線性代數/拉普拉斯展開/解答

解答

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問題 1

求餘子式。

T={\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&1&3\\0&2&-1\end{pmatrix}}

$T_{2,3}$
$T_{3,2}$
$T_{1,3}$

解答

$(-1)^{2+3}{\begin{vmatrix}1&0\\0&2\end{vmatrix}}=-2$
$(-1)^{3+2}{\begin{vmatrix}1&2\\-1&3\end{vmatrix}}=-5$
$(-1)^{4}{\begin{vmatrix}-1&1\\0&2\end{vmatrix}}=-3$

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問題 2

透過展開求行列式

{\begin{vmatrix}3&0&1\\1&2&2\\-1&3&0\end{vmatrix}}

在第一行展開
在第二行展開
在第三列展開。

解答

$3\cdot (+1){\begin{vmatrix}2&2\\3&0\end{vmatrix}}+0\cdot (-1){\begin{vmatrix}1&2\\-1&0\end{vmatrix}}+1\cdot (+1){\begin{vmatrix}1&2\\-1&3\end{vmatrix}}=-13$
$1\cdot (-1){\begin{vmatrix}0&1\\3&0\end{vmatrix}}+2\cdot (+1){\begin{vmatrix}3&1\\-1&0\end{vmatrix}}+2\cdot (-1){\begin{vmatrix}3&0\\-1&3\end{vmatrix}}=-13$
$1\cdot (+1){\begin{vmatrix}1&2\\-1&3\end{vmatrix}}+2\cdot (-1){\begin{vmatrix}3&0\\-1&3\end{vmatrix}}+0\cdot (+1){\begin{vmatrix}3&0\\1&2\end{vmatrix}}=-13$

問題 3

求例 1.6中矩陣的伴隨矩陣。

解答

${\text{adj}}\,(T)={\begin{pmatrix}T_{1,1}&T_{2,1}&T_{3,1}\\T_{1,2}&T_{2,2}&T_{3,2}\\T_{1,3}&T_{2,3}&T_{3,3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}2&3\\8&9\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}2&3\\5&6\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}\\+{\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}1&2\\7&8\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1&2\\4&5\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3&6&-3\\6&-12&6\\-3&6&-3\end{pmatrix}}$

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問題 4

求每個矩陣的伴隨矩陣。

${\begin{pmatrix}2&1&4\\-1&0&2\\1&0&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}3&-1\\2&4\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&1\\5&0\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&4&3\\-1&0&3\\1&8&9\end{pmatrix}}$

解答

${\begin{pmatrix}T_{1,1}&T_{2,1}&T_{3,1}\\T_{1,2}&T_{2,2}&T_{3,2}\\T_{1,3}&T_{2,3}&T_{3,3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\begin{vmatrix}0&2\\0&1\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&4\\0&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&4\\0&2\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}-1&2\\1&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}2&4\\1&1\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}2&4\\-1&2\end{vmatrix}}\\{\begin{vmatrix}-1&0\\1&0\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}2&1\\-1&0\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1&2\\3&-2&-8\\0&1&1\end{pmatrix}}$
次要項是 $1\!\times \!1$ : ${\begin{pmatrix}T_{1,1}&T_{2,1}\\T_{1,2}&T_{2,2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\begin{vmatrix}4\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}-1\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}2\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}3\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&1\\-2&3\end{pmatrix}}$ .
${\begin{pmatrix}0&-1\\-5&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}T_{1,1}&T_{2,1}&T_{3,1}\\T_{1,2}&T_{2,2}&T_{3,2}\\T_{1,3}&T_{2,3}&T_{3,3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\begin{vmatrix}0&3\\8&9\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}4&3\\8&9\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}4&3\\0&3\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}-1&3\\1&9\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&3\\1&9\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&3\\-1&3\end{vmatrix}}\\{\begin{vmatrix}-1&0\\1&8\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&4\\1&8\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&4\\-1&0\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-24&-12&12\\12&6&-6\\-8&-4&4\end{pmatrix}}$

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問題 5

使用定理 1.9 求解上一個問題中每個矩陣的逆矩陣。

解答

$(1/3)\cdot {\begin{pmatrix}0&-1&2\\3&-2&-8\\0&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1/3&2/3\\1&-2/3&-8/3\\0&1/3&1/3\end{pmatrix}}$
$(1/14)\cdot {\begin{pmatrix}4&1\\-2&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2/7&1/14\\-1/7&3/14\end{pmatrix}}$
$(1/-5)\cdot {\begin{pmatrix}0&-1\\-5&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1/5\\1&-1/5\end{pmatrix}}$
該矩陣的行列式為零，因此沒有逆矩陣。

問題 6

求該矩陣的伴隨矩陣。

{\begin{pmatrix}2&1&0&0\\1&2&1&0\\0&1&2&1\\0&0&1&2\end{pmatrix}}

解答

${\begin{pmatrix}T_{1,1}&T_{2,1}&T_{3,1}&T_{4,1}\\T_{1,2}&T_{2,2}&T_{3,2}&T_{4,2}\\T_{1,3}&T_{2,3}&T_{3,3}&T_{4,3}\\T_{1,4}&T_{2,4}&T_{3,4}&T_{4,4}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&-3&2&-1\\-3&6&-4&2\\2&-4&6&-3\\-1&2&-3&4\end{pmatrix}}$

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問題 7

展開第一行，推匯出 $2\!\times \!2$ 矩陣行列式的公式。

解答

行列式

{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}

按第一行展開得到 $a\cdot (+1)\left|d\right|+b\cdot (-1)\left|c\right|=ad-bc$ （注意兩個 $1\!\times \!1$ 子式）。

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問題 8

展開第一行，推匯出 $3\!\times \!3$ 矩陣行列式的公式。

解答

矩陣

{\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}

的行列式是

a\cdot {\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b\cdot {\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c\cdot {\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)

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問題 9

給出 $2\!\times \!2$ 矩陣伴隨矩陣的公式。
利用它推匯出逆矩陣的公式。

解答

${\begin{pmatrix}T_{1,1}&T_{2,1}\\T_{1,2}&T_{2,2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\begin{vmatrix}t_{2,2}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}t_{1,2}\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}t_{2,1}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}t_{1,1}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}t_{2,2}&-t_{1,2}\\-t_{2,1}&t_{1,1}\end{pmatrix}}$
$(1/t_{1,1}t_{2,2}-t_{1,2}t_{2,1})\cdot {\begin{pmatrix}t_{2,2}&-t_{1,2}\\-t_{2,1}&t_{1,1}\end{pmatrix}}$

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問題 10

我們能否透過沿對角線展開來計算行列式？

解答

不能。這裡有一個行列式，其值

{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}}=1

不等於沿對角線展開的結果。

1\cdot (+1){\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}+1\cdot (+1){\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}+1\cdot (+1){\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}=3

問題 11

給出對角矩陣的伴隨矩陣公式。

解答

考慮這個對角矩陣。

D={\begin{pmatrix}d_{1}&0&0&\ldots \\0&d_{2}&0&\\0&0&d_{3}\\&&&\ddots \\&&&&d_{n}\end{pmatrix}}

如果 $i\neq j$ ，那麼 $i,j$ 子式是一個 $(n-1)\!\times \!(n-1)$ 矩陣，只有 $n-2$ 個非零元素，因為 $d_{i}$ 和 $d_{j}$ 都被刪除了。因此，子式的至少一行或一列全為零，所以餘因子 $D_{i,j}$ 為零。如果 $i=j$ ，那麼子式是一個對角矩陣，其元素為 $d_{1}$ ，…， $d_{i-1}$ ， $d_{i+1}$ ，…， $d_{n}$ 。其行列式顯然為 $(-1)^{i+j}=(-1)^{2i}=1$ 乘以這些元素的乘積。

{\text{adj}}\,(D)={\begin{pmatrix}d_{2}\cdots d_{n}&0&&0\\0&d_{1}d_{3}\cdots d_{n}&&0\\&&\ddots \\&&&d_{1}\cdots d_{n-1}\end{pmatrix}}

順便說一句，定理 1.9 提供了一個更簡潔的方法來推匯出這個結論。

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問題 12

證明伴隨矩陣的轉置等於轉置矩陣的伴隨矩陣。

解答

只需注意到，如果 $S={{T}^{\rm {trans}}}$ ，則餘因子 $S_{j,i}$ 等於餘因子 $T_{i,j}$ ，因為 $(-1)^{j+i}=(-1)^{i+j}$ ，並且因為子式是彼此的轉置（並且轉置矩陣的行列式等於矩陣的行列式）。

問題 13

證明或反駁： ${\text{adj}}\,({\text{adj}}\,(T))=T$ .

解答

這是錯誤的；這裡有一個例子。

T={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}\qquad {\text{adj}}\,(T)={\begin{pmatrix}-3&6&-3\\6&-12&6\\-3&6&-3\end{pmatrix}}\qquad {\text{adj}}\,({\text{adj}}\,(T))={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}

問題 14

如果方陣的每個 $i,j$ 元素在對角線以上為零，即當 $i>j$ 時，則該方陣為 **上三角**。

上三角矩陣的伴隨矩陣必須是上三角嗎？下三角嗎？
證明如果存在逆矩陣，則上三角矩陣的逆矩陣是上三角矩陣。

解答

一個例子
$M={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&6\end{pmatrix}}$
表明了正確答案。
${\text{adj}}\,(M)={\begin{pmatrix}M_{1,1}&M_{2,1}&M_{3,1}\\M_{1,2}&M_{2,2}&M_{3,2}\\M_{1,3}&M_{2,3}&M_{3,3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\begin{vmatrix}4&5\\0&6\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}2&3\\0&6\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}2&3\\4&5\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}0&5\\0&6\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&3\\0&6\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&3\\0&5\end{vmatrix}}\\{\begin{vmatrix}0&4\\0&0\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&2\\0&0\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&2\\0&4\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}24&-12&-2\\0&6&-5\\0&0&4\end{pmatrix}}$
結果確實是上三角矩陣。檢查這一點很詳細，但並不難。伴隨矩陣上三角中的元素是 $M_{a,b}$ ，其中 $a>b$ 。我們需要驗證餘因子 $M_{a,b}$ 如果 $a>b$ 為零。對於 $a>b$ ， $M$ 的第 $a$ 行和第 $b$ 列是，
${\begin{pmatrix}m_{1,1}&\ldots &m_{1,b}&&\\m_{2,1}&\ldots &m_{2,b}&&\\\vdots &&\vdots &&\\m_{a,1}&\ldots &m_{a,b}&\ldots &m_{a,n}\\&&\vdots &&\\&&m_{n,b}&&\end{pmatrix}}$
when deleted, leave an upper triangular minor, because entry $i,j$ of the minor is either entry $i,j$ of $M$ (this happens if $a>i$ and $b>j$ ; in this case $i<j$ implies that the entry is zero) or it is entry $i,j+1$ of $M$ (this happens if $i<a$ and $j>b$ ; in this case, $i<j$ implies that $i<j+1$ , which implies that the entry is zero), or it is entry $i+1,j+1$ of $M$ (this last case happens when $i>a$ and $j>b$ ; obviously here $i<j$ implies that $i+1<j+1$ and so the entry is zero). Thus the determinant of the minor is the product down the diagonal. Observe that the $a-1,a$ entry of $M$ is the $a-1,a-1$ entry of the minor (it doesn't get deleted because the relation $a>b$ is strict). But this entry is zero because $M$ is upper triangular and $a-1<a$ . Therefore the cofactor is zero, and the adjoint is upper triangular. (The lower triangular case is similar.)
這直接來自先前部分，根據推論 1.11。

問題 15

這個問題需要可選的行列式存在小節中的內容。使用排列展開證明定理 1.5。

解答

我們將證明每個行列式都可以沿著第 $i$ 行展開。對第 $j$ 列的論證類似。

排列展開中的每一項都包含且僅包含來自每一行的一個元素。正如示例 1.1 中所示，將每一行 $i$ 的元素提取出來，得到 $\left|T\right|=t_{i,1}\cdot {\hat {T}}_{i,1}+\dots +t_{i,n}\cdot {\hat {T}}_{i,n}$ ，其中每個 ${\hat {T}}_{i,j}$ 是不包含第 $i$ 行任何元素的項的總和。我們將證明 ${\hat {T}}_{i,j}$ 是 $i,j$ 餘因子。

首先考慮 $i,j=n,n$ 的情況。

t_{n,n}\cdot {\hat {T}}_{n,n}=t_{n,n}\cdot \sum _{\phi }t_{1,\phi (1)}t_{2,\phi (2)}\dots \,t_{n-1,\phi (n-1)}\operatorname {sgn}(\phi )

其中求和是對所有滿足 $\phi (n)=n$ 的 $n$ -排列 $\phi$ 進行的。為了證明 ${\hat {T}}_{i,j}$ 是 $T_{i,j}$ 的餘子式，我們只需要證明如果 $\phi$ 是一個滿足 $\phi (n)=n$ 的 $n$ -排列，而 $\sigma$ 是一個滿足 $\sigma (1)=\phi (1)$ ，...， $\sigma (n-1)=\phi (n-1)$ 的 $n-1$ -排列，那麼 $\operatorname {sgn}(\sigma )=\operatorname {sgn}(\phi )$ 。但這是正確的，因為 $\phi$ 和 $\sigma$ 具有相同數量的逆序。

回到一般 $i,j$ 的情況。交換相鄰行直到 $i$ 行成為最後一行，然後交換相鄰列直到 $j$ 列成為最後一列。觀察到 $i,j$ 子式的行列式不受這些相鄰交換的影響，因為逆序保持不變（因為子式省略了 $i$ 行和 $j$ 列）。另一方面， $\left|T\right|$ 和 ${\hat {T}}_{i,j}$ 的符號改變了 $n-i$ 加上 $n-j$ 次。因此 ${\hat {T}}_{i,j}=(-1)^{n-i+n-j}\left|T_{i,j}\right|=(-1)^{i+j}\left|T_{i,j}\right|$ .

問題 16

使用拉普拉斯展開和矩陣大小的歸納法證明矩陣的行列式等於其轉置的行列式。

解答

對於 $1\!\times \!1$ 的基本情況，這是顯而易見的。

對於歸納步驟，假設對於所有 $1\!\times \!1$ , ..., $(n-1)\!\times \!(n-1)$ 矩陣，矩陣的行列式等於其轉置的行列式。在第 $i$ 行展開得到 $\left|T\right|=t_{i,1}T_{i,1}+\dots \,+t_{i,n}T_{i,n}$ ，在第 $i$ 列展開得到 $\left|{{T}^{\rm {trans}}}\right|=t_{1,i}({{T}^{\rm {trans}}})_{1,i}+\dots +t_{n,i}({{T}^{\rm {trans}}})_{n,i}$ 由於 $(-1)^{i+j}=(-1)^{j+i}$ ，這兩個求和中的符號相同。由於 ${{T}^{\rm {trans}}}$ 的 $j,i$ 子式是 $T$ 的 $i,j$ 子式的轉置，歸納假設得到 $\left|({{T}^{\rm {trans}}})_{i,j}\right|=\left|T_{i,j}\right|$ 。

？問題 17

證明

F_{n}={\begin{vmatrix}1&-1&1&-1&1&-1&\ldots \\1&1&0&1&0&1&\ldots \\0&1&1&0&1&0&\ldots \\0&0&1&1&0&1&\ldots \\.&.&.&.&.&.&\ldots \end{vmatrix}}

其中 $F_{n}$ 是 $n$ 項 $1,1,2,3,5,\dots ,x,y,x+y,\ldots \,$ ，即斐波那契數列，行列式為 $n-1$ 階。(Walter & Tytun 1949)

解答

這是引用的文獻中給出的答案。

將上面的行列式記為 $D_{n}$ ，可以看到 $D_{2}=1$ ， $D_{3}=2$ 。現在需要證明 $D_{n}=D_{n-1}+D_{n-2},\;n\geq 4$ 。在 $D_{n}$ 中，將第 $(n-3)$ 列從第 $(n-1)$ 列中減去，第 $(n-4)$ 列從第 $(n-2)$ 列中減去，…，第一列從第三列中減去，得到

F_{n}={\begin{vmatrix}1&-1&0&0&0&0&\ldots \\1&1&-1&0&0&0&\ldots \\0&1&1&-1&0&0&\ldots \\0&0&1&1&-1&0&\ldots \\.&.&.&.&.&.&\ldots \end{vmatrix}}.

透過根據第一行展開這個行列式，得到我們想要的結論。

參考資料

Walter, Dan (proposer); Tytun, Alex (solver) (1949), "Elementary problem 834", American Mathematical Monthly, American Mathematical Society, 56 (6): 409.