對於 1 × 1 {\displaystyle 1\!\times \!1} 矩陣，確定非奇異性是微不足道的。
( a ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a\end{pmatrix}}} 非奇異當且僅當 a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0}
的 2 × 2 {\displaystyle 2\!\times \!2} 公式是在開發逆矩陣的過程中產生的。
( a b c d ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} 非奇異當且僅當 a d − b c ≠ 0 {\displaystyle ad-bc\neq 0}
的 3 × 3 {\displaystyle 3\!\times \!3} 公式可以透過類似的方式得到（參見問題 9）。
( a b c d e f g h i ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}} 非奇異當且僅當 a e i + b f g + c d h − h f a − i d b − g e c ≠ 0 {\displaystyle aei+bfg+cdh-hfa-idb-gec\neq 0}
考慮到這些情況，我們提出了一個公式族， a {\displaystyle a} ， a d − b c {\displaystyle ad-bc} 等。對於每個 n {\displaystyle n} ，公式產生了一個行列式函式 det n × n : M n × n → R {\displaystyle \det \nolimits _{n\!\times \!n}:{\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}\to \mathbb {R} } ，使得一個 n × n {\displaystyle n\!\times \!n} 矩陣 T {\displaystyle T} 是非奇異的當且僅當 det n × n ( T ) ≠ 0 {\displaystyle \det \nolimits _{n\!\times \!n}(T)\neq 0} 。（我們通常省略下標，因為如果 T {\displaystyle T} 是 n × n {\displaystyle n\!\times \!n} ，那麼“ det ( T ) {\displaystyle \det(T)} ”只能意味著“ det n × n ( T ) {\displaystyle \det \nolimits _{n\!\times \!n}(T)} ”。）
