線性代數/字串

線性代數
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本小節為可選內容，需要使用可選的直接和子節中的材料。

先前的小節表明，隨著 $j$ 增加， ${\mathcal {R}}(t^{j})$ 的維數下降，而 ${\mathcal {N}}(t^{j})$ 的維數上升，以這種方式，秩和零度分割了 $V$ 的維數。我們可以說更多嗎？這兩個是否分割了基底 - $V={\mathcal {R}}(t^{j})\oplus {\mathcal {N}}(t^{j})$ 嗎？

對於最小冪 $j=0$ 答案是肯定的，因為 $V={\mathcal {R}}(t^{0})\oplus {\mathcal {N}}(t^{0})=V\oplus \{{\vec {0}}\}$ 。答案在另一個極端也是肯定的。

引理 2.1

其中 $t:V\to V$ 是線性變換，該空間是直接和 $V={\mathcal {R}}_{\infty }(t)\oplus {\mathcal {N}}_{\infty }(t)$ 。也就是說，兩者都是 $\dim(V)=\dim({\mathcal {R}}_{\infty }(t))+\dim({\mathcal {N}}_{\infty }(t))$ 和 ${\mathcal {R}}_{\infty }(t)\cap {\mathcal {N}}_{\infty }(t)=\{{\vec {0}}\,\}$ 。

證明

我們將驗證第二句話，它等同於第一句話。第一個子句，即 $n$ 是 $t^{n}$ 域的維度等於 $t^{n}$ 的秩加上 $t^{n}$ 的零度，對任何變換都成立，因此我們只需要驗證第二個子句。

假設 ${\vec {v}}\in {\mathcal {R}}_{\infty }(t)\cap {\mathcal {N}}_{\infty }(t)={\mathcal {R}}(t^{n})\cap {\mathcal {N}}(t^{n})$ ，以證明 ${\vec {v}}$ 是 ${\vec {0}}$ 。因為 ${\vec {v}}$ 在零空間中， $t^{n}({\vec {v}})={\vec {0}}$ 。另一方面，因為 ${\mathcal {R}}(t^{n})={\mathcal {R}}(t^{n+1})$ ，對映 $t:{\mathcal {R}}_{\infty }(t)\to {\mathcal {R}}_{\infty }(t)$ 是一個維數保持同態，因此是一對一的。一對一對映的複合是一對一的，因此 $t^{n}:{\mathcal {R}}_{\infty }(t)\to {\mathcal {R}}_{\infty }(t)$ 是一對一的。但現在——因為只有 ${\vec {0}}$ 被一對一的線性對映對映到 ${\vec {0}}$ —— $t^{n}({\vec {v}})={\vec {0}}$ 意味著 ${\vec {v}}={\vec {0}}$ 。

注 2.2

從技術上講，我們應該區分對映 $t:V\to V$ 和對映 $t:{\mathcal {R}}_{\infty }(t)\to {\mathcal {R}}_{\infty }(t)$ ，因為它們的定義域或值域可能不同。第二個對映被稱為 $t$ 到 ${\mathcal {R}}(t^{k})$ 的限制^[1]。我們將在後面使用該證明中關於限制對映的一個結論，即它是非奇異的。

與 $j=0$ 和 $j=n$ 的情況不同，對於中間冪，空間 $V$ 可能不是 ${\mathcal {R}}(t^{j})$ 和 ${\mathcal {N}}(t^{j})$ 的直和。以下示例表明，這兩個空間可能會有一個非平凡的交集。

示例 2.3

考慮由標準基元素上的以下操作定義的 $\mathbb {C} ^{2}$ 的變換。

{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}{\stackrel {n}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}{\stackrel {n}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\qquad N={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(n)={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}

向量

{\vec {e}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}

既屬於值域也屬於零空間。另一種描述該對映作用的方式是使用字串。

{\begin{array}{ccccc}{\vec {e}}_{1}&\mapsto &{\vec {e}}_{2}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}

示例 2.4

一個對映 ${\hat {n}}:\mathbb {C} ^{4}\to \mathbb {C} ^{4}$ ，其在 ${\mathcal {E}}_{4}$ 上的作用由以下字串給出：

{\begin{array}{ccccccccc}{\vec {e}}_{1}&\mapsto &{\vec {e}}_{2}&\mapsto &{\vec {e}}_{3}&\mapsto &{\vec {e}}_{4}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}

具有 ${\mathcal {R}}({\hat {n}})\cap {\mathcal {N}}({\hat {n}})$ 等於 $[\{{\vec {e}}_{4}\}]$ 的線性空間，具有 ${\mathcal {R}}({\hat {n}}^{2})\cap {\mathcal {N}}({\hat {n}}^{2})=[\{{\vec {e}}_{3},{\vec {e}}_{4}\}]$ ，並具有 ${\mathcal {R}}({\hat {n}}^{3})\cap {\mathcal {N}}({\hat {n}}^{3})=[\{{\vec {e}}_{4}\}]$ 。矩陣表示除了某些次對角線上的 1 之外，其他位置都為零。

{\hat {N}}={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{4},{\mathcal {E}}_{4}}({\hat {n}})={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}

示例 2.5

變換可以作用於多個字串。變換 $t$ 作用於基 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{5}\rangle$ ，透過

{\begin{array}{ccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{4}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{5}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}

由一個矩陣表示，該矩陣除了副對角線上的1以外全是0

{\rm {Rep}}_{B,B}(t)=\left({\begin{array}{ccc|cc}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\end{array}}\right)

（這些線只是為了直觀地組織塊）。

在這三個例子中，所有向量最終都會被變換為零。

定義 2.6

一個冪零變換是指其某個冪為零對映的變換。一個冪零矩陣是指其某個冪為零矩陣的矩陣。在這兩種情況下，最小的冪稱為冪零指數。

示例 2.7

在示例 2.3中，冪零指數為 2。在示例 2.4中，冪零指數為 4。在示例 2.5中，冪零指數為 3。

示例 2.8

微分對映 $d/dx:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{2}$ 是一個冪零指數為 3 的冪零變換，因為任何二次多項式的三階導數都為零。該對映的作用由字串 $x^{2}\mapsto 2x\mapsto 2\mapsto 0$ 描述，取基 $B=\langle x^{2},2x,2\rangle$ ，將得到以下表示。

{\rm {Rep}}_{B,B}(d/dx)={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}

並非所有冪零矩陣都除了副對角線上的1以外全是0。

示例 2.9

以示例 2.4中的矩陣 ${\hat {N}}$ 為例，以及以下四維向量基

D=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\rangle

基變換操作會產生關於 $D,D$ 的表示。

{\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&2&1&0\\1&1&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&2&1&0\\1&1&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}^{-1}\!\!={\begin{pmatrix}-1&0&1&0\\-3&-2&5&0\\-2&-1&3&0\\2&1&-2&0\end{pmatrix}}

新矩陣是冪零的；它的四次方是零矩陣，因為

(P{\hat {N}}P^{-1})^{4}=P{\hat {N}}P^{-1}\cdot P{\hat {N}}P^{-1}\cdot P{\hat {N}}P^{-1}\cdot P{\hat {N}}P^{-1}=P{\hat {N}}^{4}P^{-1}

並且 ${\hat {N}}^{4}$ 是零矩陣。

本節的目標是定理 2.13，它表明先前的例子是典型的，因為每個冪零矩陣都與一個除了對角線下的塊為 1 之外的所有元素都是零的矩陣相似。

定義 2.10

令 $t$ 是 $V$ 上的冪零變換。由 ${\vec {v}}\in V$ **生成的 $t$ -字串** 是一個序列 $\langle {\vec {v}},t({\vec {v}}),\ldots ,t^{k-1}({\vec {v}})\rangle$ 。這個序列的 **長度** 是 $k$ 。** $t$ -字串基** 是一個由 $t$ -字串連線而成的基。

例子 2.11

在示例 2.5 中， $t$ -字串 $\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{3}\rangle$ 和 $\langle {\vec {\beta }}_{4},{\vec {\beta }}_{5}\rangle$ ，長度分別為 3 和 2，可以連線起來構成 $t$ 域的基底。

引理 2.12

如果一個空間具有 $t$ -字串基底，那麼其中最長的字串長度等於 $t$ 的冪零指數。

證明

假設不是。這些字串不能再長了；如果索引是 $k$ 那麼 $t^{k}$ 將任何向量（包括那些開始字串的向量）都發送到 ${\vec {0}}$ 。所以假設相反，存在一個變換 $t$ 的索引 $k$ 在某個空間上，使得該空間有一個 $t$ -字串基，其中所有字串的長度都小於 $k$ 。因為 $t$ 的索引是 $k$ ，存在一個向量 ${\vec {v}}$ 使得 $t^{k-1}({\vec {v}})\neq {\vec {0}}$ 。將 ${\vec {v}}$ 表示為基元素的線性組合，並應用 $t^{k-1}$ 。我們假設 $t^{k-1}$ 將每個基元素髮送到 ${\vec {0}}$ ，但它沒有將 ${\vec {v}}$ 傳送到 ${\vec {0}}$ 。這是不可能的。

我們將證明每個冪零對映都有一個相關的字串基。然後我們的目標定理，即每個冪零矩陣都類似於一個除了對角線下方塊為 1 之外全是零的矩陣，是直接的，如示例 2.5 中所示。

尋找一個反例，一個沒有相關字串基且不連貫的冪零對映，將為證明提供思路。考慮對映 $t:\mathbb {C} ^{5}\to \mathbb {C} ^{5}$ ，它具有以下操作。

${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{5},{\mathcal {E}}_{5}}(t)={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}$

即使忽略零向量，這三個字串仍然不是不相交的，但這並不意味著無法找到一個 $t$ -字串基。它只意味著 ${\mathcal {E}}_{5}$ 不適合作為字串基。

為了找到一個合適的基，我們首先找到它的字串數量和長度。由於 $t$ 的冪零指數為二，引理 2.12 表明，基中至少有一個字串的長度為二。因此，該對映必須以以下兩種方式之一作用於字串基。

{\begin{array}{ccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{4}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{5}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}

{\begin{array}{ccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{4}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{5}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}

現在，關鍵點來了。具有左式作用的變換的零空間維度為三，因為有三個基向量被對映到零。具有右式作用的變換的零空間維度為四。使用上面的矩陣表示，計算 $t$ 的零空間

{\mathcal {N}}(t)=\{{\begin{pmatrix}x\\-x\\z\\0\\r\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,z,r\in \mathbb {C} \}

表明它是一個三維空間，這意味著我們需要左式作用。

為了生成一個字串基，首先從 ${\vec {\beta }}_{2}$ 和 ${\vec {\beta }}_{4}$ 中選擇，從 ${\mathcal {R}}(t)\cap {\mathcal {N}}(t)$ 。

{\vec {\beta }}_{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {\beta }}_{4}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}

(其他選擇也是可能的，只需要確保 $\{{\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{4}\}$ 線性無關)。對於 ${\vec {\beta }}_{5}$ ，從 ${\mathcal {N}}(t)$ 選擇一個不在 $\{{\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{4}\}$ 的生成空間中的向量。

{\vec {\beta }}_{5}={\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}

最後，取 ${\vec {\beta }}_{1}$ 和 ${\vec {\beta }}_{3}$ 使得 $t({\vec {\beta }}_{1})={\vec {\beta }}_{2}$ 且 $t({\vec {\beta }}_{3})={\vec {\beta }}_{4}$ .

{\vec {\beta }}_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {\beta }}_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}

現在，關於 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{5}\rangle$ ， $t$ 的矩陣如預期一樣。

{\rm {Rep}}_{B,B}(t)=\left({\begin{array}{cc|cc|c}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\\hline 0&0&0&0&0\end{array}}\right)

定理 2.13

任何冪零變換 $t$ 都與一個 $t$ 字串基相關聯。雖然基不唯一，但字串的數量和長度由 $t$ 決定。

這說明了證明。基向量被分為 $1$ 類， $2$ 類和 $3$ 類。它們也用正方形或圓形表示，根據它們是否在零空間中。

證明

修復向量空間 $V$ ；我們將透過歸納法論證 $t:V\to V$ 的冪零指數。如果該指數是 $1$ ，則 $t$ 是零對映，任何基都是一個字串基 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {0}}$ ，...， ${\vec {\beta }}_{n}\mapsto {\vec {0}}$ 。對於歸納步驟，假設定理適用於任何冪零指數在 $1$ 和 $k-1$ 之間的變換，並考慮指數為 $k$ 的情況。

首先觀察到，對值域 $t:{\mathcal {R}}(t)\to {\mathcal {R}}(t)$ 的限制也是冪零的，指數為 $k-1$ 。將歸納假設應用於 ${\mathcal {R}}(t)$ ，其中字串的數量和長度由 $t$ 決定。

B=\langle {\vec {\beta }}_{1},t({\vec {\beta }}_{1}),\dots ,t^{h_{1}}({\vec {\beta }}_{1})\rangle \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\langle {\vec {\beta }}_{2},\ldots ,t^{h_{2}}({\vec {\beta }}_{2})\rangle \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\cdots \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\langle {\vec {\beta }}_{i},\ldots ,t^{h_{i}}({\vec {\beta }}_{i})\rangle

(在插圖中，這些是型別為 $1$ 的基向量，因此有 $i$ 個這種基向量表示的字串。）

其次，請注意，在每個字串中取最後一個非零向量將得到一個關於 ${\mathcal {R}}(t)\cap {\mathcal {N}}(t)$ 的基 $C=\langle t^{h_{1}}({\vec {\beta }}_{1}),\dots ,t^{h_{i}}({\vec {\beta }}_{i})\rangle$ 。 (這些用 $1$ 在方框中表示。) 因為， ${\mathcal {R}}(t)$ 中的元素被對映到零，當且僅當它是那些被對映到零的基向量的線性組合。將 $C$ 擴充套件為 ${\mathcal {N}}(t)$ 的一個基。

{\hat {C}}=C\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\langle {\vec {\xi }}_{1},\dots ,{\vec {\xi }}_{p}\rangle

( ${\vec {\xi }}$ 是 $2$ 類向量，使得 ${\hat {C}}$ 是所有平方數的集合。）儘管 ${\vec {\xi }}$ 可以有多種選擇，但它們的個數 $p$ 由對映 $t$ 決定，因為它等於 ${\mathcal {N}}(t)$ 的維數減去 ${\mathcal {R}}(t)\cap {\mathcal {N}}(t)$ 的維數。

最後， $B\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!{\hat {C}}$ 是 ${\mathcal {R}}(t)+{\mathcal {N}}(t)$ 的一個基，因為值域空間中的任何元素與零空間中的任何元素的和，都可以用 $B$ 中的元素來表示值域部分，用 ${\hat {C}}$ 中的元素來表示零空間部分。請注意

{\begin{array}{rl}\dim {\big (}{\mathcal {R}}(t)+{\mathcal {N}}(t){\big )}&=\dim({\mathcal {R}}(t))+\dim({\mathcal {N}}(t))-\dim({\mathcal {R}}(t)\cap {\mathcal {N}}(t))\\&=\mathop {\mbox{rank}} (t)+{\text{nullity}}\,(t)-i\\&=\dim(V)-i\end{array}}

因此， $B\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!{\hat {C}}$ 可以透過新增 $i$ 個向量擴充套件為 $V$ 的所有基。具體來說，請記住，每個 ${\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i}$ 都在 ${\mathcal {R}}(t)$ 中，並用向量 ${\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{i}$ 擴充套件 $B\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!{\hat {C}}$ ，使得 $t({\vec {v}}_{1})={\vec {\beta }}_{1},\dots ,t({\vec {v}}_{i})={\vec {\beta }}_{i}$ 。（在圖示中，這些是 $3$ 。）此擴充套件保持線性無關性的檢查在問題 13 中。

推論 2.14

每個冪零矩陣都類似於一個矩陣，該矩陣除了對角線下方的一塊塊之外都是零。也就是說，每個冪零對映都由某個基相對於該矩陣表示。

這種形式是唯一的，因為如果一個冪零矩陣類似於兩個這樣的矩陣，那麼這兩個矩陣只是它們的塊排序不同。因此，如果我們對塊進行排序，例如從最長到最短，那麼這是一個冪零矩陣相似性類的典型形式。

示例 2.15

矩陣

M={\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}}

的冪零指數為 2，如以下計算所示。

{\begin{array}{c|cc}p&M^{p}&{\mathcal {N}}(M^{p})\\\hline 1&M={\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}x\\x\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {C} \}\\2&M^{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}&\mathbb {C} ^{2}\end{array}}

計算還描述瞭如何表示為 $M$ 的對映 $m$ 必須作用於任何字串基。在一個對映應用中，零空間的維度為一，因此基的向量被對映到零。在第二次應用中，零空間的維度為二，因此另一個基向量被對映到零。因此，對映的作用是 ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}$ ，矩陣的規範形式為：

{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}

我們可以展示這樣的一個 $m$ -字串基和證明矩陣相似性的基變換矩陣。對於基，取 $M$ 來表示 $m$ 相對於標準基，選擇一個 ${\vec {\beta }}_{2}\in {\mathcal {N}}(m)$ ，並選擇一個 ${\vec {\beta }}_{1}$ ，使得 $m({\vec {\beta }}_{1})={\vec {\beta }}_{2}$ 。

{\vec {\beta }}_{2}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\qquad {\vec {\beta }}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}

(如果我們將 $M$ 視為相對於某些非標準基的代表，那麼這個選擇步驟就會變得更混亂。) 回想一下相似性圖。

規範形式等於 ${\rm {Rep}}_{B,B}(m)=PMP^{-1}$ ，其中

P^{-1}={\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}\qquad P=(P^{-1})^{-1}={\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}

矩陣計算的驗證是例行公事。

{\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}

例 2.16

矩陣

{\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\-1&1&1&-1&1\\0&1&0&0&0\\1&0&-1&1&-1\end{pmatrix}}

是冪零的。這些計算表明零空間在增長。

{\begin{array}{c|cc}p&N^{p}&{\mathcal {N}}(N^{p})\\\hline 1&{\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\-1&1&1&-1&1\\0&1&0&0&0\\1&0&-1&1&-1\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}0\\0\\u-v\\u\\v\end{pmatrix}}\,{\big |}\,u,v\in \mathbb {C} \}\\2&{\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}0\\y\\z\\u\\v\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y,z,u,v\in \mathbb {C} \}\\3&{\textit {--zeromatrix--}}&\mathbb {C} ^{5}\end{array}}

該表格表明，任何字串基都必須滿足：經過一次對映後，零空間的維度為 2，因此兩個基向量直接對映到零；經過第二次對映後，零空間的維度為 4，因此另外兩個基向量在第二次迭代中對映到零；經過三次對映後，零空間的維度為 5，因此最後一個基向量在三次跳躍中對映到零。

{\begin{array}{ccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{4}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{5}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}

為了構建這樣的基，首先從 ${\mathcal {N}}(n)$ 中選擇兩個獨立的向量

{\vec {\beta }}_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\\0\end{pmatrix}}\quad {\vec {\beta }}_{5}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\1\end{pmatrix}}

然後新增 ${\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{4}\in {\mathcal {N}}(n^{2})$ ，使得 $n({\vec {\beta }}_{2})={\vec {\beta }}_{3}$ 以及 $n({\vec {\beta }}_{4})={\vec {\beta }}_{5}$

{\vec {\beta }}_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\vec {\beta }}_{4}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}

並最後新增 ${\vec {\beta }}_{1}\in {\mathcal {N}}(n^{3})=\mathbb {C} ^{5}$ ) 使得 $n({\vec {\beta }}_{1})={\vec {\beta }}_{2}$ .

{\vec {\beta }}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}

練習

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問題 1

以下 **左移** 運算元的冪零指數是多少？它作用於實數三元組空間。

(x,y,z)\mapsto (0,x,y)

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問題 2

對於每個字串基，給出其冪零指數，並給出冪零對映每次迭代後的值域和零空間的維數。

${\begin{array}{ccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{4}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}$
${\begin{array}{ccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{4}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{5}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{6}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}$
${\begin{array}{ccccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}$

也給出矩陣的典型形式。

問題 3

確定這些矩陣中哪些是冪零矩陣。

${\begin{pmatrix}-2&4\\-1&2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}-3&2&1\\-3&2&1\\-3&2&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&1&4\\3&0&-1\\5&2&7\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}45&-22&-19\\33&-16&-14\\69&-34&-29\end{pmatrix}}$

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問題 4

求這個矩陣的典型形式。

{\begin{pmatrix}0&1&1&0&1\\0&0&1&1&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}

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問題 5

考慮來自例 2.16 的矩陣。

利用對映在字串基上的作用給出其典型形式。
求出將矩陣轉換為典型形式的基變換矩陣。
利用上一條中的答案來檢查第一條中的答案。

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問題 6

這些矩陣中的每一個都是冪零矩陣。

${\begin{pmatrix}1/2&-1/2\\1/2&-1/2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&1\\0&-1&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}-1&1&-1\\1&0&1\\1&-1&1\end{pmatrix}}$

將每個矩陣化為標準形。

問題 7

描述左乘或右乘一個處於冪零矩陣標準形的矩陣的效果。

問題 8

冪零性是否在相似變換下保持不變？也就是說，與冪零矩陣相似的矩陣是否也必須是冪零矩陣？如果是，是否具有相同的指數？

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問題 9

證明冪零矩陣的唯一特徵值為零。

問題 10

二維空間上是否存在指數為三的冪零變換？

問題 11

在定理 2.13的證明中，為什麼基底情況不是冪零指數為零？

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問題 12

設 $t:V\to V$ 是一個線性變換，並假設 ${\vec {v}}\in V$ 使得 $t^{k}({\vec {v}})={\vec {0}}$ ，但 $t^{k-1}({\vec {v}})\neq {\vec {0}}$ 。考慮 $t$ -串 $\langle {\vec {v}},t({\vec {v}}),\dots ,t^{k-1}({\vec {v}})\rangle$ 。