線性代數/行列式性質/解答

解答

對於這些，假設一個 $n\!\times \!n$ 行列式函式對於所有 $n$ 都存在。

建議所有讀者練習。

問題 1

使用高斯消元法求解每個行列式。

${\begin{vmatrix}3&1&2\\3&1&0\\0&1&4\end{vmatrix}}$
${\begin{vmatrix}1&0&0&1\\2&1&1&0\\-1&0&1&0\\1&1&1&0\end{vmatrix}}$

解答

${\begin{vmatrix}3&1&2\\3&1&0\\0&1&4\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}3&1&2\\0&0&-2\\0&1&4\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}3&1&2\\0&1&4\\0&0&-2\end{vmatrix}}=6$
${\begin{vmatrix}1&0&0&1\\2&1&1&0\\-1&0&1&0\\1&1&1&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&0&0&1\\0&1&1&-2\\0&0&1&1\\0&1&1&-1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&0&0&1\\0&1&1&-2\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{vmatrix}}=1$

問題 2: 使用高斯消元法求解每個。

${\begin{vmatrix}2&-1\\-1&-1\end{vmatrix}}$
${\begin{vmatrix}1&1&0\\3&0&2\\5&2&2\end{vmatrix}}$

解答

${\begin{vmatrix}2&-1\\-1&-1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&-1\\0&-3/2\end{vmatrix}}=-3$ ;
${\begin{vmatrix}1&1&0\\3&0&2\\5&2&2\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&1&0\\0&-3&2\\0&-3&2\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&1&0\\0&-3&2\\0&0&0\end{vmatrix}}=0$

問題 3

對於哪些 $k$ 的值，該系統具有唯一解？

{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&+&z&-&w&=&2\\&&y&-&2z&&&=&3\\x&&&+&kz&&&=&4\\&&&&z&-&w&=&2\end{array}}

解答

什麼時候行列式不為零？

{\begin{vmatrix}1&0&1&-1\\0&1&-2&0\\1&0&k&0\\0&0&1&-1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&0&1&-1\\0&1&-2&0\\0&0&k-1&1\\0&0&1&-1\end{vmatrix}}

顯然， $k=1$ 會使矩陣非奇異，從而得到一個非零行列式。如果 $k\neq 1$ ，那麼我們得到一個以 $(-1/k-1)\rho _{3}+\rho _{4}$ 為主元的階梯形式。

={\begin{vmatrix}1&0&1&-1\\0&1&-2&0\\0&0&k-1&1\\0&0&0&-1-(1/k-1)\end{vmatrix}}

沿對角線相乘得到 $(k-1)(-1-(1/k-1))=-(k-1)-1=-k$ 。因此，當且僅當 $k\neq 0$ 時，該矩陣具有非零行列式，從而系統具有唯一解。

建議所有讀者練習。

問題 4

用 $\left|H\right|$ 表示這些表示式。

${\begin{vmatrix}h_{3,1}&h_{3,2}&h_{3,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\\h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,3}\end{vmatrix}}$
${\begin{vmatrix}-h_{1,1}&-h_{1,2}&-h_{1,3}\\-2h_{2,1}&-2h_{2,2}&-2h_{2,3}\\-3h_{3,1}&-3h_{3,2}&-3h_{3,3}\end{vmatrix}}$
${\begin{vmatrix}h_{1,1}+h_{3,1}&h_{1,2}+h_{3,2}&h_{1,3}+h_{3,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\\5h_{3,1}&5h_{3,2}&5h_{3,3}\end{vmatrix}}$

解答

行列式定義的性質 (2) 透過交換 $\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{3}$ 應用。
${\begin{vmatrix}h_{3,1}&h_{3,2}&h_{3,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\\h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,3}\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\\h_{3,1}&h_{3,2}&h_{3,3}\end{vmatrix}}$
性質 (3) 應用。
${\begin{vmatrix}-h_{1,1}&-h_{1,2}&-h_{1,3}\\-2h_{2,1}&-2h_{2,2}&-2h_{2,3}\\-3h_{3,1}&-3h_{3,2}&-3h_{3,3}\end{vmatrix}}=(-1)\cdot (-2)\cdot (-3)\cdot {\begin{vmatrix}h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\\h_{3,1}&h_{3,2}&h_{3,3}\end{vmatrix}}=(-6)\cdot {\begin{vmatrix}h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\\h_{3,1}&h_{3,2}&h_{3,3}\end{vmatrix}}$
${\begin{array}{rl}{\begin{vmatrix}h_{1,1}+h_{3,1}&h_{1,2}+h_{3,2}&h_{1,3}+h_{3,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\\5h_{3,1}&5h_{3,2}&5h_{3,3}\end{vmatrix}}&=5\cdot {\begin{vmatrix}h_{1,1}+h_{3,1}&h_{1,2}+h_{3,2}&h_{1,3}+h_{3,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\\h_{3,1}&h_{3,2}&h_{3,3}\end{vmatrix}}\\&=5\cdot {\begin{vmatrix}h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,3}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}\\h_{3,1}&h_{3,2}&h_{3,3}\end{vmatrix}}\end{array}}$

建議所有讀者練習。

問題 5

求一個對角矩陣的行列式。

解答

對角矩陣是階梯形，所以行列式是沿著對角線的乘積。

問題 6

如果係數矩陣的行列式不為零，描述齊次線性方程組的解集。

解答

它是平凡子空間。

建議所有讀者練習。

問題 7

證明這個行列式為零。

{\begin{vmatrix}y+z&x+z&x+y\\x&y&z\\1&1&1\end{vmatrix}}

解答

透過將第二行加到第一行來進行主元操作，得到一個矩陣，其第一行是 $x+y+z$ 乘以第三行。

問題 8

找到 $1\!\times \!1$ 、 $2\!\times \!2$ 和 $3\!\times \!3$ 矩陣，其中 $i,j$ 項由 $(-1)^{i+j}$ 給出。
找到 $i,j$ 項為 $(-1)^{i+j}$ 的方陣的行列式。

解答

${\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}$ ， ${\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}}$ ， ${\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&1&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}}$
$1\!\times \!1$ 情況下的行列式為 $1$ 。在其他所有情況下，第二行是第一行的負數，因此矩陣是奇異的，行列式為零。

問題 9

找到 $1\!\times \!1$ 、 $2\!\times \!2$ 和 $3\!\times \!3$ 矩陣，其中 $i,j$ 項由 $i+j$ 給出。
找到 $i,j$ 項為 $i+j$ 的方陣的行列式。

解答

${\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}2&3\\3&4\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}2&3&4\\3&4&5\\4&5&6\end{pmatrix}}$
的 $1\!\times \!1$ 和 $2\!\times \!2$ 的情況得到以下結果。
${\begin{vmatrix}2\end{vmatrix}}=2\qquad {\begin{vmatrix}2&3\\3&4\end{vmatrix}}=-1$
而且 $n\!\times \!n$ 矩陣，其中 $n\geq 3$ 是奇異的，例如：
${\begin{vmatrix}2&3&4\\3&4&5\\4&5&6\end{vmatrix}}=0$
因為第二行的兩倍減去第一行等於第三行。檢查這是例行的。

建議所有讀者練習。

問題 10

解答

這個

A=B={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}

很容易檢查。

\left|A+B\right|={\begin{vmatrix}2&4\\6&8\end{vmatrix}}=-8\qquad \left|A\right|+\left|B\right|=-2-2=-4

順便說一下，這也給出了一個例子，說明標量乘法沒有保留 $\left|2\cdot A\right|\neq 2\cdot \left|A\right|$ 。

問題 11

定義中的第二個條件，即行交換會改變行列式的符號，有點煩人。這意味著我們必須跟蹤交換的次數，以計算符號如何交替。我們可以擺脫它嗎？我們可以用行交換使行列式保持不變的條件來代替它嗎？ (如果是這樣，那麼我們將需要新的 $1\!\times \!1$ ， $2\!\times \!2$ 和 $3\!\times \!3$ 公式，但這將是一個小問題。）

解答

不，我們不能替換它。備註 2.2 表明替換後的四個條件會產生衝突 - 沒有函式能滿足所有四個條件。

問題 12

證明任何三角矩陣（上三角或下三角）的行列式等於其對角線上的元素的乘積。

解答

上三角矩陣是階梯形式的。

下三角矩陣要麼是奇異的，要麼是非奇異的。如果它是奇異的，那麼它在對角線上有一個零，因此它的行列式（即零）確實是其對角線上元素的乘積。如果它是非奇異的，那麼它在對角線上沒有零，並且可以透過高斯消元法將其化簡為階梯形式，而不會改變對角線。

問題 13

請參考矩陣乘法機制部分中對初等矩陣的定義。

每種初等矩陣的行列式是多少？
證明如果 $E$ 是任何初等矩陣，則 $\left|ES\right|=\left|E\right|\left|S\right|$ 對於任何適當大小的 $S$ 。
(這個問題不涉及行列式。) 證明如果 $T$ 是奇異的，則乘積 $TS$ 也是奇異的。
證明 $\left|TS\right|=\left|T\right|\left|S\right|$ 。
證明如果 $T$ 是非奇異的，則 $\left|T^{-1}\right|=\left|T\right|^{-1}$ 。

解答

行列式的定義中的性質表明 $\left|M_{i}(k)\right|=k$ ， $\left|P_{i,j}\right|=-1$ ，以及 $\left|C_{i,j}(k)\right|=1$ 。
透過回顧每種矩陣的左乘作用，很容易檢查這三種情況。
如果 $TS$ 是可逆的 $(TS)M=I$ ，則矩陣乘法的結合律 $T(SM)=I$ 表明 $T$ 是可逆的。因此，如果 $T$ 不可逆，則 $TS$ 也不可逆。
如果 $T$ 是奇異的，那麼應用前面的答案： $\left|TS\right|=0$ 以及 $\left|T\right|\cdot \left|S\right|=0\cdot \left|S\right|=0$ 。如果 $T$ 不是奇異的，那麼它可以寫成初等矩陣的乘積 $\left|TS\right|=\left|E_{r}\cdots E_{1}S\right|=\left|E_{r}\right|\cdots \left|E_{1}\right|\cdot \left|S\right|=\left|E_{r}\cdots E_{1}\right|\left|S\right|=\left|T\right|\left|S\right|$ .
$1=\left|I\right|=\left|T\cdot T^{-1}\right|=\left|T\right|\left|T^{-1}\right|$

問題 14

證明乘積的行列式等於行列式的乘積 $\left|TS\right|=\left|T\right|\,\left|S\right|$ 。以這種方式固定 $n\!\times \!n$ 矩陣 $S$ 並考慮函式 $d:{\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}\to \mathbb {R}$ 由此給出 $T\mapsto \left|TS\right|/\left|S\right|$ .

檢查 $d$ 是否滿足行列式函式定義中的性質 (1)。
檢查性質 (2)。
檢查性質 (3)。
檢查性質 (4)。
得出結論：乘積的行列式等於行列式的乘積。

解答

我們必須證明如果
$T{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}+\rho _{j}}}{\hat {T}}$
然後 $d(T)=\left|TS\right|/\left|S\right|=\left|{\hat {T}}S\right|/\left|S\right|=d({\hat {T}})$ 。如果我們證明先進行主元運算，然後進行矩陣乘法得到 ${\hat {T}}S$ 與先進行矩陣乘法得到 $TS$ 然後進行主元運算結果相同（因為行列式 $\left|TS\right|$ 不受主元運算的影響，所以我們最終將得到 $\left|{\hat {T}}S\right|=\left|TS\right|$ ，因此 $d({\hat {T}})=d(T)$ ）。該論證如下：在將 $TS$ 的第 $i$ 行乘以 $k$ 加到第 $j$ 行後，第 $j,p$ 個元素是 $(kt_{i,1}+t_{j,1})s_{1,p}+\dots +(kt_{i,r}+t_{j,r})s_{r,p}$ ，它也是 ${\hat {T}}S$ 的第 $j,p$ 個元素。
我們只需要證明交換 $T[b]{\xrightarrow[{}]{\rho _{i}\leftrightarrow \rho _{j}}}{\hat {T}}$ ，然後相乘得到 ${\hat {T}}S$ 的結果與先將 $T$ 乘以 $S$ ，然後再交換（因為，由於行列式 $\left|TS\right|$ 在行交換時會改變符號，因此我們將得到 $\left|{\hat {T}}S\right|=-\left|TS\right|$ ，因此 $d({\hat {T}})=-d(T)$ ）。這個論證與之前的論證類似。
不出所料，我們只需要證明將行乘以非零標量 $T[b]{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}}}{\hat {T}}$ ，然後計算 ${\hat {T}}S$ 的結果與先計算 $TS$ 然後將行乘以 $k$ （因為行列式 $\left|TS\right|$ 在乘法時被 $k$ 重新縮放，我們將得到 $\left|{\hat {T}}S\right|=k\left|TS\right|$ ，因此 $d({\hat {T}})=k\,d(T)$ ）。該論證與上述論證相同。
清楚。
因為我們已經證明 $d(T)$ 是一個行列式，並且行列式函式（如果存在）是唯一的，因此 $\left|T\right|=d(T)=\left|TS\right|/\left|S\right|$ 。

問題 15

給定矩陣 $A$ 的 **子矩陣** 是透過刪除 $A$ 中的某些行和列而得到的矩陣。因此，這裡的第一個矩陣是第二個矩陣的子矩陣。

{\begin{pmatrix}3&1\\2&5\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}3&4&1\\0&9&-2\\2&-1&5\end{pmatrix}}

證明對於任何方陣，矩陣的秩為 $r$ 當且僅當 $r$ 是存在一個 $r\!\times \!r$ 子矩陣，且該子矩陣行列式不為零，的最大整數。

解答

首先我們論證一個秩為 $r$ 的矩陣存在一個 $r\!\times \!r$ 子矩陣，且該子矩陣行列式不為零。秩為 $r$ 的矩陣有一組線性無關的 $r$ 行。由這些行組成的矩陣的秩為 $r$ ，因此它的列秩為 $r$ 。結論：從這些 $r$ 行中可以提取出一組線性無關的 $r$ 列，因此原始矩陣存在一個秩為 $r$ 的 $r\!\times \!r$ 子矩陣。

最後，我們證明了如果 $r$ 是最大的整數，則矩陣的秩為 $r$ 。根據 $r$ 的最大性，我們只需要證明，如果一個矩陣有一個 $k\!\times \!k$ 子矩陣，其行列式不為零，則該矩陣的秩至少為 $k$ 。考慮這樣一個 $k\!\times \!k$ 子矩陣。它的行是原矩陣行的部分，顯然，整行集是線性無關的。因此，原矩陣的行秩至少為 $k$ ，並且矩陣的行秩等於它的秩。

建議所有讀者練習。

問題 16

證明一個具有有理數元素的矩陣具有有理數行列式。

解答

一個只有有理數元素的矩陣可以用高斯消元法用有理數運算簡化為階梯型矩陣。因此，對角線上的元素必須是有理數，所以沿對角線相乘的結果是有理數。

？問題 17

找出以下操作的相似之處：（a）簡化分數，（b）補粉，（c）在教堂上修建新的臺階，（d）讓名譽教授留在校園裡，（e）在行列式中將 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 。

{\begin{vmatrix}1&a&a^{2}&a^{3}\\a^{3}&1&a&a^{2}\\B&a^{3}&1&a\\C&D&a^{3}&1\end{vmatrix}}.

(Anning & Trigg 1953)

解答

這是引用的來源給出的答案。

行列式的值 $(1-a^{4})^{3}$ 與 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的值無關。因此，操作（e）不會改變行列式的值，而僅僅是改變它的外觀。因此，（a）、（b）、（c）、（d）和（e）的相似之處僅在於主體的外觀發生了變化。同樣的元素出現在（f）改變玫瑰的名稱標籤，（g）用 12 進位制寫一個十進位制整數，（h）給百合花鍍金，（i）粉飾政治人物，以及（j）授予名譽學位。

參考文獻

Anning, Norman (proposer); Trigg, C. W. (solver) (1953), "Elementary problem 1016", American Mathematical Monthly, American Mathematical Society, 60 (2): 115 {{citation}}: Unknown parameter |month= ignored (help).