 0 | + ⋯ + | 0 0 − 1 0 0 0 _ 0 0 5 | {\displaystyle ={\begin{vmatrix}2&0&0\\4&0&0\\2&0&0\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}2&0&0\\4&0&0\\0&1&0\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}2&0&0\\4&0&0\\0&0&5\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}2&0&0\\0&3&0\\2&0&0\end{vmatrix}}+\dots +{\begin{vmatrix}0&0&-1\\0&0&{\underline {0}}\\0&0&5\end{vmatrix}}} 使得每行都包含來自起始矩陣的單個元素。
所以一個 n × n {\displaystyle n\!\times \!n} n n {\displaystyle n^{n}}
示例 3.6
在上述展開式中的這三個矩陣中，兩個矩陣的行來自起始矩陣的同一列，例如，在第一個矩陣中， 2 {\displaystyle 2} 4 {\displaystyle 4}
| 2 0 0 4 0 0 0 1 0 | | 0 0 − 1 0 3 0 0 0 5 | | 0 1 0 0 0 0 _ 0 0 5 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}2&0&0\\4&0&0\\0&1&0\end{vmatrix}}\qquad {\begin{vmatrix}0&0&-1\\0&3&0\\0&0&5\end{vmatrix}}\qquad {\begin{vmatrix}0&1&0\\0&0&{\underline {0}}\\0&0&5\end{vmatrix}}} 任何這樣的矩陣都是奇異的，因為在每個矩陣中，一行是另一行的倍數（或零行）。因此，根據 引理 2.3 ，任何這樣的行列式都為零。
因此，上述 3 × 3 {\displaystyle 3\!\times \!3}
| 2 1 − 1 4 3 0 _ 2 1 5 | = | 2 0 0 0 3 0 0 0 5 | + | 2 0 0 0 0 0 _ 0 1 0 | + | 0 1 0 4 0 0 0 0 5 | + | 0 1 0 0 0 0 _ 2 0 0 | + | 0 0 − 1 4 0 0 0 1 0 | + | 0 0 − 1 0 3 0 2 0 0 | {\displaystyle {\begin{array}{rl}{\begin{vmatrix}2&1&-1\\4&3&{\underline {0}}\\2&1&5\end{vmatrix}}&={\begin{vmatrix}2&0&0\\0&3&0\\0&0&5\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}2&0&0\\0&0&{\underline {0}}\\0&1&0\end{vmatrix}}\\&\quad +{\begin{vmatrix}0&1&0\\4&0&0\\0&0&5\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&1&0\\0&0&{\underline {0}}\\2&0&0\end{vmatrix}}\\&\quad +{\begin{vmatrix}0&0&-1\\4&0&0\\0&1&0\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&0&-1\\0&3&0\\2&0&0\end{vmatrix}}\end{array}}} 我們可以提出標量。
= ( 2 ) ( 3 ) ( 5 ) | 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | + ( 2 ) ( 0 _ ) ( 1 ) | 1 0 0 0 0 1 0 1 0 | + ( 1 ) ( 4 ) ( 5 ) | 0 1 0 1 0 0 0 0 1 | + ( 1 ) ( 0 _ ) ( 2 ) | 0 1 0 0 0 1 1 0 0 | + ( − 1 ) ( 4 ) ( 1 ) | 0 0 1 1 0 0 0 1 0 | + ( − 1 ) ( 3 ) ( 2 ) | 0 0 1 0 1 0 1 0 0 | {\displaystyle {\begin{array}{rl}&=(2)(3)(5){\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}}+(2)({\underline {0}})(1){\begin{vmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{vmatrix}}\\&\quad +(1)(4)(5){\begin{vmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{vmatrix}}+(1)({\underline {0}})(2){\begin{vmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{vmatrix}}\\&\quad +(-1)(4)(1){\begin{vmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{vmatrix}}+(-1)(3)(2){\begin{vmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{vmatrix}}\end{array}}} 最後，我們透過將這六個行列式行交換到單位矩陣，並跟蹤由此產生的符號變化來計算它們。
= 30 ⋅ ( + 1 ) + 0 ⋅ ( − 1 ) + 20 ⋅ ( − 1 ) + 0 ⋅ ( + 1 ) − 4 ⋅ ( + 1 ) − 6 ⋅ ( − 1 ) = 12 {\displaystyle {\begin{array}{rl}&=30\cdot (+1)+0\cdot (-1)\\&\quad +20\cdot (-1)+0\cdot (+1)\\&\quad -4\cdot (+1)-6\cdot (-1)=12\end{array}}}
這個例子說明了關鍵思想。我們已經將多線性應用於一個 3 × 3 {\displaystyle 3\!\times \!3} 3 3 {\displaystyle 3^{3}}
這些是置換矩陣。因此，可以按照以下三步方式計算行列式：*（步驟 1）* 對於每個置換矩陣，將原始矩陣中該置換矩陣為 1 的項乘在一起，*（步驟 2）* 將其乘以置換矩陣的行列式，*（步驟 3）* 對所有置換矩陣執行此操作並將結果加在一起。
為了將此表示為公式，我們引入了置換矩陣的符號。令 ι j {\displaystyle \iota _{j}} j {\displaystyle j} ι 2 {\displaystyle \iota _{2}} ( 0 1 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&0&0\end{pmatrix}}} 1 {\displaystyle 1} 2 {\displaystyle 2} n {\displaystyle n} ι {\displaystyle \iota } 4 × 4 {\displaystyle 4\!\times \!4} 1 {\displaystyle 1} 4 {\displaystyle 4} ⟨ 3 , 2 , 1 , 4 ⟩ {\displaystyle \langle 3,2,1,4\rangle } ι {\displaystyle \iota }
( ι 3 ι 2 ι 1 ι 4 ) = ( 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\iota _{3}\\\iota _{2}\\\iota _{1}\\\iota _{4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}
示例 3.8
The 2 {\displaystyle 2} ϕ 1 = ⟨ 1 , 2 ⟩ {\displaystyle \phi _{1}=\langle 1,2\rangle } ϕ 2 = ⟨ 2 , 1 ⟩ {\displaystyle \phi _{2}=\langle 2,1\rangle }
P ϕ 1 = ( ι 1 ι 2 ) = ( 1 0 0 1 ) P ϕ 2 = ( ι 2 ι 1 ) = ( 0 1 1 0 ) {\displaystyle P_{\phi _{1}}={\begin{pmatrix}\iota _{1}\\\iota _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\qquad P_{\phi _{2}}={\begin{pmatrix}\iota _{2}\\\iota _{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}} 我們有時將排列寫成函式，例如， ϕ 2 ( 1 ) = 2 {\displaystyle \phi _{2}(1)=2} ϕ 2 ( 2 ) = 1 {\displaystyle \phi _{2}(2)=1} P ϕ 2 {\displaystyle P_{\phi _{2}}} ι ϕ 2 ( 1 ) = ι 2 {\displaystyle \iota _{\phi _{2}(1)}=\iota _{2}} ι ϕ 2 ( 2 ) = ι 1 {\displaystyle \iota _{\phi _{2}(2)}=\iota _{1}}
三個元素的排列有以下六種： ϕ 1 = ⟨ 1 , 2 , 3 ⟩ {\displaystyle \phi _{1}=\langle 1,2,3\rangle } ϕ 2 = ⟨ 1 , 3 , 2 ⟩ {\displaystyle \phi _{2}=\langle 1,3,2\rangle } ϕ 3 = ⟨ 2 , 1 , 3 ⟩ {\displaystyle \phi _{3}=\langle 2,1,3\rangle } ϕ 4 = ⟨ 2 , 3 , 1 ⟩ {\displaystyle \phi _{4}=\langle 2,3,1\rangle } ϕ 5 = ⟨ 3 , 1 , 2 ⟩ {\displaystyle \phi _{5}=\langle 3,1,2\rangle } ϕ 6 = ⟨ 3 , 2 , 1 ⟩ {\displaystyle \phi _{6}=\langle 3,2,1\rangle }
P ϕ 2 = ( ι 1 ι 3 ι 2 ) = ( 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ) P ϕ 5 = ( ι 3 ι 1 ι 2 ) = ( 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ) {\displaystyle P_{\phi _{2}}={\begin{pmatrix}\iota _{1}\\\iota _{3}\\\iota _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\qquad P_{\phi _{5}}={\begin{pmatrix}\iota _{3}\\\iota _{1}\\\iota _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}} 例如， P ϕ 5 {\displaystyle P_{\phi _{5}}} ι ϕ 5 ( 1 ) = ι 3 {\displaystyle \iota _{\phi _{5}(1)}=\iota _{3}} ι ϕ 5 ( 2 ) = ι 1 {\displaystyle \iota _{\phi _{5}(2)}=\iota _{1}} ι ϕ 5 ( 3 ) = ι 2 {\displaystyle \iota _{\phi _{5}(3)}=\iota _{2}}
定義 3.9
行列式的**排列展開式**是
| t 1 , 1 t 1 , 2 … t 1 , n t 2 , 1 t 2 , 2 … t 2 , n ⋮ t n , 1 t n , 2 … t n , n | = t 1 , ϕ 1 ( 1 ) t 2 , ϕ 1 ( 2 ) ⋯ t n , ϕ 1 ( n ) | P ϕ 1 | + t 1 , ϕ 2 ( 1 ) t 2 , ϕ 2 ( 2 ) ⋯ t n , ϕ 2 ( n ) | P ϕ 2 | ⋮ + t 1 , ϕ k ( 1 ) t 2 , ϕ k ( 2 ) ⋯ t n , ϕ k ( n ) | P ϕ k | {\displaystyle {\begin{vmatrix}t_{1,1}&t_{1,2}&\ldots &t_{1,n}\\t_{2,1}&t_{2,2}&\ldots &t_{2,n}\\&\vdots \\t_{n,1}&t_{n,2}&\ldots &t_{n,n}\end{vmatrix}}={\begin{array}{l}t_{1,\phi _{1}(1)}t_{2,\phi _{1}(2)}\cdots t_{n,\phi _{1}(n)}\left|P_{\phi _{1}}\right|\\[.5ex]\quad +t_{1,\phi _{2}(1)}t_{2,\phi _{2}(2)}\cdots t_{n,\phi _{2}(n)}\left|P_{\phi _{2}}\right|\\[.5ex]\quad \vdots \\\quad +t_{1,\phi _{k}(1)}t_{2,\phi _{k}(2)}\cdots t_{n,\phi _{k}(n)}\left|P_{\phi _{k}}\right|\end{array}}} 其中 ϕ 1 , … , ϕ k {\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{k}} n {\displaystyle n}
| T | = ∑ permutations ϕ t 1 , ϕ ( 1 ) t 2 , ϕ ( 2 ) ⋯ t n , ϕ ( n ) | P ϕ | {\displaystyle \left|T\right|=\sum _{{\text{permutations }}\phi }\!\!\!\!t_{1,\phi (1)}t_{2,\phi (2)}\cdots t_{n,\phi (n)}\left|P_{\phi }\right|} 讀作“對所有排列 ϕ {\displaystyle \phi } t 1 , ϕ ( 1 ) t 2 , ϕ ( 2 ) ⋯ t n , ϕ ( n ) | P ϕ | {\displaystyle t_{1,\phi (1)}t_{2,\phi (2)}\cdots t_{n,\phi (n)}\left|P_{\phi }\right|} t 1 , ϕ ( 1 ) t 2 , ϕ ( 2 ) ⋯ t n , ϕ ( n ) {\displaystyle t_{1,\phi (1)}t_{2,\phi (2)}\cdots t_{n,\phi (n)}} | P ϕ | {\displaystyle \left|P_{\phi }\right|}
示例 3.10
可以用這種方式推匯出熟悉的 2 × 2 {\displaystyle 2\!\times \!2}
| t 1 , 1 t 1 , 2 t 2 , 1 t 2 , 2 | = t 1 , 1 t 2 , 2 ⋅ | P ϕ 1 | + t 1 , 2 t 2 , 1 ⋅ | P ϕ 2 | = t 1 , 1 t 2 , 2 ⋅ | 1 0 0 1 | + t 1 , 2 t 2 , 1 ⋅ | 0 1 1 0 | = t 1 , 1 t 2 , 2 − t 1 , 2 t 2 , 1 {\displaystyle {\begin{array}{rl}{\begin{vmatrix}t_{1,1}&t_{1,2}\\t_{2,1}&t_{2,2}\end{vmatrix}}&=t_{1,1}t_{2,2}\cdot \left|P_{\phi _{1}}\right|+t_{1,2}t_{2,1}\cdot \left|P_{\phi _{2}}\right|\\&=t_{1,1}t_{2,2}\cdot {\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}+t_{1,2}t_{2,1}\cdot {\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}}\\&=t_{1,1}t_{2,2}-t_{1,2}t_{2,1}\end{array}}} (第二個置換矩陣經過一次行交換就變成單位矩陣)。類似地， 3 × 3 {\displaystyle 3\!\times \!3}
| t 1 , 1 t 1 , 2 t 1 , 3 t 2 , 1 t 2 , 2 t 2 , 3 t 3 , 1 t 3 , 2 t 3 , 3 | = t 1 , 1 t 2 , 2 t 3 , 3 | P ϕ 1 | + t 1 , 1 t 2 , 3 t 3 , 2 | P ϕ 2 | + t 1 , 2 t 2 , 1 t 3 , 3 | P ϕ 3 | + t 1 , 2 t 2 , 3 t 3 , 1 | P ϕ 4 | + t 1 , 3 t 2 , 1 t 3 , 2 | P ϕ 5 | + t 1 , 3 t 2 , 2 t 3 , 1 | P ϕ 6 | = t 1 , 1 t 2 , 2 t 3 , 3 − t 1 , 1 t 2 , 3 t 3 , 2 − t 1 , 2 t 2 , 1 t 3 , 3 + t 1 , 2 t 2 , 3 t 3 , 1 + t 1 , 3 t 2 , 1 t 3 , 2 − t 1 , 3 t 2 , 2 t 3 , 1 {\displaystyle {\begin{array}{rl}{\begin{vmatrix}t_{1,1}&t_{1,2}&t_{1,3}\\t_{2,1}&t_{2,2}&t_{2,3}\\t_{3,1}&t_{3,2}&t_{3,3}\end{vmatrix}}&={\begin{aligned}&t_{1,1}t_{2,2}t_{3,3}\left|P_{\phi _{1}}\right|+t_{1,1}t_{2,3}t_{3,2}\left|P_{\phi _{2}}\right|+t_{1,2}t_{2,1}t_{3,3}\left|P_{\phi _{3}}\right|\\&\quad +t_{1,2}t_{2,3}t_{3,1}\left|P_{\phi _{4}}\right|+t_{1,3}t_{2,1}t_{3,2}\left|P_{\phi _{5}}\right|+t_{1,3}t_{2,2}t_{3,1}\left|P_{\phi _{6}}\right|\end{aligned}}\\&={\begin{aligned}&t_{1,1}t_{2,2}t_{3,3}-t_{1,1}t_{2,3}t_{3,2}-t_{1,2}t_{2,1}t_{3,3}\\&\quad +t_{1,2}t_{2,3}t_{3,1}+t_{1,3}t_{2,1}t_{3,2}-t_{1,3}t_{2,2}t_{3,1}\end{aligned}}\end{array}}}
使用排列展開計算行列式通常比高斯消元法耗時更長。但是，這裡我們不是為了高效地進行計算，而是為了給出可以證明定義明確的行列式公式。雖然排列展開對於計算來說不切實際，但它在證明中很有用。特別是，我們可以用它來得到我們想要的結果。
定理 3.11
對於每個 n {\displaystyle n} n × n {\displaystyle n\!\times \!n}
證明將推遲到下一小節。下一結果的證明也在那裡（它們有一些共同點）。
這個定理的結果是，雖然我們迄今為止在行方面陳述了結果（例如，行列式對其行是多線性的，行交換改變符號等），但所有結果在列方面也成立。最後的結論給出了例子。
推論 3.13
具有兩列相等的矩陣是奇異的。列交換改變行列式的符號。行列式對其列是多線性的。
證明
對於第一個結論，對矩陣進行轉置會得到一個行列式相同、兩行相等的矩陣，因此行列式為零。另外兩個結論的證明方式相同。
我們以一個總結結束（雖然最後一個小節包含了證明這兩個定理的未完成工作）。行列式函式存在，是唯一的，並且我們知道如何計算它們。至於行列式究竟是關於什麼的，也許這些行（Kemp 1982 ）可以幫助你記住它。行列式為零，
這些總結了本書中使用的 2 {\displaystyle 2} 3 {\displaystyle 3}
i 1 2 ϕ 1 ( i ) 1 2 ϕ 2 ( i ) 2 1 i 1 2 3 ϕ 1 ( i ) 1 2 3 ϕ 2 ( i ) 1 3 2 ϕ 3 ( i ) 2 1 3 ϕ 4 ( i ) 2 3 1 ϕ 5 ( i ) 3 1 2 ϕ 6 ( i ) 3 2 1 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}i&1&2\\\hline \phi _{1}(i)&1&2\\\phi _{2}(i)&2&1\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|ccc}i&1&2&3\\\hline \phi _{1}(i)&1&2&3\\\phi _{2}(i)&1&3&2\\\phi _{3}(i)&2&1&3\\\phi _{4}(i)&2&3&1\\\phi _{5}(i)&3&1&2\\\phi _{6}(i)&3&2&1\end{array}}}
本練習建議所有讀者嘗試。
問題 1
使用排列展開式計算行列式。
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}}}
| 2 2 1 3 − 1 0 − 2 0 5 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}2&2&1\\3&-1&0\\-2&0&5\end{vmatrix}}}
本練習建議所有讀者嘗試。
問題 2
使用高斯消元法和排列展開式公式計算以下行列式。
| 2 1 3 1 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}2&1\\3&1\end{vmatrix}}} | 0 1 4 0 2 3 1 5 1 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}0&1&4\\0&2&3\\1&5&1\end{vmatrix}}}
本練習建議所有讀者嘗試。
問題 3
使用排列展開式公式推導 3 × 3 {\displaystyle 3\!\times \!3}
問題 4
列出所有 4 {\displaystyle 4}
問題 6
證明 f {\displaystyle f} v → , w → ∈ V {\displaystyle {\vec {v}},{\vec {w}}\in V} k 1 , k 2 ∈ R {\displaystyle k_{1},k_{2}\in \mathbb {R} }
f ( ρ → 1 , … , k 1 v → 1 + k 2 v → 2 , … , ρ → n ) = k 1 f ( ρ → 1 , … , v → 1 , … , ρ → n ) + k 2 f ( ρ → 1 , … , v → 2 , … , ρ → n ) {\displaystyle f({\vec {\rho }}_{1},\dots ,k_{1}{\vec {v}}_{1}+k_{2}{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})=k_{1}f({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})+k_{2}f({\vec {\rho }}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {\rho }}_{n})}
問題 7
找到該矩陣的排列展開式中唯一的非零項。
| 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}0&1&0&0\\1&0&1&0\\0&1&0&1\\0&0&1&0\end{vmatrix}}} 透過求出關聯排列的符號來計算該行列式。
問題 8
如果我們將定義中的性質 (4) 改為 | I | = 2 {\displaystyle \left|I\right|=2}
本練習建議所有讀者嘗試。
問題 10
證明如果一個 n × n {\displaystyle n\!\times \!n} v → ∈ R n {\displaystyle {\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}}
問題 12
證明一個 5 × 5 {\displaystyle 5\!\times \!5} 120 {\displaystyle 120} 如果 1 , 2 {\displaystyle 1,2}
問題 13
有多少個 n {\displaystyle n}
本練習建議所有讀者嘗試。
問題 15
一個 4 × 4 {\displaystyle 4\!\times \!4}
本練習建議所有讀者嘗試。
問題 16
如果我們有 n {\displaystyle n} ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , … , ( x n , y n ) {\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\dots \,,(x_{n},y_{n})} p ( x ) = a n − 1 x n − 1 + a n − 2 x n − 2 + ⋯ + a 1 x + a 0 {\displaystyle p(x)=a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\dots +a_{1}x+a_{0}} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n}
| 1 1 … 1 x 1 x 2 … x n x 1 2 x 2 2 … x n 2 ⋮ x 1 n − 1 x 2 n − 1 … x n n − 1 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}1&1&\ldots &1\\x_{1}&x_{2}&\ldots &x_{n}\\{x_{1}}^{2}&{x_{2}}^{2}&\ldots &{x_{n}}^{2}\\&\vdots \\{x_{1}}^{n-1}&{x_{2}}^{n-1}&\ldots &{x_{n}}^{n-1}\end{vmatrix}}} 等於所有索引 i , j ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle i,j\in \{1,\dots ,n\}} i < j {\displaystyle i<j} x j − x i {\displaystyle x_{j}-x_{i}} x i {\displaystyle x_{i}}
本練習建議所有讀者嘗試。
? 問題 19
九個正整數可以排列成 3 × 3 {\displaystyle 3\!\times \!3} 9 ! {\displaystyle 9!} Trigg 1963 )
問題 20
證明
| x − 2 x − 3 x − 4 x + 1 x − 1 x − 3 x − 4 x − 7 x − 10 | = 0. {\displaystyle {\begin{vmatrix}x-2&x-3&x-4\\x+1&x-1&x-3\\x-4&x-7&x-10\end{vmatrix}}=0.} (Silverman & Trigg 1963 )
? 問題 22
證明帕斯卡三角形左上角的 n 2 {\displaystyle n^{2}}
1 1 1 1 . . 1 2 3 . . 1 3 . . 1 . . . . {\displaystyle {\begin{array}{cccccc}1&1&1&1&.&.\\1&2&3&.&.\\1&3&.&.&&\\1&.&.&&&\\.\\.\end{array}}} 的值為1。 (Rupp & Aude 1931 )
解決方案
Kemp, Franklin (1982), "Linear Equations", American Mathematical Monthly , American Mathematical Society: 608 Silverman, D. L. (proposer); Trigg, C. W. (solver) (1963), "Quickie 237", Mathematics Magazine , American Mathematical Society, 36 (1) Strang, Gilbert (1980), Linear Algebra and its Applications (2nd ed.), Hartcourt Brace Javanovich Trigg, C. W. (proposer) (1963), "Quickie 307", Mathematics Magazine , American Mathematical Society, 36 (1): 77 Trigg, C. W. (proposer); Walker, R. J. (solver) (1949), "Elementary Problem 813", American Mathematical Monthly , American Mathematical Society, 56 (1) Rupp, C. A. (proposer); Aude, H. T. R. (solver) (1931), "Problem 3468", American Mathematical Monthly , American Mathematical Society, 37 (6): 355 
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&2\\0&-2\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ea5b08ddf850535e975de4e957cd93cecdfb73)
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}}}{\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-(1/3)\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}3&4\\0&2/3\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca769c96e028a2353c25170effe294b86d424b3f)
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}t_{1,1}&t_{1,2}&\ldots &t_{1,n}\\t_{2,1}&t_{2,2}&\ldots &t_{2,n}\\&\vdots \\t_{n,1}&t_{n,2}&\ldots &t_{n,n}\end{vmatrix}}={\begin{array}{l}t_{1,\phi _{1}(1)}t_{2,\phi _{1}(2)}\cdots t_{n,\phi _{1}(n)}\left|P_{\phi _{1}}\right|\\[.5ex]\quad +t_{1,\phi _{2}(1)}t_{2,\phi _{2}(2)}\cdots t_{n,\phi _{2}(n)}\left|P_{\phi _{2}}\right|\\[.5ex]\quad \vdots \\\quad +t_{1,\phi _{k}(1)}t_{2,\phi _{k}(2)}\cdots t_{n,\phi _{k}(n)}\left|P_{\phi _{k}}\right|\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/492a6002409713d21651ff2dedac1627c399319f)
