線性代數/拉普拉斯展開

示例 1.1

在這個排列展開中

${\begin{array}{rl}{\begin{vmatrix}t_{1,1}&t_{1,2}&t_{1,3}\\t_{2,1}&t_{2,2}&t_{2,3}\\t_{3,1}&t_{3,2}&t_{3,3}\end{vmatrix}}&={\begin{aligned}&t_{1,1}t_{2,2}t_{3,3}{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}}+t_{1,1}t_{2,3}t_{3,2}{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{vmatrix}}\\&\quad +t_{1,2}t_{2,1}t_{3,3}{\begin{vmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{vmatrix}}+t_{1,2}t_{2,3}t_{3,1}{\begin{vmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{vmatrix}}\\&\quad +t_{1,3}t_{2,1}t_{3,2}{\begin{vmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{vmatrix}}+t_{1,3}t_{2,2}t_{3,1}{\begin{vmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{vmatrix}}\end{aligned}}\end{array}}$

例如，我們可以從第一行中分解出各個元素

${\begin{array}{rl}&=t_{1,1}\cdot \left[t_{2,2}t_{3,3}{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}}+t_{2,3}t_{3,2}{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{vmatrix}}\,\right]\\&\quad +t_{1,2}\cdot \left[t_{2,1}t_{3,3}{\begin{vmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{vmatrix}}+t_{2,3}t_{3,1}{\begin{vmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{vmatrix}}\,\right]\\&\quad +t_{1,3}\cdot \left[t_{2,1}t_{3,2}{\begin{vmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{vmatrix}}+t_{2,2}t_{3,1}{\begin{vmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{vmatrix}}\,\right]\end{array}}$

然後交換排列矩陣中的行以得到這個。

${\begin{array}{rl}&=t_{1,1}\cdot \left[t_{2,2}t_{3,3}{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}}+t_{2,3}t_{3,2}{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{vmatrix}}\,\right]\\&\quad -t_{1,2}\cdot \left[t_{2,1}t_{3,3}{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}}+t_{2,3}t_{3,1}{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{vmatrix}}\,\right]\\&\quad +t_{1,3}\cdot \left[t_{2,1}t_{3,2}{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}}+t_{2,2}t_{3,1}{\begin{vmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{vmatrix}}\,\right]\end{array}}$

交換的目的是（第二行中的每個排列矩陣進行一次交換，第三行中的每個進行兩次交換），使三行簡化為三項。

$=t_{1,1}\cdot {\begin{vmatrix}t_{2,2}&t_{2,3}\\t_{3,2}&t_{3,3}\end{vmatrix}}-t_{1,2}\cdot {\begin{vmatrix}t_{2,1}&t_{2,3}\\t_{3,1}&t_{3,3}\end{vmatrix}}+t_{1,3}\cdot {\begin{vmatrix}t_{2,1}&t_{2,2}\\t_{3,1}&t_{3,2}\end{vmatrix}}$

定理 1.5 中給出的公式將此示例推廣為一個**遞迴**——行列式表示為行列式的組合。由於此處行列式是用更小尺寸的矩陣的行列式來表示的，因此此公式並非迴圈的。

定義 1.2

對於任何 $n\!\times \!n$ 矩陣 $T$，透過刪除 $T$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列而形成的 $(n-1)\!\times \!(n-1)$ 矩陣是 $T$ 的 $i,j$ **子式**。 $T$ 的 $i,j$ **餘子式** $T_{i,j}$ 是 $(-1)^{i+j}$ 乘以 $T$ 的 $i,j$ 子式的行列式。

示例 1.3

來自 示例 1.1 的矩陣的 $1,2$ 餘子式是第二個 $2\!\times \!2$ 行列式的負值。

$T_{1,2}=-1\cdot {\begin{vmatrix}t_{2,1}&t_{2,3}\\t_{3,1}&t_{3,3}\end{vmatrix}}$

示例 1.4

其中

$T={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}$

這些是 $1,2$ 和 $2,2$ 的餘因子。

$T_{1,2}=(-1)^{1+2}\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}=6\qquad T_{2,2}=(-1)^{2+2}\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}=-12$

定理 1.5（拉普拉斯展開行列式）

其中 $T$ 是一個 $n\!\times \!n$ 矩陣，行列式可以透過在第 $i$ 行或第 $j$ 列展開餘因子來找到。

${\begin{array}{rl}\left|T\right|&=t_{i,1}\cdot T_{i,1}+t_{i,2}\cdot T_{i,2}+\cdots +t_{i,n}\cdot T_{i,n}\\&=t_{1,j}\cdot T_{1,j}+t_{2,j}\cdot T_{2,j}+\cdots +t_{n,j}\cdot T_{n,j}\end{array}}$

證明

問題 15.

示例 1.6

我們可以計算行列式

$\left|T\right|={\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}}$

透過沿第一行展開，就像在 示例 1.1 中一樣。

$\left|T\right|=1\cdot (+1){\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}+2\cdot (-1){\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+3\cdot (+1){\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}=-3+12-9=0$

或者，我們可以沿第二列展開。

$\left|T\right|=2\cdot (-1){\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+5\cdot (+1){\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}+8\cdot (-1){\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}=12-60+48=0$

示例 1.7

一行或一列中有很多零表明可以使用拉普拉斯展開。

${\begin{vmatrix}1&5&0\\2&1&1\\3&-1&0\end{vmatrix}}=0\cdot (+1){\begin{vmatrix}2&1\\3&-1\end{vmatrix}}+1\cdot (-1){\begin{vmatrix}1&5\\3&-1\end{vmatrix}}+0\cdot (+1){\begin{vmatrix}1&5\\2&1\end{vmatrix}}=16$

我們最後利用這個結果推匯出矩陣逆的新公式。根據定理 1.5，一個$n\!\times \!n$ 矩陣$T$ 的行列式可以透過取一行中每個元素與其對應的代數餘子式的線性組合來計算。

$t_{i,1}\cdot T_{i,1}+t_{i,2}\cdot T_{i,2}+\dots +t_{i,n}\cdot T_{i,n}=\left|T\right|\qquad (*)$

回想一下，具有兩行相同的矩陣的行列式為零。因此，對於任何矩陣$T$，用“錯誤”行的元素（即行$k$，且$k\neq i$）來對代數餘子式進行加權，會得到零

$t_{i,1}\cdot T_{k,1}+t_{i,2}\cdot T_{k,2}+\dots +t_{i,n}\cdot T_{k,n}=0\qquad (**)$

因為這表示的是對一個矩陣（其第$i$ 行等於第$k$ 行）的第 $k$ 行的拉普拉斯展開。這個等式總結了 ($*$) 和 ($**$）。

$\left({\begin{array}{cccc}t_{1,1}&t_{1,2}&\ldots &t_{1,n}\\t_{2,1}&t_{2,2}&\ldots &t_{2,n}\\&\vdots \\t_{n,1}&t_{n,2}&\ldots &t_{n,n}\end{array}}\right){\begin{pmatrix}T_{1,1}&T_{2,1}&\ldots &T_{n,1}\\T_{1,2}&T_{2,2}&\ldots &T_{n,2}\\&\vdots &&\\T_{1,n}&T_{2,n}&\ldots &T_{n,n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}|T|&0&\ldots &0\\0&|T|&\ldots &0\\&\vdots &&\\0&0&\ldots &|T|\end{pmatrix}}$

請注意，伴隨矩陣下標的順序與其他矩陣下標的順序相反；例如，在伴隨矩陣的第一行中，下標依次為 $1,1$ 然後 $2,1$，等等。

定義 1.8

方陣 $T$ 的 **伴隨矩陣** 為

${\text{adj}}\,(T)={\begin{pmatrix}T_{1,1}&T_{2,1}&\ldots &T_{n,1}\\T_{1,2}&T_{2,2}&\ldots &T_{n,2}\\&\vdots &&\\T_{1,n}&T_{2,n}&\ldots &T_{n,n}\end{pmatrix}}$

其中 $T_{j,i}$ 是 $j,i$ 伴隨子式。

定理 1.9

對於方陣 $T$，有 $T\cdot {\text{adj}}\,(T)={\text{adj}}\,(T)\cdot T=\left|T\right|\cdot I$.

證明

方程 ($*$) 和 ($**$).

例 1.10

如果

$T={\begin{pmatrix}1&0&4\\2&1&-1\\1&0&1\end{pmatrix}}$

那麼伴隨矩陣 ${\text{adj}}\,(T)$ 是

${\begin{pmatrix}T_{1,1}&T_{2,1}&T_{3,1}\\T_{1,2}&T_{2,2}&T_{3,2}\\T_{1,3}&T_{2,3}&T_{3,3}\end{pmatrix}}\!\!=\!\!{\begin{pmatrix}{\begin{vmatrix}1&-1\\0&1\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}0&4\\0&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}0&4\\1&-1\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}2&-1\\1&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&4\\1&1\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&4\\2&-1\end{vmatrix}}\\{\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&0\\1&0\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&0\\2&1\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}\!\!=\!{\begin{pmatrix}1&0&-4\\-3&-3&9\\-1&0&1\end{pmatrix}}$

並與 $T$ 相乘得到對角矩陣 $\left|T\right|\cdot I$.

${\begin{pmatrix}1&0&4\\2&1&-1\\1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&-4\\-3&-3&9\\-1&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3&0&0\\0&-3&0\\0&0&-3\end{pmatrix}}$

推論 1.11

如果 $\left|T\right|\neq 0$ 那麼 $T^{-1}=(1/\left|T\right|)\cdot {\text{adj}}\,(T)$.

例 1.12

來自例 1.10的矩陣的逆矩陣是$(1/-3)\cdot {\text{adj}}\,(T)$.

$T^{-1}={\begin{pmatrix}1/-3&0/-3&-4/-3\\-3/-3&-3/-3&9/-3\\-1/-3&0/-3&1/-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1/3&0&4/3\\1&1&-3\\1/3&0&-1/3\end{pmatrix}}$

本節中的公式通常用於手工計算，有時對特殊型別的矩陣很有用。然而，它們不是用於任意矩陣計算的最佳選擇，因為它們需要的算術運算比例如高斯-約旦方法多。

習題

本練習推薦所有讀者完成。

問題 1

求餘子式。

$T={\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&1&3\\0&2&-1\end{pmatrix}}$

1. $T_{2,3}$
2. $T_{3,2}$
3. $T_{1,3}$

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問題 2

透過展開求行列式

${\begin{vmatrix}3&0&1\\1&2&2\\-1&3&0\end{vmatrix}}$

1. 在第一行
2. 在第二行
3. 在第三列。

問題 3

求例 1.6中矩陣的伴隨矩陣。

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問題 4

求每個矩陣的伴隨矩陣。

1. ${\begin{pmatrix}2&1&4\\-1&0&2\\1&0&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}3&-1\\2&4\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&1\\5&0\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}1&4&3\\-1&0&3\\1&8&9\end{pmatrix}}$

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問題 5

使用定理 1.9求上一個問題中每個矩陣的逆矩陣。

問題 6

求這個矩陣的伴隨矩陣。

${\begin{pmatrix}2&1&0&0\\1&2&1&0\\0&1&2&1\\0&0&1&2\end{pmatrix}}$

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問題 7

展開第一行以推匯出 $2\!\times \!2$ 矩陣行列式的公式。

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問題 8

展開第一行以推匯出 $3\!\times \!3$ 矩陣行列式的公式。

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問題 9

1. 給出 $2\!\times \!2$ 矩陣伴隨矩陣的公式。
2. 用它來推匯出逆矩陣的公式。

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問題 10

我們能否透過展開對角線來計算行列式？

問題 11

給出對角矩陣的伴隨矩陣的公式。

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問題 12

證明伴隨矩陣的轉置等於轉置矩陣的伴隨矩陣。

問題 13

證明或反駁：${\text{adj}}\,({\text{adj}}\,(T))=T$.

問題 14

如果一個方陣是上三角矩陣，那麼它的每個 $i,j$ 元素在對角線以上的部分都是零，也就是說，當 $i>j$ 時。

1. 上三角矩陣的伴隨矩陣必須是上三角矩陣嗎？下三角矩陣嗎？
2. 證明如果存在逆矩陣，則上三角矩陣的逆矩陣是上三角矩陣。

問題 15

這個問題需要可選的“行列式存在性”小節中的內容。 使用排列展開來證明定理 1.5。

問題 16

使用拉普拉斯展開和矩陣大小的歸納法，證明矩陣的行列式等於其轉置的行列式。

? 問題 17

證明

$F_{n}={\begin{vmatrix}1&-1&1&-1&1&-1&\ldots \\1&1&0&1&0&1&\ldots \\0&1&1&0&1&0&\ldots \\0&0&1&1&0&1&\ldots \\.&.&.&.&.&.&\ldots \end{vmatrix}}$

其中 $F_{n}$ 是 $n$ 階 $1,1,2,3,5,\dots ,x,y,x+y,\ldots \,$，即斐波那契數列的項，行列式是 $n-1$ 階。（Walter & Tytun 1949）

解答

參考文獻

• Walter, Dan (proposer); Tytun, Alex (solver) (1949), "Elementary problem 834", American Mathematical Monthly, American Mathematical Society, 56 (6): 409.