線性代數/高斯-若爾當消元法/解

解

建議所有讀者進行此練習。

問題 1

使用高斯-若爾當消元法求解每個方程組。

${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&2\\x&-&y&=&0\end{array}}$
${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&&&-&z&=&4\\2x&+&2y&&&=&1\end{array}}$
${\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&-&2y&=&1\\6x&+&y&=&1/2\end{array}}$
${\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&-&y&&&=&-1\\x&+&3y&-&z&=&5\\&&y&+&2z&=&5\end{array}}$

答案

這些答案僅顯示了高斯-若爾當消元法。有了它，描述解集就很容易了。

$\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&1&2\\1&-1&0\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&1&2\\0&-2&-2\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-(1/2)\rho _{2}}}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&1&2\\0&1&1\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{1}}}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&0&1\\0&1&1\end{array}}\right)$
$\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&0&-1&4\\2&2&0&1\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&0&-1&4\\0&2&2&-7\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{(1/2)\rho _{2}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&0&-1&4\\0&1&1&-7/2\end{array}}\right)$
$\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}3&-2&1\\6&1&1/2\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}3&-2&1\\0&5&-3/2\end{array}}\right){\xrightarrow[{(1/5)\rho _{2}}]{(1/3)\rho _{1}}}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&-2/3&1/3\\0&1&-3/10\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{(2/3)\rho _{2}+\rho _{1}}}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&0&2/15\\0&1&-3/10\end{array}}\right)$
交換行使得算術更容易。
$\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}2&-1&0&-1\\1&3&-1&5\\0&1&2&5\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}2&-1&0&-1\\0&7/2&-1&11/2\\0&1&2&5\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{\rho _{2}\leftrightarrow \rho _{3}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}2&-1&0&-1\\0&1&2&5\\0&7/2&-1&11/2\end{array}}\right)$
${\begin{array}{rl}&{\xrightarrow[{}]{-(7/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}2&-1&0&-1\\0&1&2&5\\0&0&-8&-12\end{array}}\right){\xrightarrow[{-(1/8)\rho _{2}}]{(1/2)\rho _{1}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&-1/2&0&-1/2\\0&1&2&5\\0&0&1&3/2\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{3}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&-1/2&0&-1/2\\0&1&0&2\\0&0&1&3/2\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{(1/2)\rho _{2}+\rho _{1}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&0&0&1/2\\0&1&0&2\\0&0&1&3/2\end{array}}\right)\end{array}}$

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問題 2

求解每個矩陣的簡化行階梯形。

${\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&3&1\\2&0&4\\-1&-3&-3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&0&3&1&2\\1&4&2&1&5\\3&4&8&1&2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}0&1&3&2\\0&0&5&6\\1&5&1&5\end{pmatrix}}$

答案

使用高斯-約當消元法。

${\xrightarrow[{}]{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}2&1\\0&5/2\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{(2/5)\rho _{2}}]{(1/2)\rho _{1}}}{\begin{pmatrix}1&1/2\\0&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-(1/2)\rho _{2}+\rho _{1}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
${\xrightarrow[{-3\rho _{1}+\rho _{3}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&0&3&1&2\\0&4&-1&0&3\\0&4&-1&-2&-4\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&0&3&1&2\\0&4&-1&0&3\\0&0&0&-2&-7\end{pmatrix}}$
${\xrightarrow[{-(1/2)\rho _{3}}]{(1/4)\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&0&3&1&2\\0&1&-1/4&0&3/4\\0&0&0&1&7/2\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{3}+\rho _{1}}}{\begin{pmatrix}1&0&3&0&-3/2\\0&1&-1/4&0&3/4\\0&0&0&1&7/2\end{pmatrix}}$
${\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&5&1&5\\0&0&5&6\\0&1&3&2\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}\leftrightarrow \rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&5&1&5\\0&1&3&2\\0&0&5&6\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{(1/5)\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&5&1&5\\0&1&3&2\\0&0&1&6/5\end{pmatrix}}$
${\xrightarrow[{-\rho _{3}+\rho _{1}}]{-3\rho _{3}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&5&0&19/5\\0&1&0&-8/5\\0&0&1&6/5\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-5\rho _{2}+\rho _{1}}}{\begin{pmatrix}1&0&0&59/5\\0&1&0&-8/5\\0&0&1&6/5\end{pmatrix}}$

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問題 3

使用高斯-若爾當消元法求解每個解集，然後讀出引數化。

${\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&+&y&-&z&=&1\\4x&-&y&&&=&3\end{array}}$
${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&-&z&&&=&1\\&&y&+&2z&-&w&=&3\\x&+&2y&+&3z&-&w&=&7\end{array}}$
${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&+&z&&&=&0\\&&y&&&+&w&=&0\\3x&-&2y&+&3z&+&w&=&0\\&&-y&&&-&w&=&0\end{array}}$
${\begin{array}{*{5}{rc}r}a&+&2b&+&3c&+&d&-&e&=&1\\3a&-&b&+&c&+&d&+&e&=&3\end{array}}$

答案

關於“高斯”部分的答案，請參見問題 I.2.5。

而“喬丹”部分則如下所示。
${\xrightarrow[{-(1/3)\rho _{2}}]{(1/2)\rho _{1}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&1/2&-1/2&1/2\\0&1&-2/3&-1/3\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-(1/2)\rho _{2}+\rho _{1}}}\left({\begin{array}{*{3}{c}|c}1&0&-1/6&2/3\\0&1&-2/3&-1/3\end{array}}\right)$
解集如下
$\{{\begin{pmatrix}2/3\\-1/3\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1/6\\2/3\\1\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}$
第二個部分為
${\xrightarrow[{}]{\rho _{3}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&0&-1&0&1\\0&1&2&0&3\\0&0&0&1&0\end{array}}\right)$
因此，解集如下所示。
$\{{\begin{pmatrix}1\\3\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}$
此喬丹部分為
${\xrightarrow[{}]{\rho _{2}+\rho _{1}}}\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&0&1&1&0\\0&1&0&1&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{array}}\right)$
給出
$\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}z+{\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,z,w\in \mathbb {R} \}$
（當然，零向量可以從描述中省略）。
“Jordan” 一半
${\xrightarrow[{}]{-(1/7)\rho _{2}}}\left({\begin{array}{*{5}{c}|c}1&2&3&1&-1&1\\0&1&8/7&2/7&-4/7&0\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-2\rho _{2}+\rho _{1}}}\left({\begin{array}{*{5}{c}|c}1&0&5/7&3/7&1/7&1\\0&1&8/7&2/7&-4/7&0\end{array}}\right)$
最終得到以下解集。
$\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-5/7\\-8/7\\1\\0\\0\end{pmatrix}}c+{\begin{pmatrix}-3/7\\-2/7\\0\\1\\0\end{pmatrix}}d+{\begin{pmatrix}-1/7\\4/7\\0\\0\\1\end{pmatrix}}e\,{\big |}\,c,d,e\in \mathbb {R} \}$

問題 4

給出此矩陣的兩個不同的梯形形式。

{\begin{pmatrix}2&1&1&3\\6&4&1&2\\1&5&1&5\end{pmatrix}}

答案

常規的 Gauss 方法給出了一個

{\xrightarrow[{-(1/2)\rho _{1}+\rho _{3}}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}2&1&1&3\\0&1&-2&-7\\0&9/2&1/2&7/2\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-(9/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}2&1&1&3\\0&1&-2&-7\\0&0&19/2&35\end{pmatrix}}

以及任何美觀上的改變，例如將最下面一行乘以 $2$ ,

{\begin{pmatrix}2&1&1&3\\0&1&-2&-7\\0&0&19&70\end{pmatrix}}

會得到另一個。

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問題 5

列出每個尺寸可能的簡化行階梯形式。

$2\!\times \!2$
$2\!\times \!3$
$3\!\times \!2$
$3\!\times \!3$

答案

在下述情況下，我們取 $a,b\in \mathbb {R}$ 。因此，下面列出的某些規範形式實際上包括無限多種情況。特別是，它們包括情況 $a=0$ 和 $b=0$ 。

${\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}1&a\\0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}1&a&b\\0&0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}0&1&a\\0&0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}1&0&a\\0&1&b\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}1&a&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}1&a&b\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}0&1&a\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}1&0&a\\0&1&b\\0&0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}1&a&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

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問題 6

對非奇異矩陣應用高斯-約旦消元法會得到什麼結果？

答案

非奇異齊次線性系統有唯一解。所以，非奇異矩陣必須簡化為（方陣）矩陣，除了 $0$ 以外，所有元素都是 $1$ ，例如：

{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}},\quad {\text{or}}\quad {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad {\text{etc.}}

問題 7

引理 4 的證明中引用了行主元操作的 $i\neq j$ 條件。

行操作的定義對交換操作 $i\neq j$ 有一個條件 $\rho _{i}\leftrightarrow \rho _{j}$ 。證明在 $A{\xrightarrow[{}]{\rho _{i}\leftrightarrow \rho _{j}}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{i}\leftrightarrow \rho _{j}}}A$ 這個條件是不必要的。
寫出一個 $2\!\times \!2$ 的非零矩陣，並證明 $-1\cdot \rho _{1}+\rho _{1}$ 操作不會被 $1\cdot \rho _{1}+\rho _{1}$ 操作逆轉。
擴充套件該引理的證明，明確說明在什麼地方使用了關於旋轉的 $i\neq j$ 條件。

答案

操作 $\rho _{i}\leftrightarrow \rho _{i}$ 不會改變 $A$ 。
例如，
${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{1}}}{\begin{pmatrix}0&0\\3&4\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}+\rho _{1}}}{\begin{pmatrix}0&0\\3&4\end{pmatrix}}$
使矩陣發生改變。
如果 $i\neq j$ ，那麼
${\begin{array}{rcl}{\begin{pmatrix}\vdots \\a_{i,1}&\cdots &a_{i,n}\\\vdots \\a_{j,1}&\cdots &a_{j,n}\\\vdots \end{pmatrix}}&{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}+\rho _{j}}}&{\begin{pmatrix}\vdots \\a_{i,1}&\cdots &a_{i,n}\\\vdots \\ka_{i,1}+a_{j,1}&\cdots &ka_{i,n}+a_{j,n}\\\vdots \end{pmatrix}}\\&{\xrightarrow[{}]{-k\rho _{i}+\rho _{j}}}&{\begin{pmatrix}\vdots \\a_{i,1}&\cdots &a_{i,n}\\\vdots \\-ka_{i,1}+ka_{i,1}+a_{j,1}&\cdots &-ka_{i,n}+ka_{i,n}+a_{j,n}\\\vdots \end{pmatrix}}\end{array}}$
的確給出了 $A$ 。當然，如果 $i=j$ ，那麼第三個矩陣的元素將具有 $-k(ka_{i,j}+a_{i,j})+ka_{i,j}+a_{i,j}$ 的形式。)