線性代數/主題：正交矩陣

在《幾何原本》中，歐幾里得認為如果兩個圖形具有相同的大小和形狀，則它們相同。也就是說，下面的三角形並不相等，因為它們不是同一組點。 但它們是全等的——對於歐幾里得的目的來說基本上是無法區分的——因為我們可以想象拿起平面，將其滑動並旋轉一點，但不要扭曲或拉伸它，然後將其放回去，以將第一個圖形疊加在第二個圖形上。（歐幾里得從未明確說明過這個原理，但他在書中經常使用它 (Casey 1890)。）

在現代術語中，“拿起平面...”意味著考慮從平面到自身的對映。歐幾里得只將考慮範圍限制在平面上的某些變換，這些變換可能可以滑動或旋轉平面，但不能彎曲或拉伸它。 因此，我們定義對映 $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 為保距對映、剛體運動或等距對映，如果對於所有點 $P_{1},P_{2}\in \mathbb {R} ^{2}$，從 $f(P_{1})$ 到 $f(P_{2})$ 的距離等於從 $P_{1}$ 到 $P_{2}$ 的距離。 我們還定義平面圖形為平面中的一組點，我們說兩個圖形是全等的，如果存在一個保距對映從平面到自身，將一個圖形對映到另一個圖形上。

許多歐幾里得幾何中的命題可以很容易地從這些定義推匯出。其中一些是：（i）共線性在任何距離保持對映下都是不變的（也就是說，如果$P_{1}$，$P_{2}$，和$P_{3}$ 是共線的，那麼$f(P_{1})$，$f(P_{2})$，和$f(P_{3})$ 也是共線的），（ii）介於性在任何距離保持對映下都是不變的（如果$P_{2}$ 介於$P_{1}$ 和$P_{3}$ 之間，那麼$f(P_{2})$ 也介於$f(P_{1})$ 和$f(P_{3})$ 之間），（iii）三角形的性質在任何距離保持對映下都是不變的（如果一個圖形是三角形，那麼該圖形的像也是三角形），（iv）圓形的性質在任何距離保持對映下都是不變的。1872年，F. 克萊因提出，歐幾里得幾何可以被描述為對在這些對映下不變的性質的研究。（這構成了克萊因的埃爾朗根綱領的一部分，該綱領提出了一種組織原則，即每種幾何——歐幾里得、射影等——都可以描述為對在某個變換群下不變的性質的研究。這裡的“群”不僅僅指“集合”，但這超出了我們的討論範圍。）

我們可以使用線性代數來描述平面的距離保持對映。

首先，存在一些不是線性的平面的距離保持變換。一個明顯的例子是這個平移。

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\quad \mapsto \quad {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+1\\y\end{pmatrix}}$

然而，此例僅為唯一例，即若$f$為距離保持對映，且將${\vec {0}}$對映到${\vec {v}}_{0}$，則對映${\vec {v}}\mapsto f({\vec {v}})-{\vec {v}}_{0}$是線性的。這將立即從以下陳述得出：距離保持對映$t$，它將${\vec {0}}$對映到自身，是線性的。為了證明這個等效陳述，令

$t({\vec {e}}_{1})={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\qquad t({\vec {e}}_{2})={\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}$

對於某個$a,b,c,d\in \mathbb {R}$。然後為了證明$t$是線性的，我們可以證明它可以用矩陣表示，也就是說，對於所有$x,y\in \mathbb {R}$，$t$以這種方式起作用。

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {t}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}ax+cy\\bx+dy\end{pmatrix}}\qquad \qquad (*)$

Recall that if we fix three non-collinear points then any point in the plane can be described by giving its distance from those three. So any point ${\vec {v}}$ in the domain is determined by its distance from the three fixed points ${\vec {0}}$, ${\vec {e}}_{1}$, and ${\vec {e}}_{2}$. Similarly, any point $t({\vec {v}})$ in the codomain is determined by its distance from the three fixed points $t({\vec {0}})$, $t({\vec {e}}_{1})$, and $t({\vec {e}}_{2})$ (these three are not collinear because, as mentioned above, collinearity is invariant and ${\vec {0}}$, ${\vec {e}}_{1}$, and ${\vec {e}}_{2}$ are not collinear). In fact, because $t$ is distance-preserving, we can say more: for the point ${\vec {v}}$ in the plane that is determined by being the distance $d_{0}$ from ${\vec {0}}$, the distance $d_{1}$ from ${\vec {e}}_{1}$, and the distance $d_{2}$ from ${\vec {e}}_{2}$, its image $t({\vec {v}})$ must be the unique point in the codomain that is determined by being $d_{0}$ from $t({\vec {0}})$, $d_{1}$ from $t({\vec {e}}_{1})$, and $d_{2}$ from $t({\vec {e}}_{2})$. Because of the uniqueness, checking that the action in ($*$) works in the $d_{0}$, $d_{1}$, and $d_{2}$ cases

${\text{dist}}\,({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},{\vec {0}})={\text{dist}}\,(t({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}),t({\vec {0}}))={\text{dist}}\,({\begin{pmatrix}ax+cy\\bx+dy\end{pmatrix}},{\vec {0}})$

($t$被假定為將${\vec {0}}$對映到自身）

${\text{dist}}\,({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},{\vec {e}}_{1})={\text{dist}}\,(t({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}),t({\vec {e}}_{1}))={\text{dist}}\,({\begin{pmatrix}ax+cy\\bx+dy\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}})$

以及

${\text{dist}}\,({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},{\vec {e}}_{2})={\text{dist}}\,(t({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}),t({\vec {e}}_{2}))={\text{dist}}\,({\begin{pmatrix}ax+cy\\bx+dy\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}})$

足以說明 ($*$) 描述了 $t$。這些檢查是常規的。

因此，任何保持距離的 $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 可以寫成 $f({\vec {v}})=t({\vec {v}})+{\vec {v}}_{0}$，其中 ${\vec {v}}_{0}$ 為常數向量，而 $t$ 為保持距離的線性對映。

並非所有線性對映都能保持距離，例如，${\vec {v}}\mapsto 2{\vec {v}}$ 不會保持距離。但有一個簡潔的表徵：平面上的線性變換 $t$ 能保持距離當且僅當 $|t({\vec {e}}_{1})|=|t({\vec {e}}_{2})|=1$ 且 $t({\vec {e}}_{1})$ 與 $t({\vec {e}}_{2})$ 正交。該陳述的“僅當”部分很容易——因為 $t$ 能保持距離，它必須保持向量的長度，因為 $t$ 能保持距離，勾股定理表明它必須保持正交性。對於“如果”部分，只需檢查該對映是否保持向量長度，因為這樣對於所有 ${\vec {p}}$ 和 ${\vec {q}}$ 之間的距離將保持不變 $|t({\vec {p}}-{\vec {q}}\,)|=|t({\vec {p}})-t({\vec {q}}\,)|=|{\vec {p}}-{\vec {q}}\,|$。為了進行該檢查，令

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\quad t({\vec {e}}_{1})={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\quad t({\vec {e}}_{2})={\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}$

並且，假設“如果”成立，即 $a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}=1$ 且 $ac+bd=0$，我們有如下結果。

${\begin{array}{rl}|t({\vec {v}}\,)|^{2}&=(ax+cy)^{2}+(bx+dy)^{2}\\&=a^{2}x^{2}+2acxy+c^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}+2bdxy+d^{2}y^{2}\\&=x^{2}(a^{2}+b^{2})+y^{2}(c^{2}+d^{2})+2xy(ac+bd)\\&=x^{2}+y^{2}\\&=|{\vec {v}}\,|^{2}\end{array}}$

這個特徵的妙處在於，我們可以很容易地識別出相對於標準基表示這種對映的矩陣。這些矩陣的列向量長度為1，並且互相正交。 這種矩陣被稱為 **正交矩陣** 或 **正規矩陣**（第一個術語通常意味著不僅列向量正交，而且長度為1）。

我們可以利用這種洞察力來限定距離保持對映中可能出現的幾何操作。由於 $|t({\vec {v}}\,)|=|{\vec {v}}\,|$，任何 ${\vec {v}}$ 都將被 $t$ 對映到以原點為圓心，半徑等於 ${\vec {v}}$ 長度的圓周上的某個點。特別地，${\vec {e}}_{1}$ 和 ${\vec {e}}_{2}$ 被對映到單位圓上。更重要的是，一旦我們將單位向量 ${\vec {e}}_{1}$ 固定為對映到具有分量 $a$ 和 $b$ 的向量，那麼如果該影像要垂直於第一個向量，則 ${\vec {e}}_{2}$ 只能對映到兩個地方：一個地方是 ${\vec {e}}_{2}$ 保持其位置，從

${\vec {e}}_{1}$

        ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(t)={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$

以及一個將點對映到逆時針方向四分之一圓弧上的變換。

        ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(t)={\begin{pmatrix}a&b\\b&-a\end{pmatrix}}$

我們可以用幾何方法描述這兩種情況。設 $\theta$ 為 $x$ 軸與 ${\vec {e}}_{1}$ 的像之間的角度，按逆時針方向測量。 上面的第一個矩陣表示相對於標準基的平面繞原點 $\theta$ 弧度旋轉。

        ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {t}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x\cos \theta -y\sin \theta \\x\sin \theta +y\cos \theta \end{pmatrix}}$

上面的第二個矩陣表示平面關於經過 ${\vec {e}}_{1}$ 和 $t({\vec {e}}_{1})$ 的角平分線的對稱變換。

        ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\stackrel {t}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x\cos \theta +y\sin \theta \\x\sin \theta -y\cos \theta \end{pmatrix}}$

(這張圖片展示了 ${\vec {e}}_{1}$ 反射到第一象限，以及 ${\vec {e}}_{2}$ 反射到第四象限。）

再次注意： ${\vec {e}}_{1}$ 和 ${\vec {e}}_{2}$ 之間的角度是逆時針方向，並且在上面的第一個對映中，從 $t({\vec {e}}_{1})$ 到 $t({\vec {e}}_{2})$ 的角度也是逆時針方向，因此角度的方向保持不變。但在第二個對映中，方向發生了反轉。 如果距離保持對映保持方向，則它為 **直接**；如果它反轉方向，則它為 **相反**。

因此，我們已經描述了歐幾里得關於全等的學習：它考慮了平面圖形在以下組合下保持不變的性質：（i）旋轉後平移，或（ii）反射後平移（反射後非平凡平移為 **滑動反射**）。

除了圖形的全等之外，在初等幾何中遇到的另一個概念是，如果圖形在比例變化後全等，則它們是 **相似** 的。這兩個三角形是相似的，因為第二個三角形與第一個三角形形狀相同，但大小為 $3/2$。

從以上工作中，我們得知，如果存在正交矩陣 $T$ 使得一個圖形上的點 ${\vec {q}}$ 由點 ${\vec {p}}$ 匯出，方法為 ${\vec {q}}=(kT){\vec {v}}+{\vec {p}}_{0}$，其中 $k$ 為非零實數，且 ${\vec {p}}_{0}$ 為常數向量。

儘管許多這些想法最初是由歐幾里得探索的，但數學是永恆的，它們在今天仍然被廣泛應用。上面研究的對映的一個應用是計算機圖形學。例如，我們可以透過將立方體旋轉的電影幀組合在一起，來製作這個立方體頂檢視的動畫；這是一種剛體運動。

幀 1	幀 2	幀 3

我們還可以透過製作立方體縮小的電影幀，讓立方體看起來像是在遠離我們，這將給我們提供相似的圖形。

幀 1	幀 2	幀 3

計算機圖形學在許多其他方面結合了來自線性代數的技術（參見 問題 4）。

因此，以上對距離保持對映的分析既有用又有趣。一本探討這方面內容的精彩書籍是 (Weyl 1952)。更多關於變換群以及其他方面的內容，可以在任何一本關於現代代數的書籍中找到，例如 (Birkhoff & MacLane 1965)。更多關於克萊因和埃爾朗根綱領的內容，可以在 (Yaglom 1988) 中找到。

練習

問題 1

確定以下每個矩陣是否為正交矩陣。

1. ${\begin{pmatrix}1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1/{\sqrt {3}}&-1/{\sqrt {3}}\\-1/{\sqrt {3}}&-1/{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1/{\sqrt {3}}&-{\sqrt {2}}/{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {2}}/{\sqrt {3}}&-1/{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}$

問題 2

寫下每個距離保持對映的公式。

1. 旋轉 $\pi /6$ 弧度，然後平移 ${\vec {e}}_{2}$ 的對映。
2. 關於直線 $y=2x$ 反射的對映。
3. 關於 $y=-2x$ 反射，並平移 $1$ 個單位向右和 $1$ 個單位向上的對映。

問題 3

1. 關於距離保持對映同時將零向量對映到自身這一點的證明間接表明，這樣的對映是單射且滿射的（由 $d_{0}$，$d_{1}$ 和 $d_{2}$ 確定的域中的點對應於由這三個點確定的陪域中的點）。因此，任何距離保持對映都有逆對映。證明逆對映也是距離保持對映。
2. 證明平面圖形間的全等是一個等價關係。

問題 4

在實踐中，距離保持線性變換的矩陣和平移通常組合成一個矩陣。驗證這兩種計算是否產生相同的首兩個分量。

${\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}e\\f\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}a&c&e\\b&d&f\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}$

(這些是齊次座標；參見射影幾何主題）。

問題 5

1. 驗證本主題第二段描述的性質在距離保持對映下確實是保持不變的。
2. 從你在學習歐幾里得幾何時所獲得的經驗中，再給出兩個在歐幾里得幾何中具有興趣且在距離保持對映下也保持不變的性質。
3. 給出一個在歐幾里得幾何中不具有興趣，且在距離保持對映下不保持不變的性質。

解答

參考資料

• Birkhoff, Garrett; MacLane, Saunders (1965), 現代代數概論, Macmillan.
• Casey, John (1890), 歐幾里得原本，第一卷到第六卷和第十一卷 (第九版), Hodges, Figgis, and Co..
• Weyl, Hermann (1952), 對稱性, 普林斯頓大學出版社.
• Yaglom, I. M. (1988), 費利克斯·克萊因和索菲斯·李：19 世紀對稱性思想的演變, Birkhäuser {{citation}}: 未知引數 |translater= 被忽略 (幫助).