線性代數/長度和角度測量/解答

解答

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問題 1

求每個向量的長度。

1. ${\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\0\end{pmatrix}}$

解答

1. ${\sqrt {3^{2}+1^{2}}}={\sqrt {10}}$
2. ${\sqrt {5}}$
3. ${\sqrt {18}}$
4. $0$
5. ${\sqrt {3}}$

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問題 2

求每對向量之間的夾角，如果定義的話。

1. ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\4\\1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\\-1\end{pmatrix}}$

解答

1. $\arccos(9/{\sqrt {85}})\approx 0.22{\text{ radians}}$
2. $\arccos(8/{\sqrt {85}})\approx 0.52{\text{ radians}}$
3. 未定義。

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問題 3

在日德蘭海戰前的演習中，英國戰列巡洋艦 *獅* 號的移動路線如下（以海里計）：$1.2$ 海里向北，$6.1$ 海里$38$ 度東偏南，$4.0$ 海里$89$ 度東偏北，以及$6.5$ 海里$31$ 度東偏北。求出起始位置和結束位置之間的距離（O'Hanian 1985）。

解答

我們將每個位移表示為向量（四捨五入到小數點後一位，因為這與問題的陳述精度一致），然後相加求出總位移（忽略地球曲率）。

${\begin{pmatrix}0.0\\1.2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3.8\\-4.8\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}4.0\\0.1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3.3\\5.6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}11.1\\2.1\end{pmatrix}}$

距離為${\sqrt {11.1^{2}+2.1^{2}}}\approx 11.3$。

問題 4

求解 $k$ 的值，使得這兩個向量垂直。

${\begin{pmatrix}k\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}$

解答

解方程 $(k)(4)+(1)(3)=0$ 可得 $k=-3/4$。

問題 5

描述 $\mathbb {R} ^{3}$ 中與該向量正交的向量集合。

${\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}}$

解答

集合

$\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,1x+3y-1z=0\}$

也可以用引數的方式描述。

$\{{\begin{pmatrix}-3\\1\\0\end{pmatrix}}y+{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,y,z\in \mathbb {R} \}$

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問題 6

1. 求 $\mathbb {R} ^{2}$ 中單位正方形的對角線與其中一條軸之間的夾角。
2. 求 $\mathbb {R} ^{3}$ 中單位立方體對角線與其中一條軸之間的夾角。
3. 求 $\mathbb {R} ^{n}$ 中單位立方體對角線與其中一條軸之間的夾角。
4. 當 $n$ 趨於 $\infty$ 時，$\mathbb {R} ^{n}$ 中單位立方體對角線與其中一條軸之間的夾角的極限是多少？

解答

1. 我們可以使用 $x$ 軸。

   $\arccos({\frac {(1)(1)+(0)(1)}{{\sqrt {1}}{\sqrt {2}}}})\approx 0.79{\text{radians}}$

2. 再次使用 $x$ 軸。

   $\arccos({\frac {(1)(1)+(0)(1)+(0)(1)}{{\sqrt {1}}{\sqrt {3}}}})\approx 0.96{\text{radians}}$

3. $x$ 軸之前有效，現在仍然有效。

   $\arccos({\frac {(1)(1)+\cdots +(0)(1)}{{\sqrt {1}}{\sqrt {n}}}})=\arccos({\frac {1}{\sqrt {n}}})$

4. 根據上一條中的公式，$\lim _{n\to \infty }\arccos(1/{\sqrt {n}})=\pi /2{\text{ radians}}$.

問題 7

是否存在任何向量與其自身垂直？

解答

顯然，$u_{1}u_{1}+\cdots +u_{n}u_{n}$ 等於零當且僅當每個 $u_{i}$ 等於零。所以只有 ${\vec {0}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 與自身垂直。

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問題 8

描述點積的代數性質。

1. 它是否對加法右分配律：$({\vec {u}}+{\vec {v}})\cdot {\vec {w}}={\vec {u}}\cdot {\vec {w}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {w}}$ ?
2. 它是否對加法左分配律？
3. 它是否可交換？
4. 是否滿足結合律？
5. 它如何與標量乘法互動？

與往常一樣，任何斷言都必須用證明或例子來支援。

解答

假設 ${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 的分量為 $u_{1},\ldots ,u_{n},v_{1},\ldots ,w_{n}$。

1. 點積對加法右分配律。

   ${\begin{array}{rl}({\vec {u}}+{\vec {v}})\cdot {\vec {w}}&=[{\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}]\cdot {\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}u_{1}+v_{1}\\\vdots \\u_{n}+v_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}\\&=(u_{1}+v_{1})w_{1}+\cdots +(u_{n}+v_{n})w_{n}\\&=(u_{1}w_{1}+\cdots +u_{n}w_{n})+(v_{1}w_{1}+\cdots +v_{n}w_{n})\\&={\vec {u}}\cdot {\vec {w}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {w}}\end{array}}$

2. 點積也滿足左分配律：${\vec {w}}\cdot ({\vec {u}}+{\vec {v}})={\vec {w}}\cdot {\vec {u}}+{\vec {w}}\cdot {\vec {v}}$。證明與前一個類似。
3. 點積滿足交換律。

   ${\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=u_{1}v_{1}+\cdots +u_{n}v_{n}=v_{1}u_{1}+\cdots +v_{n}u_{n}={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}$

4. 由於 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$ 是一個標量，而不是一個向量，表示式 $({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})\cdot {\vec {w}}$ 沒有意義；標量和向量之間的點積沒有定義。
5. 這是一個模糊的問題，所以有很多答案。一些是 (1) $k({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})=(k{\vec {u}})\cdot {\vec {v}}$ 和 $k({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})={\vec {u}}\cdot (k{\vec {v}})$，(2) $k({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})\neq (k{\vec {u}})\cdot (k{\vec {v}})$（一般情況下；很容易找到一個例子），以及 (3) $|k{\vec {v}}\,|=|k||{\vec {v}}\,|$（範數和點積之間的關係是範數的平方等於向量與其自身的點積）。

問題 9

驗證 推論 2.6，柯西-施瓦茨不等式中的等式條件。

1. 證明如果 ${\vec {u}}$ 是 ${\vec {v}}$ 的負數倍，那麼 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$ 和 ${\vec {v}}\cdot {\vec {u}}$ 都小於或等於零。
2. 證明 $|{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}|=|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|$ 當且僅當其中一個向量是另一個向量的標量倍數。

解答

1. 驗證$(k{\vec {x}})\cdot {\vec {y}}=k({\vec {x}}\cdot {\vec {y}})={\vec {x}}\cdot (k{\vec {y}})$ 對於$k\in \mathbb {R}$ 且 ${\vec {x}},{\vec {y}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 很容易。現在，對於 $k\in \mathbb {R}$ 且 ${\vec {v}},{\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{n}$，如果 ${\vec {u}}=k{\vec {v}}$ 那麼 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=(k{\vec {v}})\cdot {\vec {v}}=k({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})$，它是一個非負實數的 $k$ 倍。 ${\vec {v}}=k{\vec {u}}$ 的情況類似（實際上，將本段中的 $k$ 視為上面 $k$ 的倒數，可以得出我們只需要關注 $k=0$ 的情況）。
2. 我們首先考慮 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\geq 0$ 的情況。根據三角不等式，我們知道 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|$ 當且僅當一個向量是另一個向量的非負標量倍數。但這正是我們需要的，因為本練習的第一部分表明，在兩個向量的點積為正的情況下，兩個語句“一個向量是另一個向量的標量倍數”和“一個向量是另一個向量的非負標量倍數”是等價的。最後，我們考慮 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}<0$ 的情況。因為 $0<|{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}|=-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})=(-{\vec {u}})\cdot {\vec {v}}$ 且 $|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|=|-{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|$，我們有 $0<(-{\vec {u}})\cdot {\vec {v}}=|-{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|$。現在，前一段適用於給出兩個向量之一 $-{\vec {u}}$ 和 ${\vec {v}}$ 是另一個向量的標量倍數。但這等價於斷言兩個向量之一 ${\vec {u}}$ 和 ${\vec {v}}$ 是另一個向量的標量倍數，如預期的那樣。

問題 10

假設${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}={\vec {u}}\cdot {\vec {w}}$ 且${\vec {u}}\neq {\vec {0}}$。必須${\vec {v}}={\vec {w}}$ 嗎？

解答

不。這些給出一個例子。

${\vec {u}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\quad {\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\quad {\vec {w}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$

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問題 11

除了零向量之外，還有其他向量長度為零嗎？（如果是“是”，請給出例子。如果是“否”，請證明。）

解答

我們證明一個向量長度為零當且僅當它的所有分量都為零。

令${\vec {u}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 的分量為$u_{1},\ldots ,u_{n}$。回想一下，任何實數的平方都大於或等於零，當且僅當該實數為零時等式成立。因此$|{\vec {u}}\,|^{2}={u_{1}}^{2}+\cdots +{u_{n}}^{2}$ 是大於或等於零的數字之和，因此它本身也大於或等於零，當且僅當每個$u_{i}$ 為零時等式成立。因此$|{\vec {u}}\,|=0$ 當且僅當${\vec {u}}$ 的所有分量都為零。

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問題 12

在$\mathbb {R} ^{2}$ 中，求連線$(x_{1},y_{1})$ 與$(x_{2},y_{2})$ 的線段的中點。推廣到$\mathbb {R} ^{n}$。

解答

我們可以很容易地驗證

${\bigl (}{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}{\bigr )}$

位於連線兩點的直線上，並且與兩點等距。推廣是顯而易見的。

問題 13

證明如果${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$，那麼${\vec {v}}/|{\vec {v}}\,|$的長度為 1。如果${\vec {v}}={\vec {0}}$ 會怎樣？

解答

假設${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 的分量是 $v_{1},\ldots ,v_{n}$。如果 ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$，那麼我們有這個。

${\sqrt {\left({\frac {v_{1}}{\sqrt {{v_{1}}^{2}+\cdots +{v_{n}}^{2}}}}\right)^{2}+\dots +\left({\frac {v_{n}}{\sqrt {{v_{1}}^{2}+\cdots +{v_{n}}^{2}}}}\right)^{2}}}$

${\begin{aligned}&={\sqrt {\left({\frac {{v_{1}}^{2}}{{v_{1}}^{2}+\cdots +{v_{n}}^{2}}}\right)+\dots +\left({\frac {{v_{n}}^{2}}{{v_{1}}^{2}+\cdots +{v_{n}}^{2}}}\right)}}\\&=1\end{aligned}}$

如果${\vec {v}}={\vec {0}}$，那麼${\vec {v}}/|{\vec {v}}\,|$ 沒有定義。

問題 14

證明如果$r\geq 0$，則$r{\vec {v}}$ 的長度是$r$ 倍於${\vec {v}}$。如果$r<0$ 會怎樣？

解答

對於第一個問題，假設${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 且$r\geq 0$，求平方根並分解。

$|r{\vec {v}}\,|={\sqrt {(rv_{1})^{2}+\cdots +(rv_{n})^{2}}}={\sqrt {r^{2}({v_{1}}^{2}+\cdots +{v_{n}}^{2}}}=r|{\vec {v}}\,|$

對於第二個問題，結果仍然是$r$ 倍的長度，但方向相反，因為$r{\vec {v}}+(-r){\vec {v}}={\vec {0}}$。

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問題 15

長度為一的向量${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 被稱為 **單位** 向量。證明兩個單位向量的點積的絕對值小於等於一。 “小於”情況可能出現嗎？ “等於”情況可能出現嗎？

解答

假設${\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 的長度都為$1$。應用柯西-施瓦茲不等式：$|{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}|\leq |{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|=1$.

為了看到 “小於” 可以發生，在$\mathbb {R} ^{2}$ 中取

${\vec {u}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {v}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

並注意到${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=0$。對於 “等於”，注意到${\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=1$.

問題 16

證明$|{\vec {u}}+{\vec {v}}\,|^{2}+|{\vec {u}}-{\vec {v}}\,|^{2}=2|{\vec {u}}\,|^{2}+2|{\vec {v}}\,|^{2}.$

解答

寫出

${\vec {u}}={\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\qquad {\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}$

然後這個計算過程就成立了。

${\begin{array}{rl}|{\vec {u}}+{\vec {v}}\,|^{2}+|{\vec {u}}-{\vec {v}}\,|^{2}&=(u_{1}+v_{1})^{2}+\cdots +(u_{n}+v_{n})^{2}\\&\quad +(u_{1}-v_{1})^{2}+\cdots +(u_{n}-v_{n})^{2}\\&={u_{1}}^{2}+2u_{1}v_{1}+{v_{1}}^{2}+\cdots +{u_{n}}^{2}+2u_{n}v_{n}+{v_{n}}^{2}\\&\quad +{u_{1}}^{2}-2u_{1}v_{1}+{v_{1}}^{2}+\cdots +{u_{n}}^{2}-2u_{n}v_{n}+{v_{n}}^{2}\\&=2({u_{1}}^{2}+\cdots +{u_{n}}^{2})+2({v_{1}}^{2}+\cdots +{v_{n}}^{2})\\&=2|{\vec {u}}\,|^{2}+2|{\vec {v}}\,|^{2}\end{array}}$

問題 17

證明如果對於任意 ${\vec {y}}$ 都有 ${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=0$，那麼 ${\vec {x}}={\vec {0}}$.

解答

我們將透過證明逆否命題來證明：如果 ${\vec {x}}\neq {\vec {0}}$，那麼存在一個 ${\vec {y}}$ 使得 ${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}\neq 0$.

假設 ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$。如果 ${\vec {x}}\neq {\vec {0}}$，那麼它有一個非零分量，假設是第 $i$ 個分量 $x_{i}$。但向量 ${\vec {y}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 除了第 $i$ 個分量為 1，其他分量均為 0，則有 ${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=x_{i}$。（一個更簡潔的證明只需要考慮 ${\vec {x}}\cdot {\vec {x}}$。）

問題 18

是否 $|{\vec {u}}_{1}+\cdots +{\vec {u}}_{n}|\leq |{\vec {u}}_{1}|+\cdots +|{\vec {u}}_{n}|$？如果為真，那麼它將推廣三角不等式。

解答

是的；我們可以透過歸納法證明這一點。

假設這些向量在某個 $\mathbb {R} ^{k}$ 中。顯然，該陳述適用於一個向量。三角不等式就是將該陳述應用於兩個向量。為了進行歸納步驟，假設該陳述對 $n$ 個或更少的向量成立。那麼

$|{\vec {u}}_{1}+\cdots +{\vec {u}}_{n}+{\vec {u}}_{n+1}|\leq |{\vec {u}}_{1}+\cdots +{\vec {u}}_{n}|+|{\vec {u}}_{n+1}|$

接著是兩個向量的三角不等式。現在，歸納假設應用於右側的第一個加數，得到它小於或等於$|{\vec {u}}_{1}|+\cdots +|{\vec {u}}_{n}|+|{\vec {u}}_{n+1}|$.

問題 19

柯西-施瓦茨不等式中兩邊之比是多少？

解答

根據定義

${\frac {{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|}}=\cos \theta$

其中$\theta$ 是向量之間的夾角。因此，該比率為$|\cos \theta |$.

問題 20

為什麼零向量被定義為垂直於每個向量？

解答

這樣“向量正交當且僅當它們的點積為零”這一說法就不會有任何例外。

問題 21

描述$\mathbb {R} ^{1}$ 中兩個向量之間的夾角。

解答

找到$(a)$ 和$(b)$ 之間的夾角（對於$a,b\neq 0$)，使用

$\arccos({\frac {ab}{{\sqrt {a^{2}}}{\sqrt {b^{2}}}}}).$

如果 $a$ 或 $b$ 為零，則該角度為 $\pi /2$ 弧度。否則，如果 $a$ 和 $b$ 符號相反，則該角度為 $\pi$ 弧度，否則該角度為零弧度。

問題 22

給出判定兩個向量之間夾角為銳角、直角或鈍角的簡單充要條件。

解答

向量 ${\vec {u}}$ 和 ${\vec {v}}$ 之間的夾角為銳角，當且僅當 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}>0$；為直角，當且僅當 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=0$；為鈍角，當且僅當 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}<0$。這是因為，在夾角公式中，分母始終是非負的。

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問題 23

將勾股定理的逆定理推廣到 $\mathbb {R} ^{n}$，即如果 ${\vec {u}}$ 和 ${\vec {v}}$ 垂直，則 $|{\vec {u}}+{\vec {v}}\,|^{2}=|{\vec {u}}\,|^{2}+|{\vec {v}}\,|^{2}$.

解答

假設 ${\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$。如果 ${\vec {u}}$ 和 ${\vec {v}}$ 垂直，則

$|{\vec {u}}+{\vec {v}}\,|^{2}=({\vec {u}}+{\vec {v}})\cdot ({\vec {u}}+{\vec {v}})={\vec {u}}\cdot {\vec {u}}+2\,{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}={\vec {u}}\cdot {\vec {u}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}=|{\vec {u}}\,|^{2}+|{\vec {v}}\,|^{2}$

(第三個等式成立是因為 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=0$).

問題 24

證明當且僅當 ${\vec {u}}+{\vec {v}}$ 和 ${\vec {u}}-{\vec {v}}$ 垂直時，$|{\vec {u}}\,|=|{\vec {v}}\,|$。在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中給出一個例子。

解答

當 ${\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 時，向量 ${\vec {u}}+{\vec {v}}$ 和 ${\vec {u}}-{\vec {v}}$ 垂直，當且僅當 $0=({\vec {u}}+{\vec {v}})\cdot ({\vec {u}}-{\vec {v}})={\vec {u}}\cdot {\vec {u}}-{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}$，這表明它們垂直，當且僅當 ${\vec {u}}\cdot {\vec {u}}={\vec {v}}\cdot {\vec {v}}$。這成立，當且僅當 $|{\vec {u}}\,|=|{\vec {v}}\,|$。

問題 25

證明如果一個向量垂直於另外兩個向量中的每一個，那麼它垂直於這兩個向量生成的平面上每一個向量。（注：它們可能生成一個退化的平面——一條線或一個點——但該陳述仍然成立。）

解答

假設 ${\vec {u}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 垂直於 ${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 和 ${\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{n}$。那麼，對於任何 $k,m\in \mathbb {R}$，我們有以下。

${\vec {u}}\cdot (k{\vec {v}}+m{\vec {w}})=k({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})+m({\vec {u}}\cdot {\vec {w}})=k(0)+m(0)=0$

問題 26

證明，當${\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 是非零向量時，向量

${\frac {\vec {u}}{|{\vec {u}}\,|}}+{\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}\,|}}$

平分它們之間的夾角。在$\mathbb {R} ^{2}$ 中說明。

解答

我們將展示更一般的東西：如果$|{\vec {z}}_{1}|=|{\vec {z}}_{2}|$ 對於${\vec {z}}_{1},{\vec {z}}_{2}\in \mathbb {R} ^{n}$，那麼${\vec {z}}_{1}+{\vec {z}}_{2}$ 平分${\vec {z}}_{1}$ 和 ${\vec {z}}_{2}$ 之間的夾角

(我們忽略${\vec {z}}_{1}$ 和${\vec {z}}_{2}$ 為零向量的情況)。

當${\vec {z}}_{1}+{\vec {z}}_{2}={\vec {0}}$ 的情況很簡單。對於其他情況，根據角的定義，如果我們證明了這一點，我們就完成了。

${\frac {{\vec {z}}_{1}\cdot ({\vec {z}}_{1}+{\vec {z}}_{2})}{|{\vec {z}}_{1}|\,|{\vec {z}}_{1}+{\vec {z}}_{2}|}}={\frac {{\vec {z}}_{2}\cdot ({\vec {z}}_{1}+{\vec {z}}_{2})}{|{\vec {z}}_{2}|\,|{\vec {z}}_{1}+{\vec {z}}_{2}|}}$

但將每個表示式內的項展開後得到

${\frac {{\vec {z}}_{1}\cdot {\vec {z}}_{1}+{\vec {z}}_{1}\cdot {\vec {z}}_{2}}{|{\vec {z}}_{1}|\,|{\vec {z}}_{1}+{\vec {z}}_{2}|}}\qquad {\frac {{\vec {z}}_{2}\cdot {\vec {z}}_{1}+{\vec {z}}_{2}\cdot {\vec {z}}_{2}}{|{\vec {z}}_{2}|\,|{\vec {z}}_{1}+{\vec {z}}_{2}|}}$

以及 ${\vec {z}}_{1}\cdot {\vec {z}}_{1}=|{\vec {z}}_{1}|^{2}=|{\vec {z}}_{2}|^{2}={\vec {z}}_{2}\cdot {\vec {z}}_{2}$，因此這兩個表示式相等。

問題 27

驗證角度定義的維度是否正確：(1) 如果 $k>0$，則 $k{\vec {u}}$ 和 ${\vec {v}}$ 之間的夾角的餘弦等於 ${\vec {u}}$ 和 ${\vec {v}}$ 之間的夾角的餘弦，(2) 如果 $k<0$，則 $k{\vec {u}}$ 和 ${\vec {v}}$ 之間的夾角的餘弦是 ${\vec {u}}$ 和 ${\vec {v}}$ 之間夾角餘弦的負值。

解答

我們可以一起證明這兩個命題。令 ${\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$，寫成

${\vec {u}}={\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\qquad {\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}$

並計算。

$\cos \theta ={\frac {ku_{1}v_{1}+\cdots +ku_{n}v_{n}}{{\sqrt {{(ku_{1})}^{2}+\cdots +{(ku_{n})}^{2}}}{\sqrt {{b_{1}}^{2}+\cdots +{b_{n}}^{2}}}}}={\frac {k}{|k|}}{\frac {{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|}}=\pm {\frac {{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|}}$

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習題 28

證明內積運算的線性：對於 ${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 以及 $k,m\in \mathbb {R}$，${\vec {u}}\cdot (k{\vec {v}}+m{\vec {w}})=k({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})+m({\vec {u}}\cdot {\vec {w}})$.

解答

設

${\vec {u}}={\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}},\quad {\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\quad {\vec {w}}={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}$

然後

${\begin{array}{rl}{\vec {u}}\cdot {\bigl (}k{\vec {v}}+m{\vec {w}}{\bigr )}&={\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\bigl (}{\begin{pmatrix}kv_{1}\\\vdots \\kv_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}mw_{1}\\\vdots \\mw_{n}\end{pmatrix}}{\bigr )}\\&={\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}kv_{1}+mw_{1}\\\vdots \\kv_{n}+mw_{n}\end{pmatrix}}\\&=u_{1}(kv_{1}+mw_{1})+\cdots +u_{n}(kv_{n}+mw_{n})\\&=ku_{1}v_{1}+mu_{1}w_{1}+\cdots +ku_{n}v_{n}+mu_{n}w_{n}\\&=(ku_{1}v_{1}+\cdots +ku_{n}v_{n})+(mu_{1}w_{1}+\cdots +mu_{n}w_{n})\\&=k({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})+m({\vec {u}}\cdot {\vec {w}})\end{array}}$

如所需。

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問題 29

兩個正實數 $x,y$ 的幾何平均數是 ${\sqrt {xy}}$。它類似於算術平均數 $(x+y)/2$。使用柯西-施瓦茨不等式證明任意 $x,y\in \mathbb {R}$ 的幾何平均數小於或等於算術平均數。

解答

對於 $x,y\in \mathbb {R} ^{+}$，設

${\vec {u}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {x}}\\{\sqrt {y}}\end{pmatrix}}\qquad {\vec {v}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {y}}\\{\sqrt {x}}\end{pmatrix}}$

因此柯西-施瓦茨不等式斷言（平方後）

${\begin{array}{rl}({\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {x}})^{2}&\leq ({\sqrt {x}}{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {y}})({\sqrt {y}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {x}}{\sqrt {x}})\\(2{\sqrt {x}}{\sqrt {y}})^{2}&\leq (x+y)^{2}\\{\sqrt {xy}}&\leq {\frac {x+y}{2}}\end{array}}$

如預期。

? 問題 30

一艘船以速度和方向 ${\vec {v}}_{1}$ 航行；風似乎（根據桅杆上的風向標判斷）沿著向量 ${\vec {a}}$ 的方向吹；當船的速度和方向從 ${\vec {v}}_{1}$ 改變為 ${\vec {v}}_{2}$ 時，風向沿著向量 ${\vec {b}}$ 的方向。

求風的向量速度（Ivanoff & Esty 1933）。

解答

引用的資料中是這樣給出的答案。

風的實際速度 ${\vec {v}}$ 是船速和風速的向量和。不妨假設 ${\vec {a}}$ 和 ${\vec {b}}$ 為單位向量，可以寫成

${\vec {v}}={\vec {v}}_{1}+s{\vec {a}}={\vec {v}}_{2}+t{\vec {b}}$

其中 $s$ 和 $t$ 是待定的標量。首先用 ${\vec {a}}$ 求點積，然後用 ${\vec {b}}$ 求點積，得到

${\begin{array}{rl}s-t{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}&={\vec {a}}\cdot ({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}_{1})\\s{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}-t&={\vec {b}}\cdot ({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}_{1})\end{array}}$

用 ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$ 乘以第二個方程，將結果從第一個方程中減去，得到

$s={\frac {[{\vec {a}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}){\vec {b}}]\cdot ({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}_{1})}{1-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2}}}.$

將 s 代入原始的顯示方程，得到

${\vec {v}}={\vec {v}}_{1}+{\frac {[{\vec {a}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}){\vec {b}}]\cdot ({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}_{1}){\vec {a}}}{1-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2}}}.$

問題 31

首先證明拉格朗日恆等式，驗證柯西-施瓦茨不等式

${\displaystyle \left(\sum _{1\leq j\leq n}a_{j}b_{j}\right)^{2}=\left(\sum _{1\leq j\leq n}a_{j}^{2}\right)\left(\sum _{1\leq j\leq n}b_{j}^{2}\right)-\sum _{1\leq k$

然後注意到最後一項是正數。（回顧一下

$\sum _{1\leq j\leq n}a_{j}b_{j}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$

和

$\sum _{1\leq j\leq n}{a_{j}}^{2}={a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+\cdots +{a_{n}}^{2}$

的 $\Sigma$ 符號。）這個結果是對柯西-施瓦茨不等式的改進，因為它給出了兩邊差的公式。用 $\mathbb {R} ^{2}$ 解釋這個差異。

解答

我們對 $n$ 使用數學歸納法。

在 $n=1$ 的基本情況下，等式簡化為

$(a_{1}b_{1})^{2}=({a_{1}}^{2})({b_{1}}^{2})-0$

很明顯成立。

對於歸納步驟，假設公式對於 $0$，...， $n$ 的情況成立。我們將證明它在 $n+1$ 的情況下也成立。從等式的右邊開始

${\bigl (}\sum _{1\leq j\leq n+1}{a_{j}}^{2}{\bigr )}{\bigl (}\sum _{1\leq j\leq n+1}{b_{j}}^{2}{\bigr )}-\sum _{1\leq k<j\leq n+1}{\bigl (}a_{k}b_{j}-a_{j}b_{k}{\bigr )}^{2}$

${\begin{aligned}&={\bigl [}(\sum _{1\leq j\leq n}{a_{j}}^{2})+{a_{n+1}}^{2}{\bigr ]}{\bigl [}(\sum _{1\leq j\leq n}{b_{j}}^{2})+{b_{n+1}}^{2}{\bigr ]}\\&\quad -{\bigl [}\sum _{1\leq k<j\leq n}{\bigl (}a_{k}b_{j}-a_{j}b_{k}{\bigr )}^{2}+\sum _{1\leq k\leq n}{\bigl (}a_{k}b_{n+1}-a_{n+1}b_{k}{\bigr )}^{2}{\bigr ]}\\&={\bigl (}\sum _{1\leq j\leq n}{a_{j}}^{2}{\bigr )}{\bigl (}\sum _{1\leq j\leq n}{b_{j}}^{2}{\bigr )}+\sum _{1\leq j\leq n}{b_{j}}^{2}{a_{n+1}}^{2}+\sum _{1\leq j\leq n}{a_{j}}^{2}{b_{n+1}}^{2}+{a_{n+1}}^{2}{b_{n+1}}^{2}\\&\qquad -{\bigl [}\sum _{1\leq k<j\leq n}{\bigl (}a_{k}b_{j}-a_{j}b_{k}{\bigr )}^{2}+\sum _{1\leq k\leq n}{\bigl (}a_{k}b_{n+1}-a_{n+1}b_{k}{\bigr )}^{2}{\bigr ]}\\&={\bigl (}\sum _{1\leq j\leq n}{a_{j}}^{2}{\bigr )}{\bigl (}\sum _{1\leq j\leq n}{b_{j}}^{2}{\bigr )}-\sum _{1\leq k<j\leq n}{\bigl (}a_{k}b_{j}-a_{j}b_{k}{\bigr )}^{2}\\&\quad +\sum _{1\leq j\leq n}{b_{j}}^{2}{a_{n+1}}^{2}+\sum _{1\leq j\leq n}{a_{j}}^{2}{b_{n+1}}^{2}+{a_{n+1}}^{2}{b_{n+1}}^{2}\\&\qquad -\sum _{1\leq k\leq n}{\bigl (}a_{k}b_{n+1}-a_{n+1}b_{k}{\bigr )}^{2}\end{aligned}}$

並應用歸納假設

${\begin{array}{rl}&={\bigl (}\sum _{1\leq j\leq n}a_{j}b_{j}{\bigr )}^{2}+\sum _{1\leq j\leq n}{b_{j}}^{2}{a_{n+1}}^{2}+\sum _{1\leq j\leq n}{a_{j}}^{2}{b_{n+1}}^{2}+{a_{n+1}}^{2}{b_{n+1}}^{2}\\&\qquad -{\bigl [}\sum _{1\leq k\leq n}{a_{k}}^{2}{b_{n+1}}^{2}-2\sum _{1\leq k\leq n}a_{k}b_{n+1}a_{n+1}b_{k}+\sum _{1\leq k\leq n}{a_{n+1}}^{2}{b_{k}}^{2}{\bigr ]}\\&={\bigl (}\sum _{1\leq j\leq n}a_{j}b_{j}{\bigr )}^{2}+2{\bigl (}\sum _{1\leq k\leq n}a_{k}b_{n+1}a_{n+1}b_{k}{\bigr )}+{a_{n+1}}^{2}{b_{n+1}}^{2}\\&={\bigl [}{\bigl (}\sum _{1\leq j\leq n}a_{j}b_{j}{\bigr )}+a_{n+1}b_{n+1}{\bigr ]}^{2}\end{array}}$

以推匯出左邊。

參考資料

• O'Hanian, Hans (1985), Physics, vol. 1, W. W. Norton
• Ivanoff, V. F. (proposer); Esty, T. C. (solver) (February 1933), "Problem 3529", American Mathematical Monthly, 39 (2): 118