線性代數/自複合

線性代數
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線性變換 $t:V\to V$ ，因為它的定義域和陪域相同，所以可以迭代。^[1] 也就是說，可以定義 $t$ 與自身的複合，如 $t^{2}=t\circ t$ 和 $t^{3}=t\circ t\circ t$ 。

注意，線性變換函式的這種冪記號與我們之前用過的它們的平方矩陣表示的記號相吻合，因為如果 ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)=T$ ，那麼 ${\rm {Rep}}_{B,B}(t^{j})=T^{j}$ 。

例 1.1

對於導數對映 $d/dx:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{3}$ ，由

a+bx+cx^{2}+dx^{3}{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}b+2cx+3dx^{2}

二次方是二階導數

a+bx+cx^{2}+dx^{3}{\stackrel {d^{2}/dx^{2}}{\longmapsto }}2c+6dx

三次方是三階導數

a+bx+cx^{2}+dx^{3}{\stackrel {d^{3}/dx^{3}}{\longmapsto }}6d

任何更高的冪都是零對映。

例 1.2

$2\!\times \!2$ 矩陣空間的此變換

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\stackrel {t}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}b&a\\d&0\end{pmatrix}}

有二次方

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\stackrel {t^{2}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}

以及這個三次方。

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\stackrel {t^{3}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}b&a\\0&0\end{pmatrix}}

之後， $t^{4}=t^{2}$ 以及 $t^{5}=t^{3}$ ，等等。

這些例子表明，隨著迭代次數的增加，零元素會越來越多，直到最終穩定下來。以下結果對此進行了精確的闡述。

引理 1.3

對於任何變換 $t:V\to V$ ，其冪的像空間形成一個遞降鏈

V\supseteq {\mathcal {R}}(t)\supseteq {\mathcal {R}}(t^{2})\supseteq \cdots

而核空間形成一個遞增鏈。

\{{\vec {0}}\,\}\subseteq {\mathcal {N}}(t)\subseteq {\mathcal {N}}(t^{2})\subseteq \cdots

此外，存在一個 $k$ ，使得對於小於 $k$ 的冪，子集是真子集（如果 $j<k$ 那麼 ${\mathcal {R}}(t^{j})\supset {\mathcal {R}}(t^{j+1})$ 並且 ${\mathcal {N}}(t^{j})\subset {\mathcal {N}}(t^{j+1})$ ），而對於大於 $k$ 的冪，這些集合是相等的（如果 $j\geq k$ 那麼 ${\mathcal {R}}(t^{j})={\mathcal {R}}(t^{j+1})$ 並且 ${\mathcal {N}}(t^{j})={\mathcal {N}}(t^{j+1})$ ）。

證明

我們將處理值域部分，並將剩餘部分留給問題 6。然而，請記住，對於任何對映，其值域的維數加上其零空間的維數等於其域的維數。因此，如果值域縮小，則零空間必須增大。

範圍空間形成鏈條的原因很清楚，因為如果 ${\vec {w}}\in {\mathcal {R}}(t^{j+1})$ ，使得 ${\vec {w}}=t^{j+1}({\vec {v}})$ ，那麼 ${\vec {w}}=t^{j}(\,t({\vec {v}})\,)$ ，因此 ${\vec {w}}\in {\mathcal {R}}(t^{j})$ 。為了驗證“進一步”的性質，首先觀察到，如果鏈條中的任意一對範圍空間相等，即 ${\mathcal {R}}(t^{k})={\mathcal {R}}(t^{k+1})$ ，那麼所有後續的範圍空間也相等，即 ${\mathcal {R}}(t^{k+1})={\mathcal {R}}(t^{k+2})$ 等等。這是因為如果 $t:{\mathcal {R}}(t^{k+1})\to {\mathcal {R}}(t^{k+2})$ 與 $t:{\mathcal {R}}(t^{k})\to {\mathcal {R}}(t^{k+1})$ 具有相同的對映，也具有相同的定義域，因此它具有相同的範圍： ${\mathcal {R}}(t^{k+1})={\mathcal {R}}(t^{k+2})$ （歸納法表明，這對於所有更高的冪都成立）。因此，如果範圍空間鏈條不再嚴格遞減，那麼從該點開始，它將保持穩定。

但是鏈條必須停止遞減。每個範圍空間都是它前面範圍空間的子空間。為了成為一個真子空間，它必須具有嚴格更低的維數（見問題 4）。這些空間是有限維的，因此鏈條只能下降有限步，也就是說，冪 $k$ 最多為 $V$ 的維數。

示例 1.4

示例 1.1 中的導數對映 $a+bx+cx^{2}+dx^{3}{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}b+2cx+3dx^{2}$ 具有以下範圍空間鏈條

{\mathcal {P}}_{3}\supset {\mathcal {P}}_{2}\supset {\mathcal {P}}_{1}\supset {\mathcal {P}}_{0}\supset \{{\vec {0}}\,\}=\{{\vec {0}}\,\}=\cdots

以及這個零空間鏈。

\{{\vec {0}}\,\}\subset {\mathcal {P}}_{0}\subset {\mathcal {P}}_{1}\subset {\mathcal {P}}_{2}\subset {\mathcal {P}}_{3}={\mathcal {P}}_{3}=\cdots

例 1.5

變換 $\pi :\mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} ^{3}$ 將前兩個座標投影到

{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\0\end{pmatrix}}

有 $\mathbb {C} ^{3}\supset {\mathcal {R}}(\pi )={\mathcal {R}}(\pi ^{2})=\cdots$ 和 $\{{\vec {0}}\,\}\subset {\mathcal {N}}(\pi )={\mathcal {N}}(\pi ^{2})=\cdots \,$ 。

例 1.6

令 $t:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{2}$ 為對映 $c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}\mapsto 2c_{0}+c_{2}x.$ 正如引理所述，在迭代過程中，值域會縮小

{\mathcal {R}}(t^{0})={\mathcal {P}}_{2}\quad {\mathcal {R}}(t)=\{a+bx\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {C} \}\quad {\mathcal {R}}(t^{2})=\{a\,{\big |}\,a\in \mathbb {C} \}

然後穩定 ${\mathcal {R}}(t^{2})={\mathcal {R}}(t^{3})=\cdots$ ，而零空間則不斷增長。

{\mathcal {N}}(t^{0})=\{0\}\quad {\mathcal {N}}(t)=\{cx\,{\big |}\,c\in \mathbb {C} \}\quad {\mathcal {N}}(t^{2})=\{cx+d\,{\big |}\,c,d\in \mathbb {C} \}

然後穩定 ${\mathcal {N}}(t^{2})={\mathcal {N}}(t^{3})=\cdots$ 。

此圖說明了引理 1.3。橫軸表示變換的冪 $j$ 。縱軸表示 $t^{j}$ 的值域空間的維度，即高於零的距離，因此也表示零空間的維度，即低於灰色水平線的距離，因為兩者相加等於域的維度 $n$ 。

如圖所示，在迭代過程中，秩會下降，隨之而來的是零度的增加，直到兩者達到穩定狀態。這個狀態必須在第 $n$ 次迭代時達到。穩定狀態高於零的距離是廣義值域空間的維度，而低於 $n$ 的距離是廣義零空間的維度。

定義 1.7

令 $t$ 是一個在 $n$ 維空間上的變換。廣義值域空間（或值域空間的閉包）是 ${\mathcal {R}}_{\infty }(t)={\mathcal {R}}(t^{n})$ 。廣義零空間（或零空間的閉包）是 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t)={\mathcal {N}}(t^{n})$ 。

練習

問題 1

給出零變換和恆等變換的範圍空間和零空間鏈。

問題 2

對於每個對映，給出範圍空間鏈和零空間鏈，以及廣義範圍空間和廣義零空間。

$t_{0}:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{2}$ , $a+bx+cx^{2}\mapsto b+cx^{2}$
$t_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ,
${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\a\end{pmatrix}}$
$t_{2}:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{2}$ , $a+bx+cx^{2}\mapsto b+cx+ax^{2}$
$t_{3}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ ,
${\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a\\a\\b\end{pmatrix}}$