線性代數/主題：克萊姆法則

線性代數
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我們已經透過尋找一個判斷矩陣是否非奇異的公式，以代數方式引入了行列式函式。在此介紹之後，我們看到了一個幾何解釋，即行列式函式給出了由矩陣的列形成的盒子的尺寸。本主題建立了這兩種觀點之間的聯絡。

首先，一個線性系統

{\begin{array}{*{2}{rc}r}x_{1}&+&2x_{2}&=&6\\3x_{1}&+&x_{2}&=&8\end{array}}

等價於向量之間的線性關係。

x_{1}\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}+x_{2}\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6\\8\end{pmatrix}}

下圖顯示了一個平行四邊形，其邊由 ${\binom {1}{3}}$ 和 ${\binom {2}{1}}$ 形成，巢狀在一個由 $x_{1}{\binom {1}{3}}$ 和 $x_{2}{\binom {2}{1}}$ 形成的邊組成的平行四邊形內部。

因此，即使沒有行列式，我們也可以用幾何術語來陳述本書開頭提出的代數問題，即找到線性系統的解：我們需要將向量擴大多少倍 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，才能將小平行四邊形膨脹以填充較大的平行四邊形？

然而，透過利用行列式的幾何意義，我們可以得到一些不僅僅是重述的東西，它也為我們提供了新的見解，有時還可以讓我們快速計算答案。比較這些陰影框的大小。

第二個盒子由 $x_{1}{\binom {1}{3}}$ 和 ${\binom {2}{1}}$ 構成，尺寸函式（即行列式）的一個性質是，其尺寸因此是第一個盒子的尺寸的 $x_{1}$ 倍。由於第三個盒子由 $x_{1}{\binom {1}{3}}+x_{2}{\binom {2}{1}}={\binom {6}{8}}$ 和 ${\binom {2}{1}}$ 構成，並且透過將第二列的 $x_{2}$ 倍加到第一列，行列式不變，因此第三個盒子的尺寸等於第二個盒子的尺寸。我們有以下結果。

{\begin{vmatrix}6&2\\8&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x_{1}\cdot 1&2\\x_{1}\cdot 3&1\end{vmatrix}}=x_{1}\cdot {\begin{vmatrix}1&2\\3&1\end{vmatrix}}

求解得到其中一個變數的值。

x_{1}={\frac {\begin{vmatrix}6&2\\8&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&2\\3&1\end{vmatrix}}}={\frac {-10}{-5}}=2

將這個例子推廣得到的定理，即 **克萊姆法則 (Cramer's Rule)**，如下：如果 $\left|A\right|\neq 0$ ，則系統 $A{\vec {x}}={\vec {b}}$ 有唯一的解 $x_{i}=\left|B_{i}\right|/\left|A\right|$ ，其中矩陣 $B_{i}$ 由 $A$ 將第 $i$ 列替換為向量 ${\vec {b}}$ 得到。習題 3 要求證明該法則。