線性代數/行列式

在本書的第一章中，我們考慮了線性系統，並挑選出方程個數與未知量個數相同的特殊情況，即形式為$T{\vec {x}}={\vec {b}}$，其中$T$ 是一個方陣。我們注意到 $T$ 的兩類之間的區別。雖然這樣的系統可能有一個唯一解、無解或無窮多個解，但如果某個特定的 $T$ 與任何系統中的唯一解相關聯，例如齊次系統 ${\vec {b}}={\vec {0}}$，那麼 $T$ 與每個 ${\vec {b}}$ 的唯一解相關聯。我們將這種係數矩陣稱為“非奇異”。另一種型別的 $T$，其中它作為係數矩陣的每個線性系統要麼無解，要麼有無窮多個解，我們稱之為“奇異”。

在第二章和第三章中，這種區別的價值一直是一個主題。例如，我們現在知道，$n\!\times \!n$ 矩陣 $T$ 的非奇異性等價於以下每個條件

1. 系統 $T{\vec {x}}={\vec {b}}$ 有解，且該解是唯一的；
2. $T$ 的高斯-約旦消元得到一個單位矩陣；
3. $T$ 的行構成一個線性無關集；
4. $T$ 的列構成 $\mathbb {R} ^{n}$ 的基；
5. $T$ 表示的任何對映都是一個同構；
6. 存在一個逆矩陣 $T^{-1}$。

因此，當我們檢視一個特定的方陣時，我們首先要問的問題之一就是它是否是非奇異的。本章將開發一個公式來確定這一點。（由於我們將討論限制在方陣，因此在本章中，我們通常會簡單地說“矩陣”來代替“方陣”。）

更準確地說，我們將開發無窮多個公式，一個用於$1\!\times \!1$矩陣，一個用於$2\!\times \!2$矩陣，等等。當然，這些公式是相關的——也就是說，我們將開發一個公式族，一個描述每種大小公式的方案。