線性代數/約旦標準型

線性代數
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本小節從冪零矩陣的標準型到所有矩陣的標準型。

我們已經證明，如果一個對映是冪零的，那麼它的所有特徵值都是零。我們現在可以證明反之。

引理 2.1

唯一特徵值為零的線性變換是冪零的。

證明

如果變換 $t$ 在一個 $n$ 維空間中，並且只有一個特徵值為零，那麼它的特徵多項式是 $x^{n}$ 。凱萊-哈密頓定理說，一個對映滿足其特徵多項式，因此 $t^{n}$ 是零對映。因此 $t$ 是冪零的。

我們對冪零矩陣有一個標準型，也就是說，對於每個只有一個特徵值為零的矩陣：每個這樣的矩陣都類似於一個除了子對角線上的塊之外全為零的矩陣。（為了使這種表示唯一，我們可以固定塊的排列順序，例如，從最長的到最短的。）接下來，我們將此擴充套件到所有單特徵值矩陣。

觀察到，如果 $t$ 的唯一特徵值為 $\lambda$ ，那麼 $t-\lambda$ 的唯一特徵值為 $0$ ，因為 $t({\vec {v}})=\lambda {\vec {v}}$ 當且僅當 $(t-\lambda )\,({\vec {v}})=0\cdot {\vec {v}}$ 。擴充套件冪零矩陣結果的自然方法是將 $t-\lambda$ 表示為標準形式 $N$ ，並嘗試使用它來獲得 $t$ 的簡單表示 $T$ 。下一個結果表明這個嘗試是有效的。

引理 2.2

如果矩陣 $T-\lambda I$ 和 $N$ 相似，那麼 $T$ 和 $N+\lambda I$ 也是相似的，透過相同的基變換矩陣。

證明

因為 $N=P(T-\lambda I)P^{-1}=PTP^{-1}-P(\lambda I)P^{-1}$ ，我們有 $N=PTP^{-1}-PP^{-1}(\lambda I)$ ，因為對角矩陣 $\lambda I$ 與任何東西交換，所以 $N=PTP^{-1}-\lambda I$ 。因此 $N+\lambda I=PTP^{-1}$ ，如要求。

示例 2.3

的特徵多項式

T={\begin{pmatrix}2&-1\\1&4\end{pmatrix}}

是 $(x-3)^{2}$ ，所以 $T$ 只有一個特徵值 $3$ 。因此對於

T-3I={\begin{pmatrix}-1&-1\\1&1\end{pmatrix}}

唯一的特徵值是 $0$ ，並且 $T-3I$ 是冪零的。零空間很容易找到；為了簡化計算，我們取 $T$ 來表示變換 $t:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{2}$ 關於標準基（在本章的剩餘部分中我們將保持此約定）。

{\mathcal {N}}(t-3)=\{{\begin{pmatrix}-y\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {C} \}\qquad {\mathcal {N}}((t-3)^{2})=\mathbb {C} ^{2}

這些零空間的維度表明，一個關聯對映 $t-3$ 對字串基的運算為 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}$ 。因此，對於 $t-3$ 的規範形式，在字串基選擇的情況下為

{\rm {Rep}}_{B,B}(t-3)=N={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\qquad B=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}}\rangle

以及根據引理 2.2， $T$ 與該矩陣相似。

{\rm {Rep}}_{t}(B,B)=N+3I={\begin{pmatrix}3&0\\1&3\end{pmatrix}}

我們可以進行相似性計算。回顧冪零部分中如何找到改變基矩陣 $P$ 和 $P^{-1}$ 來表達 $N$ 為 $P(T-3I)P^{-1}$ 。相似性圖

說明要從左下角移動到左上角，我們需要乘以

P^{-1}={\bigl (}{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},B}({\mbox{id}}){\bigr )}^{-1}={\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}1&-2\\1&2\end{pmatrix}}

要從右上角移動到右下角，我們需要乘以該矩陣。

P={\begin{pmatrix}1&-2\\1&2\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1/2&1/2\\-1/4&1/4\end{pmatrix}}

因此，相似性由以下公式表示：

{\begin{pmatrix}3&0\\1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/2&1/2\\-1/4&1/4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-1\\1&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\1&2\end{pmatrix}}

這很容易驗證。

例 2.4

該矩陣的特徵多項式為 $(x-4)^{4}$

T={\begin{pmatrix}4&1&0&-1\\0&3&0&1\\0&0&4&0\\1&0&0&5\end{pmatrix}}

因此，它只有一個特徵值為 $4$ 。 $t-4$ 的零度為： $t-4$ 的零空間維數為 2， $(t-4)^{2}$ 的零空間維數為 3， $(t-4)^{3}$ 的零空間維數為 4。因此， $t-4$ 對字串基底的作用為 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}$ 和 ${\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}$ 。這為 $t-4$ 給出了規範形式 $N$ ，進而為 $t$ 給出了形式。

N+4I={\begin{pmatrix}4&0&0&0\\1&4&0&0\\0&1&4&0\\0&0&0&4\end{pmatrix}}

除了對角線上的某些數字 $\lambda$ 和次對角線上的塊狀 1 之外，其餘元素都為 0 的陣列稱為 **約旦塊**。我們已經證明，約旦塊矩陣是單一特徵值矩陣相似類別的規範代表。

示例 2.5

只有 $1/2$ 為特徵值的 $3\!\times \!3$ 矩陣分為三個相似類。這三個類別具有以下規範代表。

{\begin{pmatrix}1/2&0&0\\0&1/2&0\\0&0&1/2\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1/2&0&0\\1&1/2&0\\0&0&1/2\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1/2&0&0\\1&1/2&0\\0&1&1/2\end{pmatrix}}

特別是，這個矩陣

{\begin{pmatrix}1/2&0&0\\0&1/2&0\\0&1&1/2\end{pmatrix}}

屬於由中間一個代表的相似類，因為我們採用了從最長塊到最短塊對次對角線上的塊狀 1 進行排序的約定。

現在，我們將透過擴充套件這項工作來涵蓋具有多個特徵值的對映和矩陣，來完成本章的程式。對於一般的對映和矩陣，最佳可能性是，如果我們能夠將它們分解為涉及第一個特徵值 $\lambda _{1}$ （我們使用其約旦塊表示）的部分、包含 $\lambda _{2}$ 的部分，等等。

實際上，這種理想情況確實會發生。對於任何變換 $t:V\to V$ ，我們將空間 $V$ 分解成兩個直接和：一個部分是 $t-\lambda _{1}$ 是冪零的，另一個部分是 $t-\lambda _{2}$ 是冪零的，等等。更準確地說，我們將分三步得出本節的主要定理，第三步表明 $V={\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{\ell })$ ，其中 $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{\ell }$ 是 $t$ 的特徵值。

假設 $t:V\to V$ 是一個線性變換。注意， $t$ 到子空間 $M$ 的限制^[1] 不一定是 $M$ 上的線性變換，因為可能存在一個 ${\vec {m}}\in M$ 使得 $t({\vec {m}})\not \in M$ 。為了確保變換對空間的“部分”的限制是該部分上的變換，我們需要下一個條件。

定義 2.6

設 $t:V\to V$ 為一個變換。一個子空間 $M$ 被稱為 ** $t$ 不變**，如果只要 ${\vec {m}}\in M$ ，那麼 $t({\vec {m}})\in M$ （簡短地說： $t(M)\subseteq M$ ）。

兩個例子是廣義零空間 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t)$ 和廣義值域 ${\mathcal {R}}_{\infty }(t)$ 對於任何變換 $t$ 都是不變的。對於廣義零空間，如果 ${\vec {v}}\in {\mathcal {N}}_{\infty }(t)$ 那麼 $t^{n}({\vec {v}})={\vec {0}}$ 其中 $n$ 是基礎空間的維度，所以 $t({\vec {v}})\in {\mathcal {N}}_{\infty }(t)$ 因為 $t^{n}(\,t({\vec {v}})\,)$ 也是零。對於廣義值域，如果 ${\vec {v}}\in {\mathcal {R}}_{\infty }(t)$ 那麼 ${\vec {v}}=t^{n}({\vec {w}})$ 對於某個 ${\vec {w}}$ ，然後 $t({\vec {v}})=t^{n+1}({\vec {w}})=t^{n}(\,t({\vec {w}})\,)$ 表明 $t({\vec {v}})$ 也是 ${\mathcal {R}}_{\infty }(t)$ 的成員。

因此，空間 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 和 ${\mathcal {R}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 是 $t-\lambda _{i}$ 不變的。觀察到 $t-\lambda _{i}$ 在 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 上是冪零的，因為如果 ${\vec {v}}$ 具有 $t-\lambda _{i}$ 的某個冪將其對映為零——也就是說，如果它在廣義零空間中——那麼 $t-\lambda _{i}$ 的某個冪將其對映為零。廣義零空間 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 是空間的一部分，其中 $t-\lambda _{i}$ 的作用很容易理解。

下一個結果是我們的三步中的第一步。它表明 $t-\lambda _{j}$ 保留 $t-\lambda _{i}$ 的部分不變。

引理 2.7

一個子空間是 $t$ 不變當且僅當它對於任何標量 $\lambda$ 是 $t-\lambda$ 不變的。特別地，當 $\lambda _{i}$ 是線性變換 $t$ 的特徵值時，對於任何其他特徵值 $\lambda _{j}$ ，空間 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 和 ${\mathcal {R}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 是 $t-\lambda _{j}$ 不變的。

證明

對於第一個句子，我們分別檢查“當且僅當”的兩個含義。其中一個是簡單的：如果子空間是 $t-\lambda$ 不變的，對於任何 $\lambda$ ，那麼取 $\lambda =0$ 表明它是 $t$ 不變的。對於另一個含義，假設子空間是 $t$ 不變的，因此如果 ${\vec {m}}\in M$ 那麼 $t({\vec {m}})\in M$ ，並且令 $\lambda$ 是任何一個標量。子空間 $M$ 線上性組合下是封閉的，因此如果 $t({\vec {m}})\in M$ 那麼 $t({\vec {m}})-\lambda {\vec {m}}\in M$ 。因此，如果 ${\vec {m}}\in M$ 那麼 $(t-\lambda )\,({\vec {m}})\in M$ ，如要求。

第二個句子直接從第一個句子得出。因為這兩個空間是 $t-\lambda _{i}$ 不變的，因此它們是 $t$ 不變的。從這一點出發，再次應用第一個句子，我們可以得出結論，它們也是 $t-\lambda _{j}$ 不變的。

The second step of the three that we will take to prove this section's major result makes use of an additional property of ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ and ${\mathcal {R}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ , that they are complementary. Recall that if a space is the direct sum of two others $V={\mathcal {N}}\oplus {\mathcal {R}}$ then any vector ${\vec {v}}$ in the space breaks into two parts ${\vec {v}}={\vec {n}}+{\vec {r}}$ where ${\vec {n}}\in {\mathcal {N}}$ and ${\vec {r}}\in {\mathcal {R}}$ , and recall also that if $B_{\mathcal {N}}$ and $B_{\mathcal {R}}$ are bases for ${\mathcal {N}}$ and ${\mathcal {R}}$ then the concatenation $B_{\mathcal {N}}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{\mathcal {R}}$ is linearly independent (and so the two parts of ${\vec {v}}$ do not "overlap"). The next result says that for any subspaces ${\mathcal {N}}$ and ${\mathcal {R}}$ that are complementary as well as $t$ invariant, the action of $t$ on ${\vec {v}}$ breaks into the "non-overlapping" actions of $t$ on ${\vec {n}}$ and on ${\vec {r}}$ .

引理 2.8

設 $t:V\to V$ 是一個變換，設 ${\mathcal {N}}$ 和 ${\mathcal {R}}$ 是 $t$ 不變的 $V$ 的互補子空間。那麼 $t$ 可以用一個矩陣來表示，這個矩陣由方陣塊 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ 組成。

\left({\begin{array}{c|c}T_{1}&Z_{2}\\\hline Z_{1}&T_{2}\end{array}}\right){\begin{array}{ll}\}\dim({\mathcal {N}}){\text{-many rows}}\\\}\dim({\mathcal {R}}){\text{-many rows}}\end{array}}

其中 $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 是零矩陣塊。

證明

由於這兩個子空間是互補的， ${\mathcal {N}}$ 的一個基和 ${\mathcal {R}}$ 的一個基的拼接構成 $V$ 的一個基 $B=\langle {\vec {\nu }}_{1},\dots ,{\vec {\nu }}_{p},{\vec {\mu }}_{1},\ldots ,{\vec {\mu }}_{q}\rangle$ 。我們將證明矩陣

{\rm {Rep}}_{B,B}(t)=\left({\begin{array}{c|c|c}\vdots &&\vdots \\{\rm {Rep}}_{B}(t({\vec {\nu }}_{1}))&\cdots &{\rm {Rep}}_{B}(t({\vec {\mu }}_{q}))\\\vdots &&\vdots \\\end{array}}\right)

具有所需的格式。

任何向量 ${\vec {v}}\in V$ 都在 ${\mathcal {N}}$ 中，當且僅當其最後一個 $q$ 個分量在用 $B$ 表示時為零。由於 ${\mathcal {N}}$ 是 $t$ 不變的，所以每一個向量 ${\rm {Rep}}_{B}(t({\vec {\nu }}_{1}))$ ，…， ${\rm {Rep}}_{B}(t({\vec {\nu }}_{p}))$ 都有這種形式。因此， ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ 的左下角都是零。

右上角的論證類似。

要看到 $t$ 已分解為其對各部分的作用，請觀察 $t$ 對子空間 ${\mathcal {N}}$ 和 ${\mathcal {R}}$ 的限制是如何表示的，它們分別由矩陣 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ 表示，這些矩陣相對於明顯的基底。因此，對於不變且互補的子空間，我們可以將檢查線性變換的問題拆分為兩個低維子問題。以下結果說明了這種分解成塊。

引理 2.9

如果 $T$ 是一個具有方陣子矩陣 $T_{1}$ 和 $T_{2}$ 的矩陣

T=\left({\begin{array}{c|c}T_{1}&Z_{2}\\\hline Z_{1}&T_{2}\end{array}}\right)

其中 $Z$ 是零塊，那麼 $\left|T\right|=\left|T_{1}\right|\cdot \left|T_{2}\right|$ 。

證明

假設 $T$ 是 $n\!\times \!n$ ， $T_{1}$ 是 $p\!\times \!p$ ， $T_{2}$ 是 $q\!\times \!q$ 。在行列式的排列公式中

\left|T\right|=\sum _{{\text{permutations }}\phi }t_{1,\phi (1)}t_{2,\phi (2)}\cdots t_{n,\phi (n)}\operatorname {sgn}(\phi )

每一項都來自對列號 $1,\dots ,n$ 的重新排序，得到一個新的順序 $\phi (1),\dots ,\phi (n)$ 。右上角的塊 $Z_{2}$ 全部為零，因此，如果一個 $\phi$ 在其前 $p$ 個列號 $\phi (1),\dots ,\phi (p)$ 中至少包含一個 $p+1,\dots ,n$ ，那麼由 $\phi$ 產生的項為零，例如，如果 $\phi (1)=n$ ，那麼 $t_{1,\phi (1)}t_{2,\phi (2)}\dots t_{n,\phi (n)}=0\cdot t_{2,\phi (2)}\dots t_{n,\phi (n)}=0$ .

因此，上面的公式簡化為對所有具有兩個部分的排列的求和：任何重要的 $\phi$ 是一個 $\phi _{1}$ 和一個 $\phi _{2}$ 的複合，其中 $\phi _{1}$ 只重新排列 $1,\dots ,p$ ，而 $\phi _{2}$ 只重新排列 $p+1,\dots ,p+q$ 。現在，分配律（以及複合符號等於符號的乘積這一事實）表明，這

\left|T_{1}\right|\cdot \left|T_{2}\right|={\bigg (}\sum _{\begin{array}{c}\\[-19pt]\scriptstyle {\text{perms }}\phi _{1}\\[-5pt]\scriptstyle {\text{of }}1,\dots ,p\end{array}}\!\!\!t_{1,\phi _{1}(1)}\cdots t_{p,\phi _{1}(p)}\operatorname {sgn}(\phi _{1}){\bigg )}

\cdot {\bigg (}\sum _{\begin{array}{c}\\[-19pt]\scriptstyle {\text{perms }}\phi _{2}\\[-5pt]\scriptstyle {\text{of }}p+1,\dots ,p+q\end{array}}\!\!\!t_{p+1,\phi _{2}(p+1)}\cdots t_{p+q,\phi _{2}(p+q)}\operatorname {sgn}(\phi _{2}){\bigg )}

等於 $\left|T\right|=\sum _{{\text{significant }}\phi }t_{1,\phi (1)}t_{2,\phi (2)}\cdots t_{n,\phi (n)}\operatorname {sgn}(\phi )$ .

示例 2.10

{\begin{vmatrix}2&0&0&0\\1&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&0\\1&2\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}3&0\\0&3\end{vmatrix}}=36

從引理 2.9 我們得出結論：如果兩個子空間是互補的，並且 $t$ 不變，則 $t$ 是非奇異的當且僅當它對這兩個子空間的限制是非奇異的。

現在，對於我們承諾的第三步，也是最後一步，我們將得出主要結論。

引理 2.11

如果一個線性變換 $t:V\to V$ 的特徵多項式是 $(x-\lambda _{1})^{p_{1}}\dots (x-\lambda _{\ell })^{p_{\ell }}$ ，那麼 (1) $V={\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{\ell })$ 以及 (2) $\dim({\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i}))=p_{i}$ .

證明

因為 $\dim(V)$ 是特徵多項式的次數 $p_{1}+\cdots +p_{\ell }$ ，為了證明命題 (1) 我們只需要證明命題 (2) 成立，以及當 $i\neq j$ 時， ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})\cap {\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{j})$ 是平凡的。

對於後者，根據引理 2.7， ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 和 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{j})$ 都是 $t$ 不變的。請注意， $t$ 不變子空間的交集是 $t$ 不變的，因此 $t$ 對 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})\cap {\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{j})$ 的限制是線性變換。但是， $t-\lambda _{i}$ 和 $t-\lambda _{j}$ 在此子空間上是冪零的，因此如果 $t$ 在交集上存在任何特徵值，則它的“唯一”特徵值既是 $\lambda _{i}$ 又是 $\lambda _{j}$ 。這不可能，因此該限制沒有特徵值： ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})\cap {\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{j})$ 是平凡的（引理 V.II.3.10 表明，沒有特徵值的唯一變換是在平凡空間上）。

要證明語句 (2)，固定索引 $i$ 。將 $V$ 分解為 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})\oplus {\mathcal {R}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$

並應用引理 2.8。

T=\left({\begin{array}{c|c}T_{1}&Z_{2}\\\hline Z_{1}&T_{2}\end{array}}\right){\begin{array}{ll}\}\dim(\,{\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})\,){\text{-many rows}}\\\}\dim(\,{\mathcal {R}}_{\infty }(t-\lambda _{i})\,){\text{-many rows}}\end{array}}

根據引理 2.9， $\left|T-xI\right|=\left|T_{1}-xI\right|\cdot \left|T_{2}-xI\right|$ 。根據算術基本定理的唯一性，塊的行列式與特徵多項式具有相同的因子 $\left|T_{1}-xI\right|=(x-\lambda _{1})^{q_{1}}\dots (x-\lambda _{\ell })^{q_{\ell }}$ 和 $\left|T_{2}-xI\right|=(x-\lambda _{1})^{r_{1}}\dots (x-\lambda _{\ell })^{r_{\ell }}$ ，並且這些因子的冪之和是特徵多項式中該因子的冪： $q_{1}+r_{1}=p_{1}$ ，...， $q_{\ell }+r_{\ell }=p_{\ell }$ 。如果我們能證明 $q_{i}=p_{i}$ 以及對所有 $j\neq i$ ， $q_{j}=0$ ，那麼多項式 $\left|T_{1}-xI\right|$ （等於廣義零空間的維數）的度數將滿足要求。

為此，首先，由於 $t-\lambda _{i}$ 到 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 上的限制是冪零的， $t$ 在該空間上的唯一特徵值為 $\lambda _{i}$ 。因此， $t$ 在 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 上的特徵方程是 $\left|T_{1}-xI\right|=(x-\lambda _{i})^{q_{i}}$ 。因此，對於所有 $j\neq i$ ， $q_{j}=0$ 。

現在考慮 $t$ 到 ${\mathcal {R}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 的限制。根據 Note V.III.2.2，對映 $t-\lambda _{i}$ 在 ${\mathcal {R}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 上是非奇異的，因此 $\lambda _{i}$ 不是 $t$ 在該子空間上的特徵值。因此， $x-\lambda _{i}$ 不是 $\left|T_{2}-xI\right|$ 的因子，因此 $q_{i}=p_{i}$ 。

我們的主要結果只是將這些步驟轉化為矩陣術語。

定理 2.12

任何方陣都類似於一個Jordan 形式的矩陣。

{\begin{pmatrix}J_{\lambda _{1}}&&{\textit {--zeroes--}}\\&J_{\lambda _{2}}\\&&\ddots \\&&&J_{\lambda _{\ell -1}}\\&&{\textit {--zeroes--}}&&J_{\lambda _{\ell }}\end{pmatrix}}

其中每個 $J_{\lambda }$ 是與特徵值 $\lambda$ 相關的約旦塊（即除了對角線上的 $\lambda$ 和一些次對角線元素之外，其他元素均為零）。

證明

給定一個 $n\!\times \!n$ 矩陣 $T$ ，考慮其關於標準基的線性對映 $t:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}$ 。使用前一個引理，寫出 $\mathbb {C} ^{n}={\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{\ell })$ ，其中 $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{\ell }$ 是 $t$ 的特徵值。因為每個 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 是 $t$ 不變的，引理 2.8 和前一個引理表明， $t$ 由一個矩陣表示，該矩陣除對角線上的方塊外，其他位置都為零。為了將這些塊變成約旦塊，選擇每個 $B_{\lambda _{i}}$ 作為 $t-\lambda _{i}$ 在 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-\lambda _{i})$ 上的操作的迴圈基。

約旦標準型是方陣相似類別的典範形式，前提是我們透過將約旦塊從最小特徵值排列到最大特徵值，然後將每個約旦塊內的次對角線 $1$ 塊從最長到最短排列來使其唯一。

示例 2.13

該矩陣具有特徵多項式 $(x-2)^{2}(x-6)$ 。

T={\begin{pmatrix}2&0&1\\0&6&2\\0&0&2\end{pmatrix}}

我們將分別處理特徵值 $2$ 和 $6$ 。

計算 $T-2I$ 的冪、零空間和零度是常規操作。(回顧示例 2.3 中關於採用 $T$ 表示變換的約定，此處 $t:\mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} ^{3}$ ，相對於標準基)。

${\begin{array}{r|ccc}{\textit {power}}p&(T-2I)^{p}&{\mathcal {N}}((t-2)^{p})&{\textit {nullity}}\\\hline 1&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&4&2\\0&0&0\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}x\\0\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {C} \}&1\\2&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&16&8\\0&0&0\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}x\\-z/2\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,z\in \mathbb {C} \}&2\\3&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&64&32\\0&0&0\end{pmatrix}}&{\textit {--same--}}&{\textit {---}}\end{array}}$

因此廣義零空間 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-2)$ 的維度為二。我們已經注意到 $t-2$ 在此子空間上的限制是冪零的。從零度的增長方式，我們知道 $t-2$ 對字串基 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}$ 的作用。因此，限制可以表示為規範形式

N_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\rm {Rep}}_{B,B}(t-2)\qquad B_{2}=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2\\0\\0\end{pmatrix}}\rangle

其中，基底的選擇有很多種。因此，將 $t$ 限制到 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-2)$ 的作用可以用此矩陣表示。

J_{2}=N_{2}+2I={\rm {Rep}}_{B_{2},B_{2}}(t)={\begin{pmatrix}2&0\\1&2\end{pmatrix}}

第二個特徵值的計算比較簡單。因為特徵多項式中 $x-6$ 的冪為 1，將 $t-6$ 限制到 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-6)$ 必須是指數為 1 的冪零矩陣。它對弦基的作用必須是 ${\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}$ ，由於它是零對映，它的標準型 $N_{6}$ 是 $1\!\times \!1$ 零矩陣。因此， $t$ 在 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-6)$ 上的作用的標準型 $J_{6}$ 是 $1\!\times \!1$ 矩陣，其唯一元素為 $6$ 。對於基底，我們可以使用廣義零空間中的任何非零向量。

B_{6}=\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\rangle

將這兩者放在一起，我們得到 $T$ 的 Jordan 形式為

{\rm {Rep}}_{B,B}(t)={\begin{pmatrix}2&0&0\\1&2&0\\0&0&6\end{pmatrix}}

其中 $B$ 是 $B_{2}$ 和 $B_{6}$ 的拼接。

示例 2.14

將上面的例子與下面的例子對比。

T={\begin{pmatrix}2&2&1\\0&6&2\\0&0&2\end{pmatrix}}

它具有相同的特徵多項式 $(x-2)^{2}(x-6)$ .

雖然特徵多項式相同，

${\begin{array}{r|ccc}{\textit {power}}p&(T-2I)^{p}&{\mathcal {N}}((t-2)^{p})&{\textit {nullity}}\\\hline 1&{\begin{pmatrix}0&2&1\\0&4&2\\0&0&0\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}x\\-z/2\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,z\in \mathbb {C} \}&2\\2&{\begin{pmatrix}0&8&4\\0&16&8\\0&0&0\end{pmatrix}}&{\textit {--same--}}&{\textit {---}}\end{array}}$

這裡 $t-2$ 的作用僅需一次應用即可穩定—— $t-2$ 對 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-2)$ 的限制是指數為一的冪零矩陣。（所以與之前例子的對比是，雖然特徵多項式告訴我們要檢視 $t-2$ 在其廣義零空間上的作用，但特徵多項式並不能完全描述其作用，我們必須進行一些計算才能發現，在這個例子中，最小多項式是 $(x-2)(x-6)$ 。） $t-2$ 對廣義零空間的限制在弦基上作用為 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {0}}$ 和 ${\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}$ ，我們得到與特徵值 $2$ 相關的這個 Jordan 塊。

J_{2}={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}

對於另一個特徵值，先前示例中第二個特徵值的論點再次適用。的限制 $t-6$ 到 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-6)$ 是指數為 1 的冪零矩陣（它不能小於 1，並且由於 $x-6$ 是特徵多項式的因式，其冪為 1，因此它也不能大於 1）。因此 $t-6$ 的規範形式 $N_{6}$ 是 $1\!\times \!1$ 零矩陣，相關的約旦塊 $J_{6}$ 是 $1\!\times \!1$ 矩陣，其元素為 $6$ .

因此， $T$ 是可對角化的。

{\rm {Rep}}_{B,B}(t)={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&6\end{pmatrix}}\qquad B=B_{2}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{6}=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}}\rangle

（檢查 $B$ 中的第三個向量是否在 $t-6$ 的零空間中是例行公事）。

例 2.15

用...

T={\begin{pmatrix}-1&4&0&0&0\\0&3&0&0&0\\0&-4&-1&0&0\\3&-9&-4&2&-1\\1&5&4&1&4\end{pmatrix}}

表明它的特徵多項式是 $(x-3)^{3}(x+1)^{2}$ 。下表...

${\begin{array}{r|ccc}{\textit {power}}p&(T-3I)^{p}&{\mathcal {N}}((t-3)^{p})&{\textit {nullity}}\\\hline 1&{\begin{pmatrix}-4&4&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&-4&-4&0&0\\3&-9&-4&-1&-1\\1&5&4&1&1\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}-(u+v)/2\\-(u+v)/2\\(u+v)/2\\u\\v\end{pmatrix}}\,{\big |}\,u,v\in \mathbb {C} \}&2\\2&{\begin{pmatrix}16&-16&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&16&16&0&0\\-16&32&16&0&0\\0&-16&-16&0&0\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}-z\\-z\\z\\u\\v\end{pmatrix}}\,{\big |}\,z,u,v\in \mathbb {C} \}&3\\3&{\begin{pmatrix}-64&64&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&-64&-64&0&0\\64&-128&-64&0&0\\0&64&64&0&0\end{pmatrix}}&{\textit {--same--}}&{\textit {---}}\end{array}}$

表明 $t-3$ 在 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t-3)$ 上的限制作用於字串基，透過兩個字串 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}$ 和 ${\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}$ .

另一個特徵值可以使用類似的計算得出

${\begin{array}{r|ccc}{\textit {power}}p&(T+1I)^{p}&{\mathcal {N}}((t+1)^{p})&{\textit {nullity}}\\\hline 1&{\begin{pmatrix}0&4&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&-4&0&0&0\\3&-9&-4&3&-1\\1&5&4&1&5\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}-(u+v)\\0\\-v\\u\\v\end{pmatrix}}\,{\big |}\,u,v\in \mathbb {C} \}&2\\2&{\begin{pmatrix}0&16&0&0&0\\0&16&0&0&0\\0&-16&0&0&0\\8&-40&-16&8&-8\\8&24&16&8&24\end{pmatrix}}&{\textit {--same--}}&{\textit {---}}\end{array}}$

表明 $t+1$ 限制在其廣義零空間上的作用，透過兩個獨立的字串 ${\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}$ 和 ${\vec {\beta }}_{5}\mapsto {\vec {0}}$ 對字串基進行作用。

因此， $T$ 與這個約旦標準型矩陣相似。

{\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\0&-1&0&0&0\\0&0&3&0&0\\0&0&1&3&0\\0&0&0&0&3\end{pmatrix}}

最後，我們宣告本節之前討論的內容確實在某種意義上是詳盡的。

推論 2.16

每個方陣都與一個對角矩陣和一個冪零矩陣的和相似。

習題

問題 1

對例 2.3 進行檢查。

問題 2

每個矩陣都處於約旦標準型。說明其特徵多項式及其極小多項式。

${\begin{pmatrix}3&0\\1&3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&0&0\\1&2&0\\0&0&-1/2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}3&0&0\\1&3&0\\0&1&3\\\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}3&0&0&0\\1&3&0&0\\0&0&3&0\\0&0&1&3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}4&0&0&0\\1&4&0&0\\0&0&-4&0\\0&0&1&-4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&0&0&0\\0&2&0&0\\0&1&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}$

建議所有讀者完成此練習。

問題 3

根據給定資料求解 Jordan 標準型。

矩陣 $T$ 是一個 $5\!\times \!5$ 的矩陣，只有一個特徵值為 $3$ 。矩陣冪的零度為： $T-3I$ 的零度為 2， $(T-3I)^{2}$ 的零度為 3， $(T-3I)^{3}$ 的零度為 4， $(T-3I)^{4}$ 的零度為 5。
矩陣 $S$ 是一個 $5\!\times \!5$ 矩陣，它有兩個特徵值。對於特徵值 $2$ ，零度為： $S-2I$ 的零度為 2，而 $(S-2I)^{2}$ 的零度為 4。對於特徵值 $-1$ ，零度為： $S+1I$ 的零度為 1。

問題 4

找到每個例子的基變換矩陣。

示例 2.13
示例 2.14
示例 2.15

建議所有讀者完成此練習。

問題 5

找到每個矩陣的 Jordan 標準型和 Jordan 基。

${\begin{pmatrix}-10&4\\-25&10\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&-4\\9&-7\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}4&0&0\\2&1&3\\5&0&4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&4&3\\-1&0&-3\\1&-2&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}9&7&3\\-9&-7&-4\\4&4&4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2&2&-1\\-1&-1&1\\-1&-2&2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}7&1&2&2\\1&4&-1&-1\\-2&1&5&-1\\1&1&2&8\end{pmatrix}}$

建議所有讀者完成此練習。

問題 6

找到特徵多項式為 $(x-1)^{2}(x+2)^{2}$ 的所有可能的 Jordan 標準型。

問題 7

找到所有具有特徵多項式 $(x-1)^{3}(x+2)$ 的變換的所有可能的約當形式。

建議所有讀者完成此練習。

問題 8

找到所有具有特徵多項式 $(x-2)^{3}(x+1)$ 和最小多項式 $(x-2)^{2}(x+1)$ 的變換的所有可能的約當形式。

問題 9

找到所有具有特徵多項式 $(x-2)^{4}(x+1)$ 和最小多項式 $(x-2)^{2}(x+1)$ 的變換的所有可能的約當形式。

建議所有讀者完成此練習。

問題 10: 對這些矩陣進行對角化。

${\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

建議所有讀者完成此練習。

問題 11

找到在 ${\mathcal {P}}_{3}$ 上表示微分運算元的約當矩陣。

建議所有讀者完成此練習。

問題 12

判斷這兩個矩陣是否相似。

{\begin{pmatrix}1&-1\\4&-3\\\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-1&0\\1&-1\\\end{pmatrix}}

問題 13

找到這個矩陣的約當形式。

{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

也給出約當基。

問題 14

對於 $3\!\times \!3$ 矩陣，其唯一的特徵值為 $-3$ 和 $4$ ，有多少個相似類？

建議所有讀者完成此練習。

問題 15

證明一個矩陣可對角化當且僅當其最小多項式只有線性因子。

問題 16

給出一個線性變換的例子，它作用在向量空間上，沒有非平凡的不變子空間。

問題 17

證明一個子空間是 $t-\lambda _{1}$ 不變的當且僅當它是 $t-\lambda _{2}$ 不變的。

問題 18

證明或反駁：兩個 $n\!\times \!n$ 矩陣相似當且僅當它們具有相同的特徵多項式和最小多項式。

問題 19

方陣的跡是其對角線元素的總和。

求一個 $2\!\times \!2$ 矩陣的特徵多項式公式。
證明跡在相似變換下是不變的，因此我們可以合理地談論“對映的跡”。（提示：參見上一項。）
跡在矩陣等價變換下是否不變？
證明對映的跡等於其所有特徵值之和（包括重數）。
證明冪零對映的跡為零。反之是否成立？

練習 20

為了使用定義 2.6檢查一個子空間是否為 $t$ 不變的，我們似乎需要檢查子空間中所有無限多個向量，以檢視它們是否滿足條件。證明一個子空間為 $t$ 不變的當且僅當其子基具有以下性質：對於其所有元素， $t({\vec {\beta }})$ 都在該子空間中。

建議所有讀者完成此練習。

練習 21

$t$ 不變性在交集下是否保持？在並集下？在補集下？在子空間的和下？

練習 22

如果一些特徵值為複數，如何對 Jordan 塊進行排序？也就是說，為複數提出一個合理的排序方式。

練習 23

設 ${\mathcal {P}}_{j}(\mathbb {R} )$ 是實數域上的度數為 $j$ 的多項式向量空間。證明如果 $j\leq k$ ，則 ${\mathcal {P}}_{j}(\mathbb {R} )$ 在微分運算元作用下是 ${\mathcal {P}}_{k}(\mathbb {R} )$ 的一個不變子空間。在 ${\mathcal {P}}_{7}(\mathbb {R} )$ 中， ${\mathcal {P}}_{0}(\mathbb {R} )$ ，...， ${\mathcal {P}}_{6}(\mathbb {R} )$ 中的任何一個是否有不變補空間？