線性代數/Jordan 標準型

本節使用三個可選小節中的材料：直和、行列式存在以及行列式的其他公式。

關於線性對映的章節表明，每個$h:V\to W$可以由關於某些基$B\subset V$和$D\subset W$的部分單位矩陣表示。本章重新討論了線性變換$t:V\to V$這種特殊情況下的問題。當然，一般結果仍然適用，但由於陪域和域相等，我們自然會問兩個基是否也相等。也就是說，我們想要一個規範形式來表示變換為${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$.

在簡短的回顧部分之後，我們首先注意到塊部分單位形式矩陣並不總是可以在$B,B$情況下獲得。因此，我們考慮了自然的推廣，即對角矩陣，並證明了如果它的特徵值是不同的，那麼對映或矩陣可以被對角化。但我們也給出了一個不能對角化的矩陣的例子，並在本節之前的一節中開發了該例子。我們證明了線性對映是冪零的——如果我們對對映或矩陣取越來越高的冪，那麼我們最終會得到零對映或矩陣——當且僅當存在一個它透過不交字串作用的基。這導致了冪零矩陣的規範形式。

現在，本節總結了本章。我們將證明我們研究的兩種情況是詳盡的，因為對於任何線性變換，都存在一個基，使得矩陣表示${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$是對角矩陣和其規範形式中的冪零矩陣的總和。