線性代數/Gram-Schmidt 正交化/解題

解題

問題 1

對 $\mathbb {R} ^{2}$ 的每個基進行 Gram-Schmidt 過程。

1. $\left\langle {\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\-1\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}}\right\rangle$
2. $\left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}\right\rangle$
3. $\left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}\right\rangle$

然後將這些正交基轉換為標準正交基。

答案

1. ${\begin{array}{rl}{\vec {\kappa }}_{1}&={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\\{\vec {\kappa }}_{2}&={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}-{\frac {3}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/2\\-1/2\end{pmatrix}}\end{array}}$

2. ${\begin{array}{rl}{\vec {\kappa }}_{1}&={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\\{\vec {\kappa }}_{2}&={\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}-{\frac {3}{1}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}\end{array}}$

3. ${\begin{array}{rl}{\vec {\kappa }}_{1}&={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\\{\vec {\kappa }}_{2}&={\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}-{\frac {0}{1}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}\end{array}}$

這三個部分的相應正交基如下。

$\left\langle {\begin{pmatrix}1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}/2\\-{\sqrt {2}}/2\end{pmatrix}}\right\rangle \qquad \left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}\right\rangle \qquad \left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}\right\rangle$

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問題 2

對 $\mathbb {R} ^{3}$ 的每個基進行 Gram-Schmidt 正交化。

1. $\left\langle {\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}}\right\rangle$
2. $\left\langle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}}\right\rangle$

然後將這些正交基轉換為標準正交基。

答案

1. ${\begin{array}{rl}{\vec {\kappa }}_{1}&={\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}\\{\vec {\kappa }}_{2}&={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}-{\frac {0}{12}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}\\{\vec {\kappa }}_{3}&={\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}})-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{2}]}({\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}\\&\quad ={\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}}-{\frac {8}{12}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}-{\frac {-1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5/6\\5/3\\-5/6\end{pmatrix}}\end{array}}$

2. ${\begin{array}{rl}{\vec {\kappa }}_{1}&={\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}\\{\vec {\kappa }}_{2}&={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}-{\frac {-1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/2\\1/2\\0\end{pmatrix}}\\{\vec {\kappa }}_{3}&={\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}})-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{2}]}({\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}})\\&={\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1/2\\1/2\\0\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1/2\\1/2\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1/2\\1/2\\0\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1/2\\1/2\\0\end{pmatrix}}\\&\quad ={\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}}-{\frac {-1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}-{\frac {5/2}{1/2}}\cdot {\begin{pmatrix}1/2\\1/2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\end{array}}$

這兩個問題的對應正交基如下。

$\left\langle {\begin{pmatrix}1/{\sqrt {3}}\\1/{\sqrt {3}}\\1/{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1/{\sqrt {2}}\\0\\-1/{\sqrt {2}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1/{\sqrt {6}}\\2/{\sqrt {6}}\\-1/{\sqrt {6}}\end{pmatrix}}\right\rangle \qquad \left\langle {\begin{pmatrix}1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\rangle$

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問題 3

為 $\mathbb {R} ^{3}$ 的此子空間找到一個正交基：平面 $x-y+z=0$。

答案

給定的空間可以這樣引數化。

$\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x=y-z\}=\{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}\cdot y+{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}\cdot z\,{\big |}\,y,z\in \mathbb {R} \}$

因此，我們取基

$\left\langle {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}\right\rangle$

應用 Gram-Schmidt 正交化方法

${\begin{array}{rl}{\vec {\kappa }}_{1}&={\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}\\{\vec {\kappa }}_{2}&={\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}-{\frac {-1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1/2\\1/2\\1\end{pmatrix}}\end{array}}$

然後歸一化。

$\left\langle {\begin{pmatrix}1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1/{\sqrt {6}}\\1/{\sqrt {6}}\\2/{\sqrt {6}}\end{pmatrix}}\right\rangle$

問題 4

找到 $\mathbb {R} ^{4}$ 中此子空間的正交規範基。

$\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x-y-z+w=0{\text{ and }}x+z=0\}$

答案

將線性系統簡化

${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&-&z&+&w&=&0\\x&&&+&z&&&=&0\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&-&z&+&w&=&0\\&&y&+&2z&-&w&=&0\end{array}}$

並透過引數化給出子空間的描述。

$\{{\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}}\cdot z+{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}}\cdot w\,{\big |}\,z,w\in \mathbb {R} \}$

因此我們取基，

$\left\langle {\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}}\right\rangle$

進行格拉姆-施密特正交化過程

${\begin{array}{rl}{\vec {\kappa }}_{1}&={\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}}\\{\vec {\kappa }}_{2}&={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}}-{\frac {-2}{6}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1/3\\1/3\\1/3\\1\end{pmatrix}}\end{array}}$

最後進行歸一化。

$\left\langle {\begin{pmatrix}-1/{\sqrt {6}}\\-2/{\sqrt {6}}\\1/{\sqrt {6}}\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-{\sqrt {3}}/6\\{\sqrt {3}}/6\\{\sqrt {3}}/6\\{\sqrt {3}}/2\end{pmatrix}}\right\rangle$

問題 5

證明 $\mathbb {R} ^{n}$ 中任何線性無關子集都可以正交化，且不改變其生成空間。

答案

$\mathbb {R} ^{n}$ 的線性無關子集是其生成空間的一組基。應用 定理 2.7。

注意. “線性無關” 這一短語出現在問題中是有原因的。如果沒有這個短語，我們需要考慮兩件事。第一，當我們對線性相關集合進行 Gram-Schmidt 過程時，我們會得到一些零向量。例如，對於

$S=\{{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}}\}$

我們會得到以下結果。

${\vec {\kappa }}_{1}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\qquad {\vec {\kappa }}_{2}={\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

第一點問題並不嚴重，因為零向量定義上與所有其他向量正交，所以我們可以接受這種情況，認為它生成了一個正交集（儘管當然無法歸一化），或者我們可以修改 Gram-Schmidt 過程，將所有零向量丟棄。如果從問題中去掉“線性無關”這一短語，我們要擔心的第二件事是集合可能是無限的。當然，有限維空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 的任何子空間也必須是有限維的，所以只有有限個成員是線性無關的，但是，一個逐個檢查無限集合中向量的“過程”至少需要在這個問題中進一步說明。 $\mathbb {R} ^{n}$ 的線性無關子集自動變為有限的——實際上，大小為 $n$ 或更小——因此，"線性無關" 這一短語避免了這些問題。

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問題 6

如果我們對已經正交的基進行 Gram-Schmidt 過程，會發生什麼？

答案

該過程不會改變基。

問題 7

設 $\left\langle {\vec {\kappa }}_{1},\dots ,{\vec {\kappa }}_{k}\right\rangle$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的一組相互正交的向量。

1. 證明對於空間中的任何向量 ${\vec {v}}$，向量 ${\vec {v}}-({\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({{\vec {v}}\,})+\dots +{\mbox{proj}}_{[{\vec {v}}_{k}]}({{\vec {v}}\,}))$ 與 ${\vec {\kappa }}_{1}$，...，${\vec {\kappa }}_{k}$ 中的每一個都正交。
2. 透過使用 ${\vec {e}}_{1}$ 作為 ${\vec {\kappa }}_{1}$，使用 ${\vec {e}}_{2}$ 作為 ${\vec {\kappa }}_{2}$，並將 ${\vec {v}}$ 的分量設為 $1$，$2$ 和 $3$，在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中說明前面的專案。
3. 證明${\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({{\vec {v}}\,})+\dots +{\mbox{proj}}_{[{\vec {v}}_{k}]}({{\vec {v}}\,})$ 是 ${\vec {\kappa }}$ 集的生成空間中距離 ${\vec {v}}$ 最近的向量。提示：在先前部分的圖示中，新增向量 $d_{1}{\vec {\kappa }}_{1}+d_{2}{\vec {\kappa }}_{2}$ 並對所得三角形應用勾股定理。

答案

1. 論證與 定理 2.7 證明中的 $i=3$ 情況類似。點積

   ${\vec {\kappa }}_{i}\cdot \left({\vec {v}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({{\vec {v}}\,})-\dots -{\mbox{proj}}_{[{\vec {v}}_{k}]}({{\vec {v}}\,})\right)$

   可以寫成以下形式的項之和 $-{\vec {\kappa }}_{i}\cdot {\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{j}]}({{\vec {v}}\,})$ 其中 $j\neq i$，以及項 ${\vec {\kappa }}_{i}\cdot ({\vec {v}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{i}]}({{\vec {v}}\,}))$。第一類項等於零，因為 ${\vec {\kappa }}$ 是相互正交的。另一項為零，因為此投影是正交的（即投影定義使其為零：${\vec {\kappa }}_{i}\cdot ({\vec {v}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{i}]}({{\vec {v}}\,}))={\vec {\kappa }}_{i}\cdot {\vec {v}}-{\vec {\kappa }}_{i}\cdot \left(({\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{i})/({\vec {\kappa }}_{i}\cdot {\vec {\kappa }}_{i})\right)\cdot {\vec {\kappa }}_{i}$，最終所有約簡後，結果為零）。
2. 向量 ${\vec {v}}$ 以黑色顯示，向量 ${\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({{\vec {v}}\,})+{\mbox{proj}}_{[{\vec {v}}_{2}]}({{\vec {v}}\,})=1\cdot {\vec {e}}_{1}+2\cdot {\vec {e}}_{2}$ 以灰色顯示。

   

   向量 ${\vec {v}}-({\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({{\vec {v}}\,})+{\mbox{proj}}_{[{\vec {v}}_{2}]}({{\vec {v}}\,}))$ 位於連線黑色向量和灰色向量的虛線上，即它與 $xy$ 平面正交。

3. 此圖是按照提示得到的。

   

   虛線三角形在灰色向量 $1\cdot {\vec {e}}_{1}+2\cdot {\vec {e}}_{2}$ 與垂直虛線 ${\vec {v}}-(1\cdot {\vec {e}}_{1}+2\cdot {\vec {e}}_{2})$ 相交處形成直角；這就是本問題第一項中證明的內容。然後根據勾股定理，斜邊（即從 ${\vec {v}}$ 到任何其他向量的線段）比垂直虛線長。

   更正式地說，將 ${\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({{\vec {v}}\,})+\dots +{\mbox{proj}}_{[{\vec {v}}_{k}]}({{\vec {v}}\,})$ 寫成 $c_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+\dots +c_{k}\cdot {\vec {\kappa }}_{k}$，考慮張成空間 $d_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+\dots +d_{k}\cdot {\vec {\kappa }}_{k}$ 中的任何其他向量。請注意

   ${\vec {v}}-(d_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+\dots +d_{k}\cdot {\vec {\kappa }}_{k})$

   $={\bigl (}{\vec {v}}-(c_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+\dots +c_{k}\cdot {\vec {\kappa }}_{k}){\bigr )}+{\bigl (}(c_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+\dots +c_{k}\cdot {\vec {\kappa }}_{k})-(d_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+\dots +d_{k}\cdot {\vec {\kappa }}_{k}){\bigr )}$

   並且

   ${\bigl (}{\vec {v}}-(c_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+\dots +c_{k}\cdot {\vec {\kappa }}_{k}){\bigr )}\cdot {\bigl (}(c_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+\dots +c_{k}\cdot {\vec {\kappa }}_{k})-(d_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+\dots +d_{k}\cdot {\vec {\kappa }}_{k}){\bigr )}=0$

   (因為第一項表明 ${\vec {v}}-(c_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+\dots +c_{k}\cdot {\vec {\kappa }}_{k})$ 與每個 ${\vec {\kappa }}$ 垂直，因此它與 ${\vec {\kappa }}$ 的線性組合垂直。現在應用勾股定理（即三角不等式）。

問題 8

找到一個在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中與這兩個向量都正交的向量。

${\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}}$

答案

一種解決方法是找到第三個向量，使得這三個向量一起構成 $\mathbb {R} ^{3}$ 的基底，例如：

${\vec {\beta }}_{3}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

（第二個向量不依賴於第三個向量，因為它有非零的第二個分量，第一個向量也不依賴於第二個和第三個向量，因為它有非零的第三個分量），然後應用格拉姆-施密特正交化過程。

${\begin{array}{rl}{\vec {\kappa }}_{1}&={\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}}\\{\vec {\kappa }}_{2}&={\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}}\\&\quad ={\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}}-{\frac {12}{27}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14/9\\-2/9\\4/9\end{pmatrix}}\\{\vec {\kappa }}_{3}&={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}})-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{2}]}({\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}})\\&\quad ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}}-{\frac {{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}14/9\\-2/9\\4/9\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}14/9\\-2/9\\4/9\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}14/9\\-2/9\\4/9\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}14/9\\-2/9\\4/9\end{pmatrix}}\\&\quad ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}-{\frac {1}{27}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\5\\-1\end{pmatrix}}-{\frac {7}{12}}\cdot {\begin{pmatrix}14/9\\-2/9\\4/9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/18\\-1/18\\-4/18\end{pmatrix}}\end{array}}$

結果 ${\vec {\kappa }}_{3}$ 與 ${\vec {\kappa }}_{1}$ 和 ${\vec {\kappa }}_{2}$ 都是正交的。因此，它與集合 $\{{\vec {\kappa }}_{1},{\vec {\kappa }}_{2}\}$ 中的每個向量都正交，包括問題中給出的兩個向量。

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問題 9

正交基的一個優點是它們簡化了尋找向量相對於該基的表示。

1. 對於這個向量和這個 $\mathbb {R} ^{2}$ 的非正交基

   ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\qquad B=\left\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\right\rangle$

   首先將向量表示為基向量。然後將向量投影到每個基向量 $[{{\vec {\beta }}_{1}}]$ 和 $[{{\vec {\beta }}_{2}}]$ 的生成空間上。
2. 使用這個 $\mathbb {R} ^{2}$ 的正交基

   $K=\left\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\right\rangle$

   將相同的向量 ${\vec {v}}$ 表示為基向量。然後將向量投影到每個基向量的生成空間上。注意，表示中的係數和投影中的係數是相同的。
3. 設 $K=\left\langle {\vec {\kappa }}_{1},\ldots ,{\vec {\kappa }}_{k}\right\rangle$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 的某個子空間的正交基。證明對於子空間中的任何 ${\vec {v}}$，表示 ${\rm {Rep}}_{K}({\vec {v}}\,)$ 的第 $i$ 個分量是來自 ${\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{i}]}({{\vec {v}}\,})$ 的標量係數 $({\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{i})/({\vec {\kappa }}_{i}\cdot {\vec {\kappa }}_{i})$。
4. 證明 ${\vec {v}}={\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({{\vec {v}}\,})+\dots +{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{k}]}({{\vec {v}}\,})$。

答案

1. 表示可以透過觀察得出。

   ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}=3\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+(-1)\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}}\,)={\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}_{B}$

   兩個投影也很容易得出。

   ${\mbox{proj}}_{[{\vec {\beta }}_{1}]}({\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}})={\frac {{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\frac {5}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\qquad {\mbox{proj}}_{[{\vec {\beta }}_{2}]}({\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}})={\frac {{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\frac {2}{1}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

2. 如上所述，可以用肉眼來表示

   ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}=(5/2)\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+(-1/2)\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$

   兩個投影就很容易了。

   ${\mbox{proj}}_{[{\vec {\beta }}_{1}]}({\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}})={\frac {{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\frac {5}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\qquad {\mbox{proj}}_{[{\vec {\beta }}_{2}]}({\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}})={\frac {{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\frac {-1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$

   注意$5/2$ 和 $-1/2$ 的重複。
3. 用基底表示 ${\vec {v}}$

   ${\rm {Rep}}_{K}({\vec {v}}\,)={\begin{pmatrix}r_{1}\\\vdots \\r_{k}\end{pmatrix}}$

   所以 ${\vec {v}}=r_{1}{\vec {\kappa }}_{1}+\dots +r_{k}{\vec {\kappa }}_{k}$。為了確定 $r_{i}$，對等式兩邊與${\vec {\kappa }}_{i}$ 進行點積。

   ${\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{i}=\left(r_{1}{\vec {\kappa }}_{1}+\dots +r_{k}{\vec {\kappa }}_{k}\right)\cdot {\vec {\kappa }}_{i}=r_{1}\cdot 0+\dots +r_{i}\cdot ({\vec {\kappa }}_{i}\cdot {\vec {\kappa }}_{i})+\dots +r_{k}\cdot 0$

   解出 $r_{i}$ 將得到所需的係數。
4. 這是上一條的複述。

問題 10

貝塞爾不等式。考慮以下正交集

$B_{1}=\{{\vec {e}}_{1}\}\quad B_{2}=\{{\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2}\}\quad B_{3}=\{{\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}\}\quad B_{4}=\{{\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3},{\vec {e}}_{4}\}$

以及向量 ${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{4}$，其分量為 $4$，$3$，$2$ 和 $1$。

1. 求 ${\vec {v}}$ 在 $B_{1}$ 中向量的生成空間上的投影的係數 $c_{1}$。驗證 $|{\vec {v}}\,|^{2}\geq |c_{1}|^{2}$。
2. 找出向量 ${\vec {v}}$ 在 $B_{2}$ 中的兩個向量的跨度上的投影的係數 $c_{1}$ 和 $c_{2}$。檢查是否 $|{\vec {v}}\,|^{2}\geq |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}$.
3. 找出與 $B_{3}$ 中的向量相關的 $c_{1}$，$c_{2}$，和 $c_{3}$，以及與 $B_{4}$ 中的向量相關的 $c_{1}$，$c_{2}$，$c_{3}$，和 $c_{4}$。檢查是否 $|{\vec {v}}\,|^{2}\geq |c_{1}|^{2}+\dots +|c_{3}|^{2}$ 以及 $|{\vec {v}}\,|^{2}\geq |c_{1}|^{2}+\dots +|c_{4}|^{2}$.

證明一般情況下成立：當 $\{{\vec {\kappa }}_{1},\ldots ,{\vec {\kappa }}_{k}\}$ 是一個正交規範集，而 $c_{i}$ 是向量 ${\vec {v}}$ 在該空間上的投影的係數，那麼 $|{\vec {v}}\,|^{2}\geq |c_{1}|^{2}+\dots +|c_{k}|^{2}$。提示. 可以觀察不等式 $0\leq |{\vec {v}}-(c_{1}{\vec {\kappa }}_{1}+\dots +c_{k}{\vec {\kappa }}_{k})|^{2}$ 並展開 $c$。

答案

首先，$|{\vec {v}}\,|^{2}=4^{2}+3^{2}+2^{2}+1^{2}=50$。

1. $c_{1}=4$
2. $c_{1}=4$，$c_{2}=3$
3. $c_{1}=4$，$c_{2}=3$，$c_{3}=2$，$c_{4}=1$

為了證明，我們只進行$k=2$ 的情況，因為完全一般的情況比較複雜，但並沒有更多啟發性。我們遵循提示（回想一下，對於任何向量${\vec {w}}$，我們有$|{\vec {w}}\,|^{2}={\vec {w}}\cdot {\vec {w}}$）。

${\begin{array}{rl}0&\leq \left({\vec {v}}-{\bigl (}{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}{{\vec {\kappa }}_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}{{\vec {\kappa }}_{2}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}{\bigr )}\right)\cdot \left({\vec {v}}-{\bigl (}{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}{{\vec {\kappa }}_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}{{\vec {\kappa }}_{2}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}{\bigr )}\right)\\&={\begin{aligned}&{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-2\cdot {\vec {v}}\cdot \left({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}{{\vec {\kappa }}_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}{{\vec {\kappa }}_{2}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}\right)\\&+\left({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}{{\vec {\kappa }}_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}{{\vec {\kappa }}_{2}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}\right)\cdot \left({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}{{\vec {\kappa }}_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}+{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}{{\vec {\kappa }}_{2}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}\right)\end{aligned}}\\&={\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-2\cdot \left({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}{{\vec {\kappa }}_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}}\cdot ({\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1})+{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}{{\vec {\kappa }}_{2}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}}\cdot ({\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2})\right)+\left(({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}{{\vec {\kappa }}_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}})^{2}\cdot ({\vec {\kappa }}_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1})+({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}{{\vec {\kappa }}_{2}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}})^{2}\cdot ({\vec {\kappa }}_{2}\cdot {\vec {\kappa }}_{2})\right)\end{array}}$

（第三行第三部分的兩個混合項為零，因為${\vec {\kappa }}_{1}$ 和${\vec {\kappa }}_{2}$ 互相正交。）現在，透過收集類似項，並認識到${\vec {\kappa }}_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}=1$ 和${\vec {\kappa }}_{2}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}=1$，因為這些向量被認為是正交集的成員。

問題 11

證明或反駁：$\mathbb {R} ^{n}$ 中的每個向量都在某個正交基中。

答案

這是正確的，除了零向量。$\mathbb {R} ^{n}$ 中除了零向量之外的每個向量都在一個基中，而這個基可以正交化。

問題 12

證明一個$n\!\times \!n$ 矩陣的列向量構成一個正交集當且僅當該矩陣的逆矩陣是其轉置矩陣。構造一個這樣的矩陣。

答案

$3\!\times \!3$ 的情況提供了思路。集合

$\{{\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}c\\f\\i\end{pmatrix}}\}$

是正交集當且僅當以下九個條件全部成立

${\begin{array}{ccc}{\begin{pmatrix}a&d&g\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}}=1&{\begin{pmatrix}a&d&g\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}}=0&{\begin{pmatrix}a&d&g\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}c\\f\\i\end{pmatrix}}=0\\{\begin{pmatrix}b&e&h\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}}=0&{\begin{pmatrix}b&e&h\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}}=1&{\begin{pmatrix}b&e&h\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}c\\f\\i\end{pmatrix}}=0\\{\begin{pmatrix}c&f&i\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a\\d\\g\end{pmatrix}}=0&{\begin{pmatrix}c&f&i\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b\\e\\h\end{pmatrix}}=0&{\begin{pmatrix}c&f&i\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}c\\f\\i\end{pmatrix}}=1\end{array}}$

(左下角三個條件是多餘的，但仍然正確)。反過來，這些條件成立當且僅當

${\begin{pmatrix}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

如要求的那樣。

這是一個例子，這個矩陣的逆矩陣是它的轉置矩陣。

${\begin{pmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}&0\\-1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

問題 13

證明 定理 2.2 是否沒有考慮向量集合為空的可能性（即 $k=0$）？

答案

如果集合為空，則左側的求和是空向量集合的線性組合，根據定義，它加起來等於零向量。在第二句話中，不存在這樣的 $i$，因此“如果...那麼...”的蘊涵是真值空語句。

問題 14

定理 2.7 描述了從任何基底 $B=\left\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{k}\right\rangle$ 到正交基底 $K=\left\langle {\vec {\kappa }}_{1},\ldots ,{\vec {\kappa }}_{k}\right\rangle$ 的變化。考慮基底變化矩陣 ${\rm {Rep}}_{B,K}({\mbox{id}})$。

1. 證明矩陣 ${\rm {Rep}}_{K,B}({\mbox{id}})$，它在與定理相反的方向上進行基底變化，具有上三角形形狀——主對角線以下的所有元素都為零。
2. 證明上三角矩陣的逆矩陣也是上三角矩陣（如果矩陣是可逆的）。這表明矩陣 ${\rm {Rep}}_{B,K}({\mbox{id}})$，它在定理中描述的方向上進行基底變化，是上三角矩陣。

答案

1. 證明 定理 2.7 的歸納證明的一部分驗證了 ${\vec {\kappa }}_{i}$ 在 $\left\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i}\right\rangle$ 的線性空間中。(證明中的 $i=3$ 情況說明了這一點)。因此，在基底變化矩陣 ${\rm {Rep}}_{K,B}({\mbox{id}})$ 中，第 $i$ 列 ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {\kappa }}_{i})$ 的第 $i+1$ 到 $k$ 的元素都是零。
2. 一種理解方法是回顧我們用來求逆矩陣的計算過程。我們寫出矩陣，在它旁邊寫出單位矩陣，然後進行高斯-約旦消元。如果矩陣一開始是上三角矩陣，那麼高斯-約旦消元只涉及約旦部分，這些步驟對單位矩陣進行操作後，將得到一個上三角逆矩陣。

問題 15

完成證明 定理 2.7 中的歸納證明。

答案

對於歸納步驟，我們假設對於所有 $j$ 在 $[1..i]$ 中，這三個條件對每個 ${\vec {\kappa }}_{j}$ 都是成立的：(i) 每個 ${\vec {\kappa }}_{j}$ 都是非零的，(ii) 每個 ${\vec {\kappa }}_{j}$ 都是向量 ${\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{j}$ 的線性組合，以及 (iii) 每個 ${\vec {\kappa }}_{j}$ 都與它之前的 ${\vec {\kappa }}_{m}$ 正交（即 $m<j$）。在這些歸納假設下，考慮 ${\vec {\kappa }}_{i+1}$.

${\begin{array}{rl}{\vec {\kappa }}_{i+1}&={\vec {\beta }}_{i+1}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({\beta _{i+1}})-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{2}]}({\beta _{i+1}})-\dots -{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{i}]}({\beta _{i+1}})\\&={\vec {\beta }}_{i+1}-{\frac {\beta _{i+1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}{{\vec {\kappa }}_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}-{\frac {\beta _{i+1}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}{{\vec {\kappa }}_{2}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}-\dots -{\frac {\beta _{i+1}\cdot {\vec {\kappa }}_{i}}{{\vec {\kappa }}_{i}\cdot {\vec {\kappa }}_{i}}}\cdot {\vec {\kappa }}_{i}\end{array}}$

根據歸納假設 (ii)，我們可以將每個 ${\vec {\kappa }}_{j}$ 展開成 ${\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{j}$ 的線性組合。

$={\vec {\beta }}_{i+1}-{\frac {{\vec {\beta }}_{i+1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}{{\vec {\kappa }}_{1}\cdot {\vec {\kappa }}_{1}}}\cdot {\vec {\beta }}_{1}$

$-{\frac {{\vec {\beta }}_{i+1}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}{{\vec {\kappa }}_{2}\cdot {\vec {\kappa }}_{2}}}\cdot \left({\text{linear combination of }}{\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2}\right)-\dots -{\frac {{\vec {\beta }}_{i+1}\cdot {\vec {\kappa }}_{i}}{{\vec {\kappa }}_{i}\cdot {\vec {\kappa }}_{i}}}\cdot \left({\text{linear combination of }}{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i}\right)$

The fractions are scalars so this is a linear combination of linear combinations of ${\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i+1}$. It is therefore just a linear combination of ${\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i+1}$. Now, (i) it cannot sum to the zero vector because the equation would then describe a nontrivial linear relationship among the ${\vec {\beta }}$'s that are given as members of a basis (the relationship is nontrivial because the coefficient of ${\vec {\beta }}_{i+1}$ is $1$). Also, (ii) the equation gives ${\vec {\kappa }}_{i+1}$ as a combination of ${\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i+1}$. Finally, for (iii), consider ${\vec {\kappa }}_{j}\cdot {\vec {\kappa }}_{i+1}$; as in the $i=3$ case, the dot product of ${\vec {\kappa }}_{j}$ with ${\vec {\kappa }}_{i+1}={\vec {\beta }}_{i+1}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{1}]}({{\vec {\beta }}_{i+1}})-\dots -{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{i}]}({{\vec {\beta }}_{i+1}})$ can be rewritten to give two kinds of terms, ${\vec {\kappa }}_{j}\cdot \left({\vec {\beta }}_{i+1}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{j}]}({{\vec {\beta }}_{i+1}})\right)$ (which is zero because the projection is orthogonal) and ${\vec {\kappa }}_{j}\cdot {\mbox{proj}}_{[{\vec {\kappa }}_{m}]}({{\vec {\beta }}_{i+1}})$ with $m\neq j$ and $m<i+1$ (which is zero because by the hypothesis (iii) the vectors ${\vec {\kappa }}_{j}$ and ${\vec {\kappa }}_{m}$ are orthogonal).