線性代數/約當標準型/解答

解答

問題 1

對示例 2.3進行檢驗。

解答

我們需要檢查

{\begin{pmatrix}3&0\\1&3\end{pmatrix}}=N+3I=PTP^{-1}={\begin{pmatrix}1/2&1/2\\-1/4&1/4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-1\\1&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\1&2\end{pmatrix}}

這個計算很簡單。

問題 2

每個矩陣都是約當形式。寫出其特徵多項式和最小多項式。

${\begin{pmatrix}3&0\\1&3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&-1/2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}3&1&0\\0&3&1\\0&0&3\\\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&1&0\\0&0&3&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}4&1&0&0\\0&4&0&0\\0&0&-4&1\\0&0&0&-4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&0&0&0\\0&2&1&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}$

解答

特徵多項式為 $c(x)=(x-3)^{2}$ ，最小多項式與其相同。
特徵多項式為 $c(x)=(x+1)^{2}$ 。最小多項式為 $m(x)=x+1$ 。
特徵多項式為 $c(x)=(x+(1/2))(x-2)^{2}$ ，最小多項式與其相同。
特徵多項式為 $c(x)=(x-3)^{3}$ 。最小多項式與其相同。
特徵多項式為 $c(x)=(x-3)^{4}$ 。最小多項式為 $m(x)=(x-3)^{3}$ 。
特徵多項式為 $c(x)=(x+4)^{2}(x-4)^{2}$ ，最小多項式與其相同。
特徵多項式為 $c(x)=(x-2)(x-3)(x-5)$ ，最小多項式與其相同。
特徵多項式為 $c(x)=(x-2)^{2}(x-3)(x-5)$ ，最小多項式為 $m(x)=(x-2)(x-3)(x-5)$ 。
特徵多項式為 $c(x)=(x-2)^{2}(x-3)(x-5)$ ，最小多項式與其相同。

建議所有讀者嘗試這道練習。

問題 3

根據給定資料求解 Jordan 標準型。

矩陣 $T$ 是一個 $5\!\times \!5$ 矩陣，只有一個特徵值為 $3$ 。其冪的零度為： $T-3I$ 的零度為 2， $(T-3I)^{2}$ 的零度為 3， $(T-3I)^{3}$ 的零度為 4， $(T-3I)^{4}$ 的零度為 5。
矩陣 $S$ 是一個 $5\!\times \!5$ 矩陣，有兩個特徵值。對於特徵值 $2$ ，其零度為： $S-2I$ 的零度為 2， $(S-2I)^{2}$ 的零度為 4。對於特徵值 $-1$ ，其零度為： $S+1I$ 的零度為 1。

解答

變換 $t-3$ 是冪零的（也就是說， ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-3)$ 是整個空間），它在字串基上透過兩個字串作用， ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}$ 和 ${\vec {\beta }}_{5}\mapsto {\vec {0}}$ 。因此， $t-3$ 可以用這種規範形式表示。
$N_{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$
因此， $T$ 與這個規範形式矩陣相似。
$J_{3}=N_{3}+3I={\begin{pmatrix}3&0&0&0&0\\1&3&0&0&0\\0&1&3&0&0\\0&0&1&3&0\\0&0&0&0&3\end{pmatrix}}$
變換 $s+1$ 在子空間 ${\mathcal {N}}_{\infty }(s+1)$ 上是冪零的，它對字串基的作用為 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {0}}$ 。變換 $s-2$ 在子空間 ${\mathcal {N}}_{\infty }(s-2)$ 上是冪零的，它對字串基的作用為 ${\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}$ 和 ${\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {\beta }}_{5}\mapsto {\vec {0}}$ 。因此，Jordan 形式為：
${\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\0&2&0&0&0\\0&1&2&0&0\\0&0&0&2&0\\0&0&0&1&2\end{pmatrix}}$
（注意，塊的排列順序是按最小特徵值優先。）

問題 4

找出每個例子的基變換矩陣。

解答

對於每個示例，由於可能存在多個基的選擇，因此也可能有多個答案。當然，用來檢查答案是否滿足 $PTP^{-1}$ 為 Jordan 形式的計算是判定答案正確與否的標準。

這裡是箭頭圖。
從左下角移動到左上角的矩陣是這個。
$P^{-1}={\bigl (}{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{3},B}({\mbox{id}}){\bigr )}^{-1}={\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{3}}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}1&-2&0\\1&0&1\\-2&0&0\end{pmatrix}}$
矩陣 $P$ 用於從右上角移動到右下角，是 $P^{-1}$ 的逆矩陣。
我們想要這個矩陣及其逆矩陣。
$P^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&3\\0&1&4\\0&-2&0\end{pmatrix}}$
這些廣義零空間的基的串聯將作為整個空間的基。
$B_{-1}=\langle {\begin{pmatrix}-1\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\-1\\0\\1\end{pmatrix}}\rangle \qquad B_{3}=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\-2\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\\2\\0\end{pmatrix}}\rangle$
基變換矩陣是這個矩陣及其逆矩陣。
$P^{-1}={\begin{pmatrix}-1&-1&1&0&-1\\0&0&1&0&-1\\0&-1&-1&0&1\\1&0&0&-2&2\\0&1&0&2&0\\\end{pmatrix}}$

建議所有讀者嘗試這道練習。

問題 5

求每個矩陣的 Jordan 標準型和 Jordan 基。

${\begin{pmatrix}-10&4\\-25&10\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&-4\\9&-7\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}4&0&0\\2&1&3\\5&0&4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&4&3\\-1&0&-3\\1&-2&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}9&7&3\\-9&-7&-4\\4&4&4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&2&-1\\-1&-1&1\\-1&-2&2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}7&1&2&2\\1&4&-1&-1\\-2&1&5&-1\\1&1&2&8\end{pmatrix}}$

解答

一般的步驟是將特徵多項式 $c(x)=(x-\lambda _{1})^{p_{1}}(x-\lambda _{2})^{p_{2}}\cdots$ 因式分解以獲得特徵值 $\lambda _{1}$ ， $\lambda _{2}$ 等。然後，對於每個 $\lambda _{i}$ ，我們找到變換 $t-\lambda _{i}$ 在 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 上的限制作用的字串基，透過計算矩陣 $T-\lambda _{i}I$ 的冪並找到相關的零空間，直到這些零空間穩定下來（不再改變），此時我們得到了廣義零空間。這些零空間的維數（零度）告訴我們 $t-\lambda _{i}$ 對廣義零空間的字串基的作用，因此我們可以寫出具有 $N_{\lambda _{i}}$ 的次對角線一的模式。從這個矩陣中，與 $\lambda _{i}$ 相關的約旦塊 $J_{\lambda _{i}}$ 是直接的 $J_{\lambda _{i}}=N_{\lambda _{i}}+\lambda _{i}I$ 。最後，在我們對每個特徵值都完成了這些操作後，我們將它們組合成規範形式。

該矩陣的特徵多項式是 $c(x)=(-10-x)(10-x)+100=x^{2}$ ，所以它只有一個特徵值 $\lambda =0$ 。
${\begin{array}{r|ccc}{\textit {power}}p&(T+0\cdot I)^{p}&{\mathcal {N}}((t-0)^{p})&{\textit {nullity}}\\\hline 1&{\begin{pmatrix}-10&4\\-25&10\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}2y/5\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {C} \}&1\\2&{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}&\mathbb {C} ^{2}&2\end{array}}$

(因此，此變換是冪零的： ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-0)$ 是整個空間）。從零度我們知道 $t$ 對字串基的行動是 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}$ 。這是 $t-0$ 在 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-0)=\mathbb {C} ^{2}$ 上的標準形式矩陣。

$N_{0}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

這是矩陣的約當形式。

$J_{0}=N_{0}+0\cdot I={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

注意，如果矩陣是冪零的，則它的標準形式等於它的約當形式。
我們可以使用上一節的技術找到這樣的字串基。

$B=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-10\\-25\end{pmatrix}}\rangle$

第一個基向量被選取使得它位於 $t^{2}$ 的零空間中，但不在 $t$ 的零空間中。第二個基向量是在 $t$ 作用下第一個基向量的像。
這個矩陣的特徵多項式是 $c(x)=(x+1)^{2}$ ，所以它是一個單特徵值矩陣。（也就是說， $t+1$ 的廣義零空間是整個空間。）我們有
${\mathcal {N}}(t+1)=\{{\begin{pmatrix}2y/3\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {C} \}\qquad {\mathcal {N}}((t+1)^{2})=\mathbb {C} ^{2}$
因此， $t+1$ 對關聯字串基的的作用是 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}$ 。因此，
$N_{-1}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$
T 的 Jordan 形式是
$J_{-1}=N_{-1}+-1\cdot I={\begin{pmatrix}-1&0\\1&-1\end{pmatrix}}$
從上面的零空間中選擇向量可以得到這個字串基（還有很多其他選擇）。
$B=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}6\\9\end{pmatrix}}\rangle$
特徵多項式 $c(x)=(1-x)(4-x)^{2}=-1\cdot (x-1)(x-4)^{2}$ 有兩個根，它們是特徵值 $\lambda _{1}=1$ 和 $\lambda _{2}=4$ 。我們分別處理這兩個特徵值。對於 $\lambda _{1}$ ，計算 $T-1I$ 的冪得到
${\mathcal {N}}(t-1)=\{{\begin{pmatrix}0\\y\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {C} \}$
並且 $(t-1)^{2}$ 的零空間是相同的。因此，這組是廣義零空間 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-1)$ 。零度表明 $t-1$ 在廣義零空間上的限制作用在字串基上的形式是 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {0}}$ 。對 $\lambda _{2}=4$ 進行類似的計算會得到這些零空間。
${\mathcal {N}}(t-4)=\{{\begin{pmatrix}0\\z\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,z\in \mathbb {C} \}\qquad {\mathcal {N}}((t-4)^{2})=\{{\begin{pmatrix}y-z\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y,z\in \mathbb {C} \}$
( $(t-4)^{3}$ 的零空間是相同的，因為必須如此，因為與 $\lambda _{2}=4$ 相關的項的冪為 2，因此 $t-2$ 對廣義零空間 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-2)$ 的限制是冪零的，其指數最多為 2 - 最多需要兩次應用 $t-2$ 才能使零空間穩定下來。）空度上升的方式告訴我們， $t-4$ 對 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-4)$ 的關聯字串基的的作用是 ${\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}$ 。將兩個特徵值的的資訊放在一起得到變換 $t$ 的 Jordan 形式。
${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&1&4\end{pmatrix}}$
我們可以取零空間的元素得到一個合適的基。
$B=B_{1}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{4}=\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\5\\5\end{pmatrix}}\rangle$
特徵多項式是 $c(x)=(-2-x)(4-x)^{2}=-1\cdot (x+2)(x-4)^{2}$ 。對於特徵值 $\lambda _{-2}$ ，計算 $T+2I$ 的冪得到如下結果。
${\mathcal {N}}(t+2)=\{{\begin{pmatrix}z\\z\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,z\in \mathbb {C} \}$
$(t+2)^{2}$ 的零空間相同，因此這是廣義零空間 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t+2)$ 。因此， $t+2$ 限制在 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t+2)$ 上的相關字串基的運算為 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {0}}$ 。對於 $\lambda _{2}=4$ ，計算 $T-4I$ 的冪，得到
${\mathcal {N}}(t-4)=\{{\begin{pmatrix}z\\-z\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,z\in \mathbb {C} \}\qquad {\mathcal {N}}((t-4)^{2})=\{{\begin{pmatrix}x\\-z\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,z\in \mathbb {C} \}$
因此， $t-4$ 在 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-4)$ 上的字串基上的運算為 ${\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}$ 。因此，Jordan 形式為
${\begin{pmatrix}-2&0&0\\0&4&0\\0&1&4\end{pmatrix}}$
以及一個合適的基是這個。
$B=B_{-2}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{4}=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}}\rangle$
這個矩陣的特徵多項式是 $c(x)=(2-x)^{3}=-1\cdot (x-2)^{3}$ 。這個矩陣只有一個特徵值， $\lambda =2$ 。透過找到 $T-2I$ 的冪，我們有
${\mathcal {N}}(t-2)=\{{\begin{pmatrix}-y\\y\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {C} \}\qquad {\mathcal {N}}((t-2)^{2})=\{{\begin{pmatrix}-y-(1/2)z\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y,z\in \mathbb {C} \}\qquad {\mathcal {N}}((t-2)^{3})=\mathbb {C} ^{3}$
因此 $t-2$ 對相關字串基的作用是 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}$ 。約旦標準形是這個
${\begin{pmatrix}2&0&0\\1&2&0\\0&1&2\end{pmatrix}}$
以及基的一種選擇是這個。
$B=\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}7\\-9\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}}\rangle$
特徵多項式 $c(x)=(1-x)^{3}=-(x-1)^{3}$ 只有一個根，因此矩陣只有一個特徵值 $\lambda =1$ 。求 $T-1I$ 的冪並計算零空間
${\mathcal {N}}(t-1)=\{{\begin{pmatrix}-2y+z\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y,z\in \mathbb {C} \}\qquad {\mathcal {N}}((t-1)^{2})=\mathbb {C} ^{3}$
表明冪零對映 $t-1$ 對字串基的作用為 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}$ 和 ${\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}$ 。因此，Jordan 形式為
$J={\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
以及相應的基（與 $t-1$ 相關的字串基）如下。
$B=\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\rangle$
特徵多項式對於手工計算來說有點大，但還是可以處理的 $c(x)=x^{4}-24x^{3}+216x^{2}-864x+1296=(x-6)^{4}$ 。這是一個單特徵值對映，因此變換 $t-6$ 是冪零的。零空間為
${\mathcal {N}}(t-6)=\{{\begin{pmatrix}-z-w\\-z-w\\z\\w\end{pmatrix}}\,{\big |}\,z,w\in \mathbb {C} \}\quad {\mathcal {N}}((t-6)^{2})=\{{\begin{pmatrix}x\\-z-w\\z\\w\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,z,w\in \mathbb {C} \}\quad {\mathcal {N}}((t-6)^{3})=\mathbb {C} ^{4}$
零化度表明 $t-6$ 對字串基的運算為 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}$ 和 ${\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}$ 。若爾當形式為
${\begin{pmatrix}6&0&0&0\\1&6&0&0\\0&1&6&0\\0&0&0&6\\\end{pmatrix}}$
找到合適的字串基是例行公事。
$B=\langle {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\3\\-6\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\\0\end{pmatrix}}\rangle$

建議所有讀者嘗試這道練習。

問題 6

找出特徵多項式為 $(x-1)^{2}(x+2)^{2}$ 的所有可能的若爾當形式。

解答

存在兩個特徵值， $\lambda _{1}=-2$ 和 $\lambda _{2}=1$ 。 $t+2$ 對 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t+2)$ 的限制可能對相關字串基具有以下兩種運算之一。

{\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}\qquad {\begin{array}{l}{\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}\end{array}}

對 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-1)$ 的限制 $t-1$ ，可能對關聯的字串基有以下兩種操作。

{\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}\qquad {\begin{array}{l}{\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}\end{array}}

綜合起來，共有四種可能的 Jordan 標準型：前兩種操作，第二種和第一種，第一種和第二種，以及最後兩種操作。

{\begin{pmatrix}-2&0&0&0\\1&-2&0&0\\0&0&1&0\\0&0&1&1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-2&0&0&0\\0&-2&0&0\\0&0&1&0\\0&0&1&1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-2&0&0&0\\1&-2&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-2&0&0&0\\0&-2&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

問題 7

找到特徵多項式為 $(x-1)^{3}(x+2)$ 的變換的所有可能的 Jordan 標準型。

解答

限制 $t+2$ 到 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t+2)$ 只能有 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {0}}$ 的動作。限制 $t-1$ 到 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-1)$ 在相關字串基礎上可能具有以下三種動作中的任何一種。

{\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}\qquad {\begin{array}{l}{\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{l}{\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}\end{array}}

綜上所述，共有三種可能的約旦形式，一種是由 $t-1$ 的第一個動作（以及 $t+2$ 的唯一動作）產生的，另一種是由第二個動作產生的，最後一種是由第三個動作產生的。

{\begin{pmatrix}-2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

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問題 8

求出特徵多項式為 $(x-2)^{3}(x+1)$ ，最小多項式為 $(x-2)^{2}(x+1)$ 的變換的所有可能的Jordan標準型。

解答

對於 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t+1)$ 的字串基， $t+1$ 的作用必須是 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {0}}$ 。由於最小多項式中 $x-2$ 的冪， $t-2$ 的字串基的長度為2，因此 $t-2$ 作用於 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-2)$ 必須是以下形式。

{\begin{array}{l}{\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}\end{array}}

因此，只有一個可能的Jordan標準型。

{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&1&2&0\\0&0&0&2\end{pmatrix}}

問題 9

求出特徵多項式為 $(x-2)^{4}(x+1)$ ，最小多項式為 $(x-2)^{2}(x+1)$ 的變換的所有可能的Jordan標準型。

解答

存在兩種可能的 Jordan 標準型。對於 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t+1)$ 的字串基， $t+1$ 的作用必須是 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {0}}$ 。對於 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-2)$ 的字串基， $t-2$ 有兩種可能的動作，這與這個特徵多項式和最小多項式是可能的。

{\begin{array}{l}{\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {\beta }}_{5}\mapsto {\vec {0}}\end{array}}\qquad {\begin{array}{l}{\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{5}\mapsto {\vec {0}}\end{array}}

由此產生的 Jordan 標準型矩陣如下。

{\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\0&2&0&0&0\\0&1&2&0&0\\0&0&0&2&0\\0&0&0&1&2\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\0&2&0&0&0\\0&1&2&0&0\\0&0&0&2&0\\0&0&0&0&2\end{pmatrix}}

建議所有讀者嘗試這道練習。

問題 10: 對這些進行對角化。

${\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

解答

特徵多項式為 $c(x)=x(x-1)$ 。對於 $\lambda _{1}=0$ ，我們有
${\mathcal {N}}(t-0)=\{{\begin{pmatrix}-y\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {C} \}$
(當然， $t^{2}$ 的零空間是一樣的)。對於 $\lambda _{2}=1$ ，
${\mathcal {N}}(t-1)=\{{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {C} \}$
(以及 $(t-1)^{2}$ 的零空間是一樣的)。我們可以取這個基
$B=\langle {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rangle$
來獲得對角化。
${\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$
特徵多項式是 $c(x)=x^{2}-1=(x+1)(x-1)$ 。對於 $\lambda _{1}=-1$ ，
${\mathcal {N}}(t+1)=\{{\begin{pmatrix}-y\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {C} \}$
並且 $(t+1)^{2}$ 的零空間是相同的。對於 $\lambda _{2}=1$
${\mathcal {N}}(t-1)=\{{\begin{pmatrix}y\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {C} \}$
並且 $(t-1)^{2}$ 的零空間是相同的。我們可以採用這個基
$B=\langle {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\rangle$
來得到一個對角化。
${\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

建議所有讀者嘗試這道練習。

問題 11

找到在 ${\mathcal {P}}_{3}$ 上表示微分運算子的約旦矩陣。

解答

變換 $d/dx:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 是冪零的。它對 $B=\langle x^{3},3x^{2},6x,6\rangle$ 的作用是 $x^{3}\mapsto 3x^{2}\mapsto 6x\mapsto 6\mapsto 0$ 。它的約旦形式是它作為冪零矩陣的規範形式。

J={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}

建議所有讀者嘗試這道練習。

問題 12

判斷這兩個矩陣是否相似。

{\begin{pmatrix}1&-1\\4&-3\\\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-1&0\\1&-1\\\end{pmatrix}}

解答

是的。每個矩陣的特徵多項式都是 $(x+1)^{2}$ 。計算 $T_{1}+1\cdot I$ 和 $T_{2}+1\cdot I$ 的冪得到這兩個矩陣。

{\mathcal {N}}(t_{1}+1)=\{{\begin{pmatrix}y/2\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {C} \}\qquad {\mathcal {N}}(t_{2}+1)=\{{\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {C} \}

(當然，對於每個矩陣，其平方矩陣的零空間都是整個空間)。零度增加的方式表明每個矩陣都與以下 Jordan 形式矩陣相似

{\begin{pmatrix}-1&0\\1&-1\\\end{pmatrix}}

因此它們彼此相似。

問題 13

求以下矩陣的 Jordan 形式。

{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

並給出其 Jordan 基。

解答

其特徵多項式為 $c(x)=x^{2}+1$ ，其復根為 $x^{2}+1=(x+i)(x-i)$ 。由於根是不同的，所以該矩陣可對角化，其 Jordan 形式就是那個對角矩陣。

{\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}

為了找到相關的基，我們計算零空間。

{\mathcal {N}}(t+i)=\{{\begin{pmatrix}-iy\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {C} \}\qquad {\mathcal {N}}(t-i)=\{{\begin{pmatrix}iy\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {C} \}

例如：

T+i\cdot I={\begin{pmatrix}i&-1\\1&i\end{pmatrix}}

因此，透過求解這個線性系統，我們可以得到 $t+i$ 的零空間的描述。

{\begin{array}{*{2}{rc}r}ix&-&y&=&0\\x&+&iy&=&0\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{i\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}ix&-&y&=&0\\&&0&=&0\end{array}}

（為了改變關係 $ix=y$ ，使主變數 $x$ 用自由變數 $y$ 表示，我們可以將兩邊乘以 $-i$ 。）

因此，一個這樣的基是這個。

B=\langle {\begin{pmatrix}-i\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix}}\rangle

問題 14

對於 $3\!\times \!3$ 矩陣，其唯一特徵值為 $-3$ 和 $4$ ，有多少個相似類？

解答

我們可以透過計算可能的規範代表（即可能的約旦標準形矩陣）來計算可能的類數。特徵多項式必須是 $c_{1}(x)=(x+3)^{2}(x-4)$ 或 $c_{2}(x)=(x+3)(x-4)^{2}$ 。在 $c_{1}$ 情況下， $t+3$ 對 $t+3$ 的字串基有兩種可能的動作。

{\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}\qquad {\begin{array}{l}{\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}\end{array}}

有兩個相關的約旦標準形矩陣。

{\begin{pmatrix}-3&0&0\\1&-3&0\\0&0&4\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-3&0&0\\0&-3&0\\0&0&4\end{pmatrix}}

類似地，還有兩個約旦形式矩陣可能來自 $c_{2}$ .

{\begin{pmatrix}-3&0&0\\0&4&0\\0&1&4\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-3&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix}}

因此，總共有四種可能的約旦形式。

建議所有讀者嘗試這道練習。

問題 15

證明矩陣可對角化當且僅當其最小多項式只有線性因子。

解答

約旦形式是唯一的。對角矩陣是約旦形式。因此可對角化矩陣的約旦形式就是其對角化。如果最小多項式包含大於一的冪次因子，那麼約旦形式會有次對角線 $1$ ，因此不是對角矩陣。

問題 16

給出一個線性變換的例子，該變換作用於向量空間，但沒有非平凡的不變子空間。

解答

一個例子是 $\mathbb {C}$ 上的變換，將 $x$ 對映到 $-x$ .

問題 17

證明一個子空間是 $t-\lambda _{1}$ 不變的當且僅當它也是 $t-\lambda _{2}$ 不變的。

解答

應用引理 2.7 兩次；子空間是 $t-\lambda _{1}$ 不變的當且僅當它是 $t$ 不變的，這又等價於它是 $t-\lambda _{2}$ 不變的。

問題 18

證明或反駁：兩個 $n\!\times \!n$ 矩陣相似當且僅當它們具有相同的特徵多項式和最小多項式。

解答

錯誤；這兩個 $4\!\times \!4$ 矩陣都具有 $c(x)=(x-3)^{4}$ 和 $m(x)=(x-3)^{2}$ .

{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\1&3&0&0\\0&0&3&0\\0&0&1&3\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}3&0&0&0\\1&3&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}

問題 19

方陣的跡是其對角線元素的總和。

求 $2\!\times \!2$ 矩陣的特徵多項式公式。
證明跡在相似變換下是不變的，因此我們可以合理地說“對映的跡”。（提示：參見上一項。）
跡在矩陣等價變換下是不變的嗎？
證明對映的跡是其特徵值的總和（算上重數）。
證明冪零對映的跡為零。反之是否成立？

解答

特徵多項式為：
${\begin{vmatrix}a-x&b\\c&d-x\end{vmatrix}}=(a-x)(d-x)-bc=ad-(a+d)x+x^{2}-bc=x^{2}-(a+d)x+(ad-bc)$
注意，行列式作為常數項出現。
回顧特徵多項式 $\left|T-xI\right|$ 在相似變換下是不變的。用排列展開公式證明跡是 $x^{n-1}$ 項係數的負數。
不，存在矩陣 $T$ 和 $S$ 是等價的 $S=PTQ$ （對於一些非奇異的 $P$ 和 $Q$ ），但它們的跡不同。一個簡單的例子是：
$PTQ={\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}}$
使用 $1\!\times \!1$ 矩陣的更容易的例子是可能的。
將矩陣化為約旦標準型。根據第一項，跡不變。
第一部分很容易；使用第三項。反之不成立：此矩陣
${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
跡為零，但不是冪零矩陣。

問題 20

為了使用定義 2.6 來檢查一個子空間是否為 $t$ 不變的，我們似乎必須檢查子空間中所有無窮多個向量，以檢視它們是否滿足該條件。證明一個子空間是 $t$ 不變的當且僅當其子基具有這樣的性質：對於其所有元素， $t({\vec {\beta }})$ 位於該子空間中。

解答

假設 $B_{M}$ 是某個向量空間子空間 $M$ 的基。一個方向上的蘊涵是清楚的；如果 $M$ 是 $t$ 不變的，那麼特別是，如果 ${\vec {m}}\in B_{M}$ ，那麼 $t({\vec {m}})\in M$ 。對於另一個方向上的蘊涵，令 $B_{M}=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{q}\rangle$ 並注意到 $t({\vec {m}})=t(m_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +m_{q}{\vec {\beta }}_{q})=m_{1}t({\vec {\beta }}_{1})+\dots +m_{q}t({\vec {\beta }}_{q})$ 位於 $M$ 中，因為任何子空間在對線性組合封閉。

建議所有讀者嘗試這道練習。

問題 21

在交集、並集、補集和子空間的和運算下， $t$ 不變性是否保持？

解答

是的， $t$ 不變子空間的交集是 $t$ 不變的。假設 $M$ 和 $N$ 是 $t$ 不變的。如果 ${\vec {v}}\in M\cap N$ 那麼 $t({\vec {v}})\in M$ 由於 $M$ 的不變性，而 $t({\vec {v}})\in N$ 由於 $N$ 的不變性。

當然，兩個子空間的並集不一定是子空間（記住 $x$ 軸和 $y$ 軸是平面 $\mathbb {R} ^{2}$ 的子空間，但這兩個軸的並集不能在向量加法下閉合，例如它不包含 ${\vec {e}}_{1}+{\vec {e}}_{2}$ 。）但是，不變子集的並集是一個不變子集；如果 ${\vec {v}}\in M\cup N$ ，則 ${\vec {v}}\in M$ 或 ${\vec {v}}\in N$ ，所以 $t({\vec {v}})\in M$ 或 $t({\vec {v}})\in N$ 。

不，不變子空間的補集不一定是保持不變的。考慮子空間

\{{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {C} \}

的 $\mathbb {C} ^{2}$ 在零變換下。

是的，兩個不變子空間的和是保持不變的。檢查很容易。

問題 22

如果一些特徵值是複數，請給出一種對約旦塊進行排序的方法。也就是說，為複數建議一個合理的排序。

解答

一種這樣的排序是**字典序**。首先按實部排序，然後按 $i$ 的係數排序。例如， $3+2i<4+1i$ ，但 $4+1i<4+2i$ 。

問題 23

設 ${\mathcal {P}}_{j}(\mathbb {R} )$ 是實數域上的度為 $j$ 的多項式向量空間。證明如果 $j\leq k$ 則 ${\mathcal {P}}_{j}(\mathbb {R} )$ 是 ${\mathcal {P}}_{k}(\mathbb {R} )$ 在微分運算元下的不變子空間。在 ${\mathcal {P}}_{7}(\mathbb {R} )$ 中， ${\mathcal {P}}_{0}(\mathbb {R} )$ ，…， ${\mathcal {P}}_{6}(\mathbb {R} )$ 中是否有任何一個具有不變補空間？

解答

前半部分很容易——任何實多項式的導數都是一個度數更低的多項式。後半部分的答案是“沒有”； ${\mathcal {P}}_{j}(\mathbb {R} )$ 的任何補空間都必須包含一個度為 $j+1$ 的多項式，而該多項式的導數在 ${\mathcal {P}}_{j}(\mathbb {R} )$ 中。

問題 24

在 ${\mathcal {P}}_{n}(\mathbb {R} )$ 中，即實數域上的度為 $n$ 的多項式向量空間，

{\mathcal {E}}=\{p(x)\in {\mathcal {P}}_{n}(\mathbb {R} )\,{\big |}\,p(-x)=p(x){\text{ for all }}x\}

以及

{\mathcal {O}}=\{p(x)\in {\mathcal {P}}_{n}(\mathbb {R} )\,{\big |}\,p(-x)=-p(x){\text{ for all }}x\}

是偶數和奇數多項式； $p(x)=x^{2}$ 是偶數，而 $p(x)=x^{3}$ 是奇數。證明它們是子空間。它們是互補的嗎？它們在微分變換下是不變的嗎？

解答

對於前半部分，證明每個子空間，然後觀察到任何多項式都可以唯一地寫成偶次項和奇次項的和（零多項式既是偶數又是奇數）。後半部分的答案是“否”： $x^{2}$ 是偶數，而 $2x$ 是奇數。

問題 25

引理 2.8指出，如果 $M$ 和 $N$ 是不變的補集，那麼 $t$ 在給定的塊形式中具有表示（當然，相對於相同的結束和開始基）。這個推論可以反過來嗎？

解答

是的。如果 ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ 具有給定的塊形式，取 $B_{M}$ 為 $B$ 中的前 $j$ 個向量，其中 $J$ 是 $j\!\times \!j$ 左上角子矩陣。取 $B_{N}$ 為 $B$ 中剩餘的 $k$ 個向量。令 $M$ 和 $N$ 分別為 $B_{M}$ 和 $B_{N}$ 的生成空間。顯然， $M$ 和 $N$ 是互補的。為了看到 $M$ 是不變的（ $N$ 的作用方式相同），以 $B$ 為基表示任何 ${\vec {m}}\in M$ ，注意最後 $k$ 個分量為零，並乘以給定的塊矩陣。結果的最後 $k$ 個分量為零，因此該結果再次在 $M$ 中。