線性代數/域

域線上性代數的研究中非常重要。這是因為線性代數中的任何結果都適用於所有域，因為線性代數中的基本運算只涉及加法、減法、乘法和除法。

然而，它們主要屬於抽象代數的研究範疇，這裡不會完全討論。相反，我們只提供定義。

域是一個集合 F，它具有兩個二元運算子（或函式）+ 和 *，以及元素 0 和 1，滿足以下條件：

• 加法的交換律：a+b=b+a
• 加法的結合律：(a+b)+c=a+(b+c)
• 加法單位元：0+a=a+0=a
• 加法逆元：對於所有 a，存在一個元素 b，使得 a+b=0
• 乘法的交換律：ab=ba
• 乘法的結合律：(ab)c=a(bc)
• 乘法單位元：1a=a1=a
• 乘法逆元：對於所有非零 a，存在一個元素 b，使得 ab=1
• 乘法對加法的分配律：a(b+c)=ab+ac

域的例子

1. 有理數 Q
2. 實數 R
3. 複數 C
4. 有理多項式函式的集合

特徵 0

線性代數的另一個重要假設是，我們正在使用特徵為 0 的域。

定義

域的特徵是指第一個自然數 n，使得 1+1+1+.....+1（n 次）等於 0。如果沒有這樣的數，則它具有特徵 0。

例子

1. 模 p 的整數 Z_p，其中 p 是一個素數。

線上性代數中，我們不使用像 Z_p 這樣的域，因此我們只使用特徵為 0 的域。