線性代數/簡化階梯形

在開發高斯消元法的方法後，我們觀察到它可以以不止一種方式完成。一個例子是我們有時必須交換行，並且可以選擇不止一行。另一個例子是，從這個矩陣

${\begin{pmatrix}2&2\\4&3\end{pmatrix}}$

高斯消元法可以推匯出這些階梯形矩陣中的任何一個。

${\begin{pmatrix}2&2\\0&-1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

第一個結果來自 $-2\rho _{1}+\rho _{2}$. 第二個來自 $(1/2)\rho _{1}$ 和 $-4\rho _{1}+\rho _{2}$。第三個來自 $-2\rho _{1}+\rho _{2}$ 然後是 $2\rho _{2}+\rho _{1}$（在第一個主元之後，矩陣已經處於階梯形，因此第二個是額外的工作，但這仍然是一個合法的行操作）。

高斯消元法階梯形結果不唯一的事實讓我們留下了一些問題。一個線性系統的任何兩個階梯形版本是否會有相同數量的自由變數？事實上，它們是否會有完全相同的自由變數？在本節中，我們將對這兩個問題都回答“是”。我們將做更多的事情來回答這些問題。我們將提供一種方法來判斷一個線性系統是否可以透過行操作從另一個線性系統推匯出。這兩個問題的答案將從這個更大的結果中得出。