線性代數/自複合/解答

解答

問題 1

給出零變換和恆等變換的範圍空間和零空間鏈。

解答

對於零變換，無論空間是什麼，範圍空間鏈都是$V\supset \{{\vec {0}}\}=\{{\vec {0}}\}=\cdots \,$，而零空間鏈是$\{{\vec {0}}\}\subset V=V=\cdots \,$。對於恆等變換，鏈是$V=V=V=\cdots$ 和 $\{{\vec {0}}\}=\{{\vec {0}}\}=\cdots \,$。

問題 2

對於每個對映，給出範圍空間鏈、零空間鏈、廣義範圍空間和廣義零空間。

1. $t_{0}:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{2}$，$a+bx+cx^{2}\mapsto b+cx^{2}$
2. $t_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$,

   ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\a\end{pmatrix}}$

3. $t_{2}:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{2}$，$a+bx+cx^{2}\mapsto b+cx+ax^{2}$
4. $t_{3}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$,

   ${\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a\\a\\b\end{pmatrix}}$

解答

1. 迭代 $t_{0}$ 兩次 $a+bx+cx^{2}\mapsto b+cx^{2}\mapsto cx^{2}$ 得

   $a+bx+cx^{2}{\stackrel {t_{0}^{2}}{\longmapsto }}cx^{2}$

   任何更高冪都是相同對映。因此，雖然 ${\mathcal {R}}(t_{0})$ 是沒有線性項的二次多項式的空間 $\{p+rx^{2}\,{\big |}\,p,r\in \mathbb {C} \}$，而 ${\mathcal {R}}(t_{0}^{2})$ 是純二次多項式的空間 $\{rx^{2}\,{\big |}\,r\in \mathbb {C} \}$，這是鏈穩定的地方 ${\mathcal {R}}_{\infty }(t_{0})=\{rx^{2}\,{\big |}\,n\in \mathbb {C} \}$。至於零空間，${\mathcal {N}}(t_{0})$ 是純線性二次多項式的空間 $\{qx\,{\big |}\,q\in \mathbb {C} \}$，而 ${\mathcal {N}}(t_{0}^{2})$ 是沒有 $x^{2}$ 項的二次多項式的空間 $\{p+qx\,{\big |}\,p,q\in \mathbb {C} \}$，這就是結束的地方 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t_{0})={\mathcal {N}}(t_{0}^{2})$.
2. 二次方

   ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}{\stackrel {t_{1}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\a\end{pmatrix}}{\stackrel {t_{1}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

   是零對映。因此，值域空間鏈

   $\mathbb {R} ^{2}\supset \{{\begin{pmatrix}0\\p\end{pmatrix}}\,{\big |}\,p\in \mathbb {C} \}\supset \{{\vec {0}}\,\}=\cdots$

   和零空間鏈

   $\{{\vec {0}}\,\}\subset \{{\begin{pmatrix}q\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,q\in \mathbb {C} \}\subset \mathbb {R} ^{2}=\cdots$

   的長度都是 2。廣義值域空間是平凡子空間，廣義零空間是整個空間。
3. 該對映的迭代迴圈如下：

   $a+bx+cx^{2}{\stackrel {t_{2}}{\longmapsto }}b+cx+ax^{2}{\stackrel {t_{2}}{\longmapsto }}c+ax+bx^{2}{\stackrel {t_{2}}{\longmapsto }}a+bx+cx^{2}\;\cdots$

   值域空間和零空間鏈是平凡的。

   ${\mathcal {P}}_{2}={\mathcal {P}}_{2}=\cdots \qquad \{{\vec {0}}\,\}=\{{\vec {0}}\,\}=\cdots$

   因此，顯然，廣義空間為 ${\mathcal {R}}_{\infty }(t_{2})={\mathcal {P}}_{2}$ 和 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t_{2})=\{{\vec {0}}\,\}$.
4. 我們有

   ${\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a\\a\\b\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a\\a\\a\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a\\a\\a\end{pmatrix}}\mapsto \cdots$

   因此，值域空間的鏈為

   $\mathbb {R} ^{3}\supset \{{\begin{pmatrix}p\\p\\r\end{pmatrix}}\,{\big |}\,p,r\in \mathbb {C} \}\supset \{{\begin{pmatrix}p\\p\\p\end{pmatrix}}\,{\big |}\,p\in \mathbb {C} \}=\cdots$

   和零空間鏈

   $\{{\vec {0}}\,\}\subset \{{\begin{pmatrix}0\\0\\r\end{pmatrix}}\,{\big |}\,r\in \mathbb {C} \}\subset \{{\begin{pmatrix}0\\q\\r\end{pmatrix}}\,{\big |}\,q,r\in \mathbb {C} \}=\cdots$

   每個鏈的長度都是 2。廣義空間是每個鏈中最後顯示的空間。

問題 3

證明函式複合是結合的 $(t\circ t)\circ t=t\circ (t\circ t)$ 因此我們可以寫成 $t^{3}$ 無需指定分組。

解答

每個都對映 $x\mapsto t(t(t(x)))$.

問題 4

檢查一個子空間的維數必須小於或等於其超空間的維數。檢查如果子空間是真子空間（子空間不等於超空間），則其維數嚴格小於。（這在 引理 1.3 的證明中使用。）

解答

回顧一下，如果 $W$ 是 $V$ 的子空間，那麼 $W$ 的任何基底 $B_{W}$ 都可以被擴充套件成 $V$ 的一個基底 $B_{V}$。由此第一句話是直接的。第二句話也不難：$W$ 是 $B_{W}$ 的生成空間，如果 $W$ 是一個真子空間，那麼 $V$ 不是 $B_{W}$ 的生成空間，所以 $B_{V}$ 必須比 $B_{W}$ 多至少一個向量。

問題 5

證明，如果變換 $t$ 是非奇異的，則廣義值域 ${\mathcal {R}}_{\infty }(t)$ 是整個空間，廣義零空間 ${\mathcal {N}}_{\infty }(t)$ 是平凡的。這是否也是“當且僅當”？

解答

它是“當且僅當”。我們之前已經看到，線性對映是非奇異的，當且僅當它保持維數，也就是說，它的值域的維數等於它的定義域的維數。對於一個變換 $t:V\to V$，這意味著該對映是非奇異的，當且僅當它是滿射的：${\mathcal {R}}(t)=V$（因此 ${\mathcal {R}}(t^{2})=V$，等等）。

問題 6

驗證 引理 1.3 的零空間部分。

解答

零空間形成鏈，因為如果${\vec {v}}\in {\mathcal {N}}(t^{j})$，那麼$t^{j}({\vec {v}})={\vec {0}}$，並且$t^{j+1}({\vec {v}})=t(\,t^{j}({\vec {v}})\,)=t({\vec {0}})={\vec {0}}$，因此${\vec {v}}\in {\mathcal {N}}(t^{j+1})$。

現在，零空間的“進一步”屬性來自於它對值域空間成立這一事實，以及之前的練習。因為${\mathcal {R}}(t^{j})$的維數加上${\mathcal {N}}(t^{j})$的維數等於起始空間$V$的維數$n$，當值域空間的維數停止下降時，零空間的維數也停止下降。之前的練習表明，從這個點$k$開始，鏈中的包含關係不再是真包含——零空間是相等的。

問題 7

給出三維空間上一個變換的例子，其值域維數為 2。它的零空間是什麼？迭代你的例子，直到值域空間和零空間穩定下來。

解答

（當然，很多例子都是正確的，但這裡有一個。）一個例子是實數三元組上的移位運算元$(x,y,z)\mapsto (0,x,y)$。零空間是所有以兩個零開始的三元組。該對映在三次迭代後穩定下來。

問題 8

證明線性變換的值域空間和零空間不需要是不相交的。它們什麼時候是不相交的？

解答

微分運算元$d/dx:{\mathcal {P}}_{1}\to {\mathcal {P}}_{1}$的值域空間和零空間相同。對於它們不相交的例子——除了零向量之外——考慮恆等對映（或任何非奇異對映）。