線性代數/字串/解

解

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問題 1

作用於實數三元組空間的左移運算元的冪零指數是多少？

$(x,y,z)\mapsto (0,x,y)$

答案

三。因為它至少是三，因為 $\ell ^{2}(\,(1,1,1)\,)=(0,0,1)\neq {\vec {0}}$。它最多是三，因為 $(x,y,z)\mapsto (0,x,y)\mapsto (0,0,x)\mapsto (0,0,0)$.

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問題 2

對於每個字串基，說明冪零指數，並給出冪零對映每次迭代的範圍空間和零空間的維數。

1. ${\begin{array}{ccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{4}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}$
2. ${\begin{array}{ccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{4}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{5}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{6}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}$
3. ${\begin{array}{ccccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}$

也給出矩陣的規範形式。

答案

1. 該域的維度為四。該對映的作用是將空間中的任何向量 $c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+c_{2}\cdot {\vec {\beta }}_{2}+c_{3}\cdot {\vec {\beta }}_{3}+c_{4}\cdot {\vec {\beta }}_{4}$ 對映到 $c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{2}+c_{2}\cdot {\vec {0}}+c_{3}\cdot {\vec {\beta }}_{4}+c_{4}\cdot {\vec {0}}=c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{3}+c_{3}\cdot {\vec {\beta }}_{4}$。該對映的第一次應用將兩個基向量 ${\vec {\beta }}_{2}$ 和 ${\vec {\beta }}_{4}$ 對映到零，因此零空間的維度為二，值域空間的維度為二。第二次應用將所有四個基向量對映到零，因此二次冪的零空間維度為四，二次冪的值域空間維度為零。因此，冪零指數為二。這是標準形式。

   ${\begin{pmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}$

2. 該對映的域的維度為六。對於第一次冪，零空間的維度為四，值域空間的維度為二。對於第二次冪，零空間的維度為五，值域空間的維度為一。然後第三次迭代導致零空間的維度為六，值域空間的維度為零。冪零指數為三，這是標準形式。

   ${\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

3. 域的維度為三，冪零指數為三。第一次冪的零空間維度為一，值域空間維度為二。第二次冪的零空間維度為二，值域空間維度為一。最後，第三次冪的零空間維度為三，值域空間維度為零。以下是標準形式矩陣。

   ${\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$

問題 3

判斷這些矩陣中哪些是冪零矩陣。

1. ${\begin{pmatrix}-2&4\\-1&2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}-3&2&1\\-3&2&1\\-3&2&1\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}1&1&4\\3&0&-1\\5&2&7\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}45&-22&-19\\33&-16&-14\\69&-34&-29\end{pmatrix}}$

答案

根據 引理 1.3，零度在 $n$ 次迭代中已達到最大值，其中 $n$ 是域的維數。因此，對於 $2\!\times \!2$ 矩陣，我們只需要檢查其平方是否為零矩陣。對於 $3\!\times \!3$ 矩陣，我們只需要檢查其立方。

1. 是的，這個矩陣是冪零矩陣，因為它的平方是零矩陣。
2. 否，其平方不是零矩陣。

   ${\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}10&6\\6&10\end{pmatrix}}$

3. 是的，其立方是零矩陣。事實上，其平方是零矩陣。
4. 否，其三次方不是零矩陣。

   ${\begin{pmatrix}1&1&4\\3&0&-1\\5&2&7\end{pmatrix}}^{3}={\begin{pmatrix}206&86&304\\26&8&26\\438&180&634\end{pmatrix}}$

5. 是的，這個矩陣的立方是零矩陣。

另一個證明第二和第四個矩陣不是冪零矩陣的方法是注意到它們是非奇異的。

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問題 4

求出這個矩陣的標準型。

${\begin{pmatrix}0&1&1&0&1\\0&0&1&1&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

答案

計算表

${\begin{array}{c|cc}p&N^{p}&{\mathcal {N}}(N^{p})\\\hline 1&{\begin{pmatrix}0&1&1&0&1\\0&0&1&1&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}r\\u\\-u-v\\u\\v\end{pmatrix}}\,{\big |}\,r,u,v\in \mathbb {C} \}\\2&{\begin{pmatrix}0&0&1&1&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}r\\s\\-u-v\\u\\v\end{pmatrix}}\,{\big |}\,r,s,u,v\in \mathbb {C} \}\\2&{\textit {--zeromatrix--}}&\mathbb {C} ^{5}\end{array}}$

給出字串基的這些要求：三個基向量直接被對映為零，另外一個基向量在第二次應用中被對映為零，最後一個基向量在第三次應用中被對映為零。 因此，字串基具有以下形式。

${\begin{array}{ccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{4}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{5}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}$

由此可立即得到規範形式。

${\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

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問題 5

考慮來自 示例 2.16 的矩陣。

1. 使用對映在字串基上的作用來給出規範形式。
2. 找出將矩陣轉換為規範形式的基變換矩陣。
3. 使用上一項的答案來檢查第一項的答案。

答案

1. 規範形式具有 $3\!\times \!3$ 塊和 $2\!\times \!2$ 塊

   $\left({\begin{array}{ccc|cc}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\\end{array}}\right)$

   對應於基中的長度為 3 的字串和長度為 2 的字串。
2. 假設 $N$ 是關於標準基的底層對映的表示。令 $B$ 為我們將要更改的基底。根據相似性圖

   

   我們有規範形式矩陣為 $PNP^{-1}$ 其中

   $P^{-1}={\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{5}}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&1&0\\1&0&1&0&0\\0&0&1&1&1\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}$

   並且 $P$ 是它的逆。

   $P={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{5},B}({\mbox{id}})=(P^{-1})^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\-1&1&1&-1&1\\-1&0&1&0&0\\1&0&-1&1&-1\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}$

3. 檢查此計算是例行公事。

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問題 6

這些矩陣中的每一個都是冪零的。

1. ${\begin{pmatrix}1/2&-1/2\\1/2&-1/2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&1\\0&-1&1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}-1&1&-1\\1&0&1\\1&-1&1\end{pmatrix}}$

將每個都放到規範形式。

答案

1. 計算${\begin{array}{c|cc}p&N^{p}&{\mathcal {N}}(N^{p})\\\hline 1&{\begin{pmatrix}1/2&-1/2\\1/2&-1/2\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}u\\u\end{pmatrix}}\,{\big |}\,u\in \mathbb {C} \}\\2&{\textit {--zeromatrix--}}&\mathbb {C} ^{2}\end{array}}$

   表明任何由該矩陣表示的對映必須以這種方式作用於字串基。

   ${\begin{array}{ccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}$

   因為一次應用後的零空間維數為一，且只有一個基向量，${\vec {\beta }}_{2}$，被對映為零。因此，關於 $\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2}\rangle$ 的這種表示形式是規範形式。

   ${\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

2. 這裡的計算與之前的類似。${\begin{array}{c|cc}p&N^{p}&{\mathcal {N}}(N^{p})\\\hline 1&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&-1&1\\0&-1&1\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}u\\v\\v\end{pmatrix}}\,{\big |}\,u,v\in \mathbb {C} \}\\2&{\textit {--zeromatrix--}}&\mathbb {C} ^{3}\end{array}}$

   該表表明字串基的形式為

   ${\begin{array}{ccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}$

   因為一次應用對映後的零空間維數為二—— ${\vec {\beta }}_{2}$ 和 ${\vec {\beta }}_{3}$ 都被對映為零—— 並且再進行一次迭代會導致另一個向量被對映為零。

3. 計算${\begin{array}{c|cc}p&N^{p}&{\mathcal {N}}(N^{p})\\\hline 1&{\begin{pmatrix}-1&1&-1\\1&0&1\\1&-1&1\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}u\\0\\-u\end{pmatrix}}\,{\big |}\,u\in \mathbb {C} \}\\2&{\begin{pmatrix}1&0&1\\0&0&0\\-1&0&-1\end{pmatrix}}&\{{\begin{pmatrix}u\\v\\-u\end{pmatrix}}\,{\big |}\,u,v\in \mathbb {C} \}\\3&{\textit {--zeromatrix--}}&\mathbb {C} ^{3}\end{array}}$

   表明任何由該基表示的對映必須以這種方式作用於字串基。

   ${\begin{array}{ccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}$

   因此，這是規範形式。

   ${\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}$

問題 7

描述左乘或右乘以處於冪零矩陣規範形式的矩陣的效果。

答案

一些例子

${\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\a&b\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}}$

表明左乘以一個次對角線為一的塊會將矩陣的各行向下移動。不同的塊

${\begin{pmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\\i&j&k&l\\m&n&o&p\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\a&b&c&d\\0&0&0&0\\i&j&k&l\end{pmatrix}}$

會將矩陣的不同部分向下移動。

右乘對列有類似的效果。參見 問題 1。

問題 8

冪零性在相似性下是否保持不變？也就是說，與冪零矩陣相似的矩陣是否也必須是冪零矩陣？如果是，則冪零指數是否相同？

答案

是的。將 示例 2.9 中的最後一句話推廣一下。至於索引，最後一句話表明，新矩陣的索引小於或等於 ${\hat {N}}$ 的索引，反過來，交換兩個矩陣的角色，則可得到另一個方向的不等式。

這個問題的另一個答案是證明一個矩陣為冪零矩陣當且僅當任何與之相關的對映為冪零矩陣，並且具有相同的索引。然後，由於相似矩陣表示相同的對映，結論就隨之而來。這是下面 練習 14。

建議所有讀者完成此練習。

問題 9

證明冪零矩陣的唯一特徵值為零。

答案

觀察到，一個典型形式的冪零矩陣只有零特徵值；例如，這個下三角矩陣

${\begin{pmatrix}-x&0&0\\1&-x&0\\0&1&-x\end{pmatrix}}$

的行列式為 $(-x)^{3}$，它的唯一根為零。但相似矩陣具有相同的特徵值，並且每個冪零矩陣都與典型形式的矩陣相似。

另一種理解方式是觀察到，一個冪零矩陣在經過若干次迭代後，會將所有向量對映為零，但這與在特徵空間 ${\vec {v}}\mapsto \lambda {\vec {v}}$ 上的操作相沖突，除非 $\lambda$ 為零。

問題 10

二維空間上是否存在索引為 3 的冪零變換？

答案

不存在。根據 引理 1.3，對於二維空間上的對映，在第二次迭代時，零度已經達到最大值。

問題 11

在 定理 2.13 的證明中，為什麼證明的基線情況不是冪零指數為零？

答案

只有當開始字串的向量為 ${\vec {0}}$ 時，變換的冪零指數才能為零，也就是說，只有當 $V$ 是一個平凡空間時。

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問題 12

設 $t:V\to V$ 是一個線性變換，並假設 ${\vec {v}}\in V$ 使得 $t^{k}({\vec {v}})={\vec {0}}$ 但 $t^{k-1}({\vec {v}})\neq {\vec {0}}$。考慮 $t$-字串 $\langle {\vec {v}},t({\vec {v}}),\dots ,t^{k-1}({\vec {v}})\rangle$.

1. 證明 $t$ 是字串中向量集合的跨度上的一個變換，也就是說，證明 $t$ 限制在跨度上的值域是跨度的一個子集。我們說這個跨度是一個 $t$-不變 子空間。
2. 證明這個限制是冪零的。
3. 證明 $t$-字串是線性無關的，因此是其跨度的一個基。
4. 用 $t$-字串基表示限制對映。

答案

1. 跨度的任何成員 ${\vec {w}}$ 可以寫成一個線性組合 ${\vec {w}}=c_{0}\cdot {\vec {v}}+c_{1}\cdot t({\vec {v}})+\dots +c_{k-1}\cdot t^{k-1}({\vec {v}})$。但根據對映的線性性，$t({\vec {w}})=c_{0}\cdot t({\vec {v}})+c_{1}\cdot t^{2}({\vec {v}})+\dots +c_{k-2}\cdot t^{k-1}({\vec {v}})+c_{k-1}\cdot {\vec {0}}$ 也是在跨度中。
2. 前面的項中的操作，當迭代 $k$ 次時，將導致一個零的線性組合。
3. 如果 ${\vec {v}}={\vec {0}}$，則該集合為空，根據定義它是線性無關的。否則，寫出 $c_{1}{\vec {v}}+\dots +c_{k-1}t^{k-1}({\vec {v}})={\vec {0}}$，並將 $t^{k-1}$ 應用到等式的兩邊。等式的右邊得到 ${\vec {0}}$，而等式的左邊得到 $c_{1}t^{k-1}({\vec {v}})$；得出結論 $c_{1}=0$。透過將 $t^{k-2}$ 應用到等式的兩邊，以此類推。
4. 當然，$t$ 透過作用於這個基作為單個的、$k$ 長的、$t$ 字串，作用於跨度。

   ${\begin{pmatrix}0&0&0&0&\ldots &0&0\\1&0&0&0&\ldots &0&0\\0&1&0&0&\ldots &0&0\\0&0&1&0&&0&0\\&&&\ddots \\0&0&0&0&&1&0\\\end{pmatrix}}$

問題 13

完成對 定理 2.13 的證明。

答案

我們必須檢查 $B\cup {\hat {C}}\cup \{{\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{j}\}$ 是線性無關的，其中 $B$ 是 $t$-字串基 ${\mathcal {R}}(t)$，其中 ${\hat {C}}$ 是 ${\mathcal {N}}(t)$ 的一個基，並且 $t({\vec {v}}_{1})={\vec {\beta }}_{1},\dots ,t({\vec {v}}_{i}={\vec {\beta }}_{i}$。寫

${\vec {0}}=c_{1,-1}{\vec {v}}_{1}+c_{1,0}{\vec {\beta }}_{1}+c_{1,1}t({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{1,{h_{1}}}t^{h_{1}}({\vec {\vec {\beta }}}_{1})+c_{2,-1}{\vec {v}}_{2}+\dots +c_{j,h_{i}}t^{h_{i}}({\vec {\beta _{i}}})$

並應用 $t$。

${\vec {0}}=c_{1,-1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{1,0}t({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{1,h_{1}-1}t^{h_{1}}({\vec {\vec {\beta }}}_{1})+c_{1,h_{1}}{\vec {0}}+c_{2,-1}{\vec {\beta }}_{2}+\cdots +c_{i,h_{i}-1}t^{h_{i}}({\vec {\beta _{i}}})+c_{i,h_{i}}{\vec {0}}$

可以得出結論，係數 $c_{1,-1},\dots ,c_{1,h_{i}-1},c_{2,-1},\dots ,c_{i,h_{i}-1}$ 都為零，因為 $B\cup {\hat {C}}$ 是一個基。代入第一個顯示的等式得出結論，其餘係數也為零。

問題 14

證明，如定義 2.6 中所述，“冪零變換”和“冪零矩陣”相互吻合：一個對映是冪零的，當且僅當它由一個冪零矩陣表示。（是指變換是冪零的，當且僅當存在一個基使得對映相對於該基的表示是一個冪零矩陣，還是指任何表示都是一個冪零矩陣？）

答案

對於任何基 $B$，一個變換 $n$ 是冪零的，當且僅當 $N={\rm {Rep}}_{B,B}(n)$ 是一個冪零矩陣。這是因為只有零矩陣表示零對映，所以 $n^{j}$ 是零對映當且僅當 $N^{j}$ 是零矩陣。

問題 15

設 $T$ 是指標為四的冪零變換。$T^{3}$ 的值域能有多大？

答案

它可以是任何大於或等於一的尺寸。為了得到一個指標為四的冪零變換，其三次方的值域的維數為 $k$，取一個向量空間，該空間的一個基，以及一個以這種方式作用於該基的變換。

${\begin{array}{ccccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{3}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{4}&\mapsto &{\vec {0}}\\{\vec {\beta }}_{5}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{6}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{7}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{8}&\mapsto &{\vec {0}}\\&\vdots \\{\vec {\beta }}_{4k-3}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{4k-2}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{4k-1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{4k}&\mapsto &{\vec {0}}\\&\vdots \end{array}}$

--可能還有其他更短的字串--

因此，$T^{3}$ 的值域空間的維數可以任意大。它能取到的最小值是 1，因為必須至少存在一個字串，否則該對映的冪零指數將不會是 4。

問題 16

回顧一下，相似矩陣具有相同的特徵值。證明逆命題不成立。

答案

這兩個矩陣只有 0 作為特徵值

${\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

但它們並不相似（它們有不同的規範代表，即它們本身）。

問題 17

證明冪零矩陣與一個除了超對角線上的塊之外所有元素都為零的矩陣相似。

答案

對字串基進行簡單的重新排序即可。例如，與該字串基相關的對映

${\begin{array}{ccccccc}{\vec {\beta }}_{1}&\mapsto &{\vec {\beta }}_{2}&\mapsto &{\vec {0}}\end{array}}$

相對於 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2}\rangle$ 由該矩陣表示

${\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

但相對於 $B=\langle {\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{1}\rangle$ 以這種方式表示。

${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

建議所有讀者完成此練習。

問題 18

證明如果一個變換的值域空間與其零空間相同，則其定義域的維數為偶數。

答案

令 $t:V\to V$ 為變換。如果 $\mathop {\mbox{rank}} (t)={\text{nullity}}\,(t)$，則方程 $\mathop {\mbox{rank}} (t)+{\text{nullity}}\,(t)=\dim(V)$ 表明 $\dim(V)$ 是偶數。

問題 19

證明如果兩個冪零矩陣可交換，則它們的乘積和和也是冪零的。

答案

為了使矩陣為冪零，它們必須是方陣。為了使它們可交換，它們必須大小相同。因此它們的乘積和和是有定義的。

將矩陣稱為 $A$ 和 $B$。要看到 $AB$ 是冪零的，將 $(AB)^{2}=ABAB=AABB=A^{2}B^{2}$，以及 $(AB)^{3}=A^{3}B^{3}$ 等，以及，因為 $A$ 是冪零的，該乘積最終為零。

和也是類似的；使用二項式定理。

問題 20

考慮 ${\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$ 上的變換由 $t_{S}(T)=ST-TS$ 給出，其中 $S$ 是一個 $n\!\times \!n$ 矩陣。證明如果 $S$ 是冪零的，則 $t_{S}$ 也是冪零的。

答案

一些實驗給出了證明的思路。第二冪的展開

$t_{S}^{2}(T)=S(ST-TS)-(ST-TS)S=S^{2}-2STS+TS^{2}$

三次方

${\begin{array}{rl}t_{S}^{3}(T)&=S(S^{2}-2STS+TS^{2})-(S^{2}-2STS+TS^{2})S\\&=S^{3}T-3S^{2}TS+3STS^{2}-TS^{3}\end{array}}$

以及四次方

${\begin{array}{rl}t_{S}^{4}(T)&=S(S^{3}T-3S^{2}TS+3STS^{2}-TS^{3})-(S^{3}T-3S^{2}TS+3STS^{2}-TS^{3})S\\&=S^{4}T-4S^{3}TS+6S^{2}TS^{2}-4STS^{3}+TS^{4}\end{array}}$

表明這些展開式遵循二項式定理。透過對 $t_{S}$ 的冪進行歸納來驗證這一點是例行公事。這回答了問題，因為當 $S$ 的冪零指數為 $k$ 時，在 $t_{S}^{2k}$ 的展開式中

$t_{S}^{2k}(T)=\sum _{0\leq i\leq 2k}(-1)^{i}{\binom {2k}{i}}S^{i}TS^{2k-i}$

對於任何 $i$，至少 $S^{i}$ 和 $S^{2k-i}$ 之一，其冪大於 $k$，因此該項給出零矩陣。

問題 21

證明如果 $N$ 是冪零矩陣，那麼 $I-N$ 是可逆的。這個命題的逆命題是否也成立？

答案

使用等比數列公式：$I-N^{k+1}=(I-N)(N^{k}+N^{k-1}+\cdots +I)$。如果 $N^{k+1}$ 是零矩陣，那麼我們找到了 $I-N$ 的右逆矩陣。它也是左逆矩陣。

這個命題的逆命題不成立，因為

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

是可逆的。