線性代數/主題：克拉默法則/解

解

問題 1

使用克拉默法則求解每個變數的值。

1. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&-&y&=&4\\-x&+&2y&=&-7\end{array}}$
2. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}-2x&+&y&=&-2\\x&-&2y&=&-2\end{array}}$

答案

1. $x=1$, $y=-3$
2. $x=-2$, $y=-2$

問題 2

使用克拉默法則求解這個系統關於 $z$ 的解。

${\begin{array}{*{4}{rc}r}2x&+&y&+&z&=&1\\3x&&&+&z&=&4\\x&-&y&-&z&=&2\end{array}}$

答案

$z=1$

問題 3

證明克拉默法則。

答案

行列式在經過任何型別的旋轉操作後都不會改變，包括列旋轉。因此，$\det(B_{i})=\det({\vec {a}}_{1},\dots ,x_{1}{\vec {a}}_{1}+\dots +x_{i}{\vec {a}}_{i}+\dots +x_{n}{\vec {a}}_{n},\dots ,{\vec {a}}_{n})$ 等於 $\det({\vec {a}}_{1},\dots ,x_{i}{\vec {a}}_{i},\dots ,{\vec {a}}_{n})$ （使用將第一列乘以 $-x_{1}$ 並加到第 $i$ 列的操作，依此類推）。這等於 $x_{i}\cdot \det({\vec {a}}_{1},\dots ,{\vec {a}}_{i},\dots ,{\vec {a}}_{n})=x_{i}\cdot \det(A)$，如所要求的那樣。

問題 4

假設一個線性系統擁有與未知數數量相同的方程式，並且所有係數和常數都是整數，並且其係數矩陣的行列式為 $1$。證明解中的所有元素都是整數。（備註： 這經常用於為練習設計線性系統。如果講師使用這個屬性構建線性系統，那麼解就不會是令人不快的分數。）

答案

因為 $A$ 的行列式非零，因此可以使用克萊姆法則。克萊姆法則表明 $x_{i}=\left|B_{i}\right|/1$。由於 $B_{i}$ 是一個整數矩陣，其行列式也是一個整數。

問題 5

使用克萊姆法則給出二元一次方程組解的公式。

答案

方程組

${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+by&=&e\\cx&+dy&=&f\end{array}}$

的解是

$x={\frac {ed-fb}{ad-bc}}\qquad y={\frac {af-ec}{ad-bc}}$

當然，前提是分母不為零。

問題 6

克萊姆法則可以區分無解和無窮多解的線性方程組嗎？

答案

當然，奇異矩陣的行列式 |A| 等於零，但是無窮多解的情況的特徵是所有 |B_i| 也等於零。

問題 7

本主題中的第一張圖片（沒有使用行列式的圖片）展示了唯一解的情況。為無窮多解的情況和無解的情況繪製類似的圖片。

答案

我們可以一起考慮這兩個非奇異情況，以及這個系統

${\begin{array}{*{2}{rc}r}x_{1}&+&2x_{2}&=&6\\x_{1}&+&2x_{2}&=&c\end{array}}$

當然，當 $c=6$ 時，它有無窮多個解；而當 $c$ 等於其他任何值時，它無解。相應的向量方程

$x_{1}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+x_{2}\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6\\c\end{pmatrix}}$

給出了兩個重疊向量的影像。它們都位於直線 $y=x$ 上。在 $c=6$ 的情況下，右邊的向量也位於直線 $y=x$ 上，但在其他情況下，它不在上面。