線性代數/一般系統

考慮 m 個方程組

$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}$
$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}$
$a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+\ldots +a_{3n}x_{n}=b_{3}$
$\vdots$
$a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+a_{m3}x_{3}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}$

以及矩陣

$A=\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{matrix}}\right)$

$A_{1}=\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}&b_{m}\end{matrix}}\right)$

克羅內克-卡佩利定理

一般線性方程組有解，當且僅當 A 的秩等於 A₁ 的秩。如果 A 的秩小於 A₁ 的秩，則該方程組無解。

證明

線性方程組只有當 A₁ 的最後一列是其他列的線性組合時才有解。如果是這樣，那麼根據之前證明的定理，A 的列空間與 A₁ 的列空間相同，因此它們的秩相同。現在，假設它們的秩相同。那麼 A 的基列也構成 A₁ 的基列，因為它們具有相同維度的列空間。因此，它們的列空間相同，所以最後一列也屬於 A 的列空間，因此與其他列線性相關，這種線性相關性是該方程組的解。假設 A₁ 的秩大於 A。這意味著另一個證明是，如果我們假設 A 的秩為 r，因此如果 b 與 {a1,a2....ar} 線性相關，它證明了 {a1,a2...ar,b} 的秩為 r，因此定理得以解決。但是，如果 b 不是系統 (a1,a2.....ar) 的組合，這意味著系統 (a1,a2...ar,b) 是系統 (a1....an,b) 的基，如果我們將任何 ai/r<i<n 附加到系統 (a1,a2...ar,b,ai} 上，它將是線性的，這意味著系統 (a1,a2.....ar,b) 是 {a1,a2.....an.b) 的基，因此 (a1,a2.....an,b) 的秩等於 Rank(A)+1。所以我們不能解決系統。