線性代數/長度和角度測量

我們已經將第一部分關於解集的結果翻譯成幾何術語，以便深入瞭解這些解集的外觀。但我們必須注意不要被我們自己的術語所誤導；將 $\mathbb {R} ^{k}$ 的子集形式標記為 $\{{\vec {p}}+t{\vec {v}}\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$ 和 $\{{\vec {p}}+t{\vec {v}}+s{\vec {w}}\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \}$ 作為“直線”和“平面”並不能使它們像我們以前經驗中的直線和平面一樣。相反，我們必須確保這些名稱適合這些集合。雖然我們無法證明這些集合滿足我們的直覺——我們無法證明關於直覺的任何東西——在本節中，我們將觀察到從 $\mathbb {R} ^{2}$ 和 $\mathbb {R} ^{3}$ 熟悉的結論，當推廣到任意 $\mathbb {R} ^{k}$ 時，支援直線是直的，平面是平坦的這一觀點。具體來說，我們將看到如何在它們生成的“平面”中進行歐幾里得幾何，方法是給出兩個 $\mathbb {R} ^{n}$ 向量之間角度的定義。

定義 2.1

向量 ${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 的長度 為此。

$|{\vec {v}}\,|={\sqrt {v_{1}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}}}$

備註 2.2

這是勾股定理的自然推廣。一個經典的討論見 (Pólya 1954).

我們可以使用該定義來推匯出兩個向量之間角度的公式。為了得到一個要做什麼的模型，考慮 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的兩個向量。

將它們置於規範位置，並在它們確定的平面上，考慮由 ${\vec {u}}$、${\vec {v}}$ 和 ${\vec {u}}-{\vec {v}}$ 形成的三角形。

應用餘弦定理，$|{\vec {u}}-{\vec {v}}\,|^{2}=|{\vec {u}}\,|^{2}+|{\vec {v}}\,|^{2}-2\,|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|\cos \theta$，其中 $\theta$ 是向量之間的夾角。展開兩邊

$(u_{1}-v_{1})^{2}+(u_{2}-v_{2})^{2}+(u_{3}-v_{3})^{2}$

$=(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2})+(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2})-2\,|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|\cos \theta$

並簡化。

$\theta =\arccos(\,{\frac {u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}}{|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|}}\,)$

在更高維度中，沒有圖片足以說明，但我們可以透過分析進行同樣的論證。首先，分子形式很明顯——它來自平方 $(u_{1}-v_{1})^{2}$、$(u_{2}-v_{2})^{2}$ 等等的中間項。

定義 2.3

兩個 $n$ 個分量的實向量之間的 **點積**（或 **內積**，或 **標量積**）是其分量之間的線性組合。

${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\cdots +u_{n}v_{n}$

請注意，兩個向量的點積是一個實數，而不是一個向量，並且來自 $\mathbb {R} ^{n}$ 的向量與來自 $\mathbb {R} ^{m}$ 的向量的點積僅在 $n$ 等於 $m$ 時才定義。還需要注意點積與長度之間的關係：將向量與其自身點積得到其長度的平方 ${\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=u_{1}u_{1}+\cdots +u_{n}u_{n}=|{\vec {u}}\,|^{2}$.

備註 2.4

該定義中的措辭允許其中一個或兩個向量都是行向量而不是列向量。一些書籍要求第一個向量是行向量，第二個向量是列向量。我們不會那麼嚴格。

仍然使用字母推理，但以圖片為指導，我們使用下一個定理來論證由 ${\vec {u}}$，${\vec {v}}$ 和 ${\vec {u}}-{\vec {v}}$ 形成的三角形位於 $\mathbb {R} ^{n}$ 中由 ${\vec {u}}$ 和 ${\vec {v}}$ 生成的平面子集中。

定理 2.5（三角形不等式）

對於任何 ${\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$，

$|{\vec {u}}+{\vec {v}}\,|\leq |{\vec {u}}\,|+|{\vec {v}}\,|$

當且僅當其中一個向量是另一個向量的非負標量倍數時，等式成立。

這個不等式是“兩點之間直線最短”這一熟悉說法來源。

證明

(我們將使用一些尚未驗證的點積代數性質，例如${\vec {u}}\cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})={\vec {u}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {u}}\cdot {\vec {b}}$ 以及 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}={\vec {v}}\cdot {\vec {u}}$。參見問題 8。）所需不等式成立當且僅當其平方成立。

${\begin{array}{rl}|{\vec {u}}+{\vec {v}}\,|^{2}&\leq (\,|{\vec {u}}\,|+|{\vec {v}}\,|\,)^{2}\\(\,{\vec {u}}+{\vec {v}}\,)\cdot (\,{\vec {u}}+{\vec {v}}\,)&\leq |{\vec {u}}\,|^{2}+2\,|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|+|{\vec {v}}\,|^{2}\\{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}+{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}&\leq {\vec {u}}\cdot {\vec {u}}+2\,|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}\\2\,{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}&\leq 2\,|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|\end{array}}$

反過來，當且僅當將兩邊都乘以非負數 $|{\vec {u}}\,|$ 和 $|{\vec {v}}\,|$ 後得到的等式成立。

$2\,(\,|{\vec {v}}\,|\,{\vec {u}}\,)\cdot (\,|{\vec {u}}\,|\,{\vec {v}}\,)\leq 2\,|{\vec {u}}\,|^{2}\,|{\vec {v}}\,|^{2}$

並重寫為

$0\leq |{\vec {u}}\,|^{2}\,|{\vec {v}}\,|^{2}-2\,(\,|{\vec {v}}\,|\,{\vec {u}}\,)\cdot (\,|{\vec {u}}\,|\,{\vec {v}}\,)+|{\vec {u}}\,|^{2}\,|{\vec {v}}\,|^{2}$

是正確的。但將它分解為

$0\leq (\,|{\vec {u}}\,|\,{\vec {v}}-|{\vec {v}}\,|\,{\vec {u}}\,)\cdot (\,|{\vec {u}}\,|\,{\vec {v}}-|{\vec {v}}\,|\,{\vec {u}}\,)$

表明這個結果是肯定正確的，因為它只是說明了向量 $|{\vec {u}}\,|\,{\vec {v}}-|{\vec {v}}\,|\,{\vec {u}}\,$ 的長度的平方不為負數。

關於等式，它成立當且僅當 $|{\vec {u}}\,|\,{\vec {v}}-|{\vec {v}}\,|\,{\vec {u}}$ 是 ${\vec {0}}$。檢查 $|{\vec {u}}\,|\,{\vec {v}}=|{\vec {v}}\,|\,{\vec {u}}\,$ 當且僅當一個向量是另一個向量的非負實數倍，很容易。

這個結果支援直覺，即即使在高維空間中，直線也是直的，平面也是平的。對於線性表面上的任意兩點，連線它們的線段都包含在該表面中（這很容易從定義中檢查出來）。但如果表面有彎曲，那麼就會有捷徑（這裡以灰色顯示，而從 $P$ 到 $Q$ 的線段包含在表面中是實心的）。

因為三角不等式指出，在任何 $\mathbb {R} ^{n}$ 中，兩個端點之間最短的捷徑就是連線它們的線段，線性表面沒有這樣的彎曲。

回到角測量的定義。三角不等式證明的核心是“${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\leq |{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|$” 行。乍一看，讀者可能會想知道是否有一些向量對以這種方式滿足不等式：當 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$ 是一個很大的數，其絕對值大於右邊的值，它是一個負的很大的數。下面的結果表明，不存在這樣的向量對。

推論 2.6（柯西-施瓦茨不等式）

對於任何 ${\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$，

$|\,{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\,|\leq |\,{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|$

當且僅當一個向量是另一個向量的標量倍時，等式成立。

證明

三角不等式的證明表明${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\leq |{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|$，所以如果${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$為正或零，則我們完成了。如果${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$為負，則也成立。

$|\,{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\,|=-(\,{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\,)=(-{\vec {u}}\,)\cdot {\vec {v}}\leq |-{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|=|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|$

等式條件見問題 9。

柯西-施瓦茨不等式確保我們下一個定義是有意義的，因為分數的絕對值小於或等於 1。

定義 2.7

兩個非零向量${\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$之間的夾角為

$\theta =\arccos(\,{\frac {{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|}}\,)$

（零向量與任何其他向量之間的夾角定義為直角）。

因此，來自$\mathbb {R} ^{n}$的向量正交（或垂直）當且僅當它們的點積為零。

示例 2.8

這些向量是正交的。

${\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}=0$

箭頭顯示遠離規範位置，但向量仍然是正交的。

示例 2.9

本節開頭給出的$\mathbb {R} ^{3}$角公式是定義的特例。在這兩個之間

夾角為

$\arccos({\frac {(1)(0)+(1)(3)+(0)(2)}{{\sqrt {1^{2}+1^{2}+0^{2}}}{\sqrt {0^{2}+3^{2}+2^{2}}}}})=\arccos({\frac {3}{{\sqrt {2}}{\sqrt {13}}}})$

大約為 $0.94{\text{radians}}$。請注意，這些向量不垂直。儘管 $yz$-平面似乎垂直於 $xy$-平面，但實際上，這兩個平面只是在弱意義上才是這樣，即每個平面中都有與另一個平面中所有向量都正交的向量。每個平面中並非所有向量都與另一個平面中所有向量正交。

練習

建議所有讀者完成此練習。

問題 1

求每個向量的長度。

1. ${\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\0\end{pmatrix}}$

建議所有讀者完成此練習。

問題 2

如果定義，求每兩個向量之間的夾角。

1. ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\4\\1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\\-1\end{pmatrix}}$

建議所有讀者完成此練習。

問題 3

在日德蘭海戰前演習中，英國戰列巡洋艦獅子號的移動路線如下（以海里為單位）：$1.2$ 海里向北，$6.1$ 海里以$38$ 度東偏南方向，$4.0$ 海里以$89$ 度東偏北方向，以及$6.5$ 海里以$31$ 度東偏北方向。求起始位置和結束位置之間的距離 (O'Hanian 1985).

問題 4

求$k$的值，使得這兩個向量垂直。

${\begin{pmatrix}k\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}$

問題 5

描述在$\mathbb {R} ^{3}$中與該向量正交的向量的集合。

${\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}}$

建議所有讀者完成此練習。

問題 6

1. 求$\mathbb {R} ^{2}$中單位正方形的對角線與其中一條軸的夾角。
2. 求$\mathbb {R} ^{3}$中單位立方體的對角線與其中一條軸的夾角。
3. 求$\mathbb {R} ^{n}$中單位立方體的對角線與其中一條軸的夾角。
4. 當$n$趨於$\infty$時，$\mathbb {R} ^{n}$中單位立方體的對角線與其中一條軸的夾角的極限是多少？

問題 7

是否有任何向量與其自身垂直？

建議所有讀者完成此練習。

問題 8

描述點積的代數性質。

1. 向量的點積對加法是否右分配律：$({\vec {u}}+{\vec {v}})\cdot {\vec {w}}={\vec {u}}\cdot {\vec {w}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {w}}$?
2. 向量的點積對加法是否左分配律（對加法）？
3. 向量的點積是否滿足交換律？
4. 向量的點積是否滿足結合律？
5. 向量點積與標量乘法如何互動？

與往常一樣，任何斷言必須以證明或例子為依據。

問題 9

驗證 推論 2.6（柯西-施瓦茨不等式）中的等式條件。

1. 證明如果 ${\vec {u}}$ 是 ${\vec {v}}$ 的負標量倍數，那麼 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$ 和 ${\vec {v}}\cdot {\vec {u}}$ 小於或等於零。
2. 證明 $|{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}|=|{\vec {u}}\,|\,|{\vec {v}}\,|$ 當且僅當其中一個向量是另一個向量的標量倍數。

問題 10

假設 ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}={\vec {u}}\cdot {\vec {w}}$ 並且 ${\vec {u}}\neq {\vec {0}}$。那麼 ${\vec {v}}={\vec {w}}$ 一定成立嗎？

建議所有讀者完成此練習。

問題 11

除了零向量，還有其他長度為零的向量嗎？（如果“是”，請給出例子。如果“否”，請證明。）

建議所有讀者完成此練習。

問題 12

在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中連線 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ 的線段的中點。將結果推廣到 $\mathbb {R} ^{n}$。

問題 13

證明如果 ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$，那麼 ${\vec {v}}/|{\vec {v}}\,|$ 的長度為 1。如果 ${\vec {v}}={\vec {0}}$ 呢？

問題 14

證明如果 $r\geq 0$，那麼 $r{\vec {v}}$ 的長度是 $r$ 倍於 ${\vec {v}}$ 的長度。如果 $r<0$ 呢？

建議所有讀者完成此練習。

問題 15

長度為 1 的向量 ${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 被稱為單位向量。證明兩個單位向量的點積的絕對值小於或等於 1。 "小於" 可能嗎？"等於" 可能嗎？

問題 16

證明 $|{\vec {u}}+{\vec {v}}\,|^{2}+|{\vec {u}}-{\vec {v}}\,|^{2}=2|{\vec {u}}\,|^{2}+2|{\vec {v}}\,|^{2}.$

問題 17

證明如果 ${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=0$ 對所有 ${\vec {y}}$ 成立，那麼 ${\vec {x}}={\vec {0}}$。

問題 18

是否 $|{\vec {u}}_{1}+\cdots +{\vec {u}}_{n}|\leq |{\vec {u}}_{1}|+\cdots +|{\vec {u}}_{n}|$？如果成立，它將推廣三角不等式。

問題 19

柯西-施瓦茨不等式中兩邊之間的比率是多少？

問題 20

為什麼零向量被定義為垂直於每個向量？

問題 21

描述$\mathbb {R} ^{1}$中兩個向量之間的角度。

問題 22

給出一個簡單的充要條件來確定兩個向量之間的角度是銳角、直角還是鈍角。

建議所有讀者完成此練習。

問題 23

將畢達哥拉斯定理的逆定理推廣到$\mathbb {R} ^{n}$，如果${\vec {u}}$和${\vec {v}}$是垂直的，那麼$|{\vec {u}}+{\vec {v}}\,|^{2}=|{\vec {u}}\,|^{2}+|{\vec {v}}\,|^{2}$.

問題 24

證明$|{\vec {u}}\,|=|{\vec {v}}\,|$當且僅當${\vec {u}}+{\vec {v}}$和${\vec {u}}-{\vec {v}}$是垂直的。在$\mathbb {R} ^{2}$中舉一個例子。

問題 25

證明如果一個向量垂直於另外兩個向量中的每一個，那麼它就垂直於它們生成的平面上的每個向量。（備註。它們可以生成一個退化的平面——一條線或一個點——但該陳述仍然成立。）

問題 26

證明，其中${\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$是非零向量，向量

${\frac {\vec {u}}{|{\vec {u}}\,|}}+{\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}\,|}}$

平分它們之間的角度。在$\mathbb {R} ^{2}$中說明。

問題 27

驗證角的定義在量綱上是否正確：(1) 如果$k>0$，則$k{\vec {u}}$和${\vec {v}}$之間的夾角的餘弦等於${\vec {u}}$和${\vec {v}}$之間的夾角的餘弦，(2) 如果$k<0$，則$k{\vec {u}}$和${\vec {v}}$之間的夾角的餘弦是${\vec {u}}$和${\vec {v}}$之間的夾角的餘弦的負數。

建議所有讀者完成此練習。

問題 28

證明內積運算為線性：對於${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{n}$ 和 $k,m\in \mathbb {R}$，${\vec {u}}\cdot (k{\vec {v}}+m{\vec {w}})=k({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})+m({\vec {u}}\cdot {\vec {w}})$.

建議所有讀者完成此練習。

問題 29

兩個正實數 $x,y$ 的幾何平均數是 ${\sqrt {xy}}$。它類似於算術平均數 $(x+y)/2$。使用柯西-施瓦茨不等式證明任意 $x,y\in \mathbb {R}$ 的幾何平均數小於或等於算術平均數。

? 問題 30

一艘船以速度和方向 ${\vec {v}}_{1}$ 航行；風明顯地（從桅杆上的風向標判斷）以向量 ${\vec {a}}$ 的方向吹；在將船的速度和方向從 ${\vec {v}}_{1}$ 改變為 ${\vec {v}}_{2}$ 後，風向為向量 ${\vec {b}}$ 的方向。

求風的速度向量。（Ivanoff & Esty 1933）。

問題 31

首先證明拉格朗日恆等式，然後驗證柯西-施瓦茨不等式

${\displaystyle \left(\sum _{1\leq j\leq n}a_{j}b_{j}\right)^{2}=\left(\sum _{1\leq j\leq n}a_{j}^{2}\right)\left(\sum _{1\leq j\leq n}b_{j}^{2}\right)-\sum _{1\leq k$

然後注意到最後一項是正的。（回憶一下意思

$\sum _{1\leq j\leq n}a_{j}b_{j}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$

和

$\sum _{1\leq j\leq n}{a_{j}}^{2}={a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+\cdots +{a_{n}}^{2}$

的 $\Sigma$ 符號。）此結果比柯西-施瓦茨不等式有所改進，因為它給出了兩邊差值的公式。在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中解釋該差值。

解決方案

參考文獻

• O'Hanian, Hans (1985), Physics, vol. 1, W. W. Norton
• Ivanoff, V. F. (proposer); Esty, T. C. (solver) (1933), "Problem 3529", American Mathematical Monthly, 39 (2): 118 {{citation}}: 未知引數 |month= 被忽略 (幫助)
• Pólya, G. (1954), Mathematics and Plausible Reasoning: Volume II Patterns of Plausible Inference, Princeton University Press